bedingte Wahrscheinlichkeit

07.06.2011, 11:19

chillerStudent

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bedingte Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Hallo,

die Aufgabe lautet:

Eine Münze wird drei mal geworfen. Wir betrachten den Ergebnisraum
$\begin{eqnarray*} \Omega:=\left\{ K,Z\right\} ^3 \end{eqnarray*}$ mit der Gleichverteilung P.
Sei A das Ereignis, dass mindestens zwei mal Kopf kommt. Sei B das
Ereignis, dass beim ersten Wurf Kopf kommt. Sei $\begin{eqnarray*} C=\left\{ (x_1,x_2,x_3) \in \Omega | x_2=x_3\right\} \end{eqnarray*}$ das Ereignis,
dass beim zweiten und dritten Wurf die gleiche Seite der Münze oben liegt.

a)
Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} P(A\cap B\cap C) und P(A)P(B)P(C) \end{eqnarray*}$

b)
Ist die Familie (A,B,C) von Ereignissen unabhängig? (Geben Sie eine klare Begründung für Ihre Aussage!)

Meine Ideen:
Zu a)

A= 1/4, weil bei jedem Wurf die Wahrscheinlichkeit 1/2 ist und bei n Würfen (1/2)^n

B= 1/2, siehe Begründung A

Ist das richtig bis hierhin?

07.06.2011, 11:53

Math1986

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RE: bedingte Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von chillerStudent
Meine Ideen:
Zu a)

A= 1/4, weil bei jedem Wurf die Wahrscheinlichkeit 1/2 ist und bei n Würfen (1/2)^n

Nein, das ist nicht richtig unglücklich

unglücklich

Zitat:

Sei A das Ereignis, dass mindestens zwei mal Kopf kommt.

D.h. du wirfst dreimal und suchst die Wahrscheinlichkeit für mindestens zweimal Kopf.
Wie ist die Anzahl Kopf verteilt?

B ist richtig, da wir nur den ersten Wurf betrachten und uns die anderen Würfe nicht interessieren.

07.06.2011, 11:57

chillerStudent

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RE: bedingte Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Wie ist die Anzahl Kopf verteilt?

(1/3)^3 = 1/9 ?

07.06.2011, 12:00

Math1986

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RE: bedingte Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von chillerStudent

Zitat:

Wie ist die Anzahl Kopf verteilt?

(1/3)^3 = 1/9 ?

Wiso 1/3 ? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen Kopf zu werfen?
Welchen namen hat den die Verteilung die du da anwenden musst?

Und noch einmal: Gefragt ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Kopf.

07.06.2011, 12:05

chillerStudent

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mhhh.. Muss das vielleicht mit Bernoulli-Ketten Formel rechnen?

n=3
k=2
p=1/2

07.06.2011, 12:14

Math1986

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Zitat:

Original von chillerStudent
mhhh.. Muss das vielleicht mit Bernoulli-Ketten Formel rechnen?

n=3
k=2
p=1/2

Ja, Binomialverteilung

n=3 und p=1/2 ist richtig

Was k angeht, nun zum dritten Mal:
Gefragt ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Kopf.

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07.06.2011, 14:05

chillerStudent

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Zitat:

Was k angeht, nun zum dritten Mal: Gefragt ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Kopf.

deswegen hab ich k=2 gewählt.

07.06.2011, 14:41

chillerStudent

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Wenn ich k=2 nehme, komme ich auf 3/8 für A
und für B k=1 komme ich auch auf 3/8

Kann das stimmen?

07.06.2011, 16:10

Math1986

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Zitat:

Original von chillerStudent
Wenn ich k=2 nehme, komme ich auf 3/8 für A

Mindestens 2 heißt doch, dass 2 oder mehr Köpfe fallen, also musst du für k=2 und k=3 die Wahrscheinlichkeiten betrachten und summieren.

Zitat:

Original von chillerStudent
und für B k=1 komme ich auch auf 3/8

Nein, deine erste Lösung für B war doch richtig, bei B betrachtest du nur einen einzigen Wurf (nämlich den ersten), also n=1

07.06.2011, 21:55

chillerStudent

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Asoo, Danke.

Also für A hab ich jetzt folgendes:

n=3, k=2, p=0.5 >>> 3/8
n=3, k=3, p=0.5 >>> 1/8

(3/8)+(1/8) = 1/2 = A ??

07.06.2011, 22:24

chillerStudent

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Für C habe ich:

Z K K = (1/2)^3
K Z Z = (1/2)^3

Die beiden addieren = 1/4

Richtig?

Also insgesamt habe ich für A=B=1/2 und C=1/4

07.06.2011, 22:43

Math1986

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Zitat:

Original von chillerStudent
Asoo, Danke.

Also für A hab ich jetzt folgendes:

n=3, k=2, p=0.5 >>> 3/8
n=3, k=3, p=0.5 >>> 1/8

(3/8)+(1/8) = 1/2 = A ??

Das ist richtig, aber du meinst sicher $\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Achte auf diese Notation, A ist eine Menge, P(A) die zugehörige Wahrscheinlichkeit.

07.06.2011, 22:45

Math1986

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Zitat:

Original von chillerStudent
Für C habe ich:

Z K K = (1/2)^3
K Z Z = (1/2)^3

Die beiden addieren = 1/4

Richtig?

Der Weg ist richtig, aber du hast hier noch 2 Kombinationen vergessen, nämlich die, bei der alle Würfe gleich sind

07.06.2011, 22:48

chillerStudent

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Also P(A) ist dann 3/8 ??

Edit:

ups, ich meine 1/2.

hatte schon wieder was vergessen.

Edit:
Nehme alles zurück, was in diesem Beitrag steht. LOL Hammer

LOL Hammer

07.06.2011, 22:52

Math1986

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Zitat:

Original von chillerStudent
Also P(A) ist dann 3/8 ??

Edit:

ups, ich meine 1/2.

hatte schon wieder was vergessen.

Ja, richtig

07.06.2011, 22:54

chillerStudent

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Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Original von chillerStudent
Für C habe ich:

Z K K = (1/2)^3
K Z Z = (1/2)^3

Die beiden addieren = 1/4

Richtig?

Der Weg ist richtig, aber du hast hier noch 2 Kombinationen vergessen, nämlich die, bei der alle Würfe gleich sind

P(C) = 1/2 ??

07.06.2011, 23:00

Math1986

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Zitat:

Original von chillerStudent
P(C) = 1/2 ??

Ja

07.06.2011, 23:06

chillerStudent

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Cool danke dir!

Ist dann $\begin{eqnarray*} P(A)P(B)P(C) \end{eqnarray*}$ = 1/8 ??

und zu b)

Die Familie ist unabhängig da jedes Ereignis unterschiedlich ist ?

07.06.2011, 23:13

Math1986

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Zitat:

Original von chillerStudent
Cool danke dir!

Ist dann $\begin{eqnarray*} P(A)P(B)P(C) \end{eqnarray*}$ = 1/8 ??

Ja, aber die Formel $\begin{eqnarray*} P(A)P(B)P(C)=P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$ gilt nur dann wenn die Ereignisse unabhängig sind, im Allgemeinen ist das falsch

Zitat:

Original von chillerStudent
und zu b)

Die Familie ist unabhängig da jedes Ereignis unterschiedlich ist ?

Nein, die Begründung hat so nichts mit der Unabhängigkeit
Schau dir das Konzept der Unabhängigkeit selbst nochmal an, lies es irgendwo nach.

Du musst zunächst $\begin{eqnarray*} P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$ bestimmen, indem du dir überlegst wie $\begin{eqnarray*} A\cap B\cap C \end{eqnarray*}$ aussieht (d.h. aus welchen Ereignissen es besteht) und dann $\begin{eqnarray*} P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$ bestimmst

Dann kannst du prüfen ob $\begin{eqnarray*} P(A)P(B)P(C)=P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$ gilt, ist dies der Fall, dann sind die Ereignisse unabhängig, wenn nicht dann nicht

07.06.2011, 23:21

chillerStudent

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Ok! Gut.

Ich weiß, wie ich $\begin{eqnarray*} P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$ bestimme, aber ich weiß nicht wie ich $\begin{eqnarray*} A\cap B\cap C \end{eqnarray*}$ bestimme.

07.06.2011, 23:39

chillerStudent

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Zitat:

Original von chillerStudent
Ok! Gut.

Ich weiß, wie ich $\begin{eqnarray*} P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$ bestimme, aber ich weiß nicht wie ich $\begin{eqnarray*} A\cap B\cap C \end{eqnarray*}$ bestimme.

Ok, ich weiß jetzt wie $\begin{eqnarray*} A\cap B\cap C \end{eqnarray*}$ bestimme.

Aber zu P(B) nochmal. Ist es nicht KZZ, KZK, KKZ, weil es muss ja beim ersten Wurf Kopf kommen. Wieso muss man da nur den ersten Wurf betrachten?

Edit:
Ohman, tut mir leid, habs gecheckt!

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