Primzahlproblem

07.06.2011, 15:26

harry3

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Primzahlproblem

Hallo!
Ich soll zeigen, dass der Term
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{120} (435 (241+44 \sqrt{30})^z+435 (241+44 \sqrt{30})^{-z}+568) \end{eqnarray*}$
für keine ganze Zahl z eine Primzahl ist.
Ich hab versucht, zu faktorisieren, habe jedoch nichts gefunden, mit dem fatkorisieren könnte.
Hat jemand eine Idee?

07.06.2011, 16:16

harry3

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Ich merk grad ich habe einen Fehler gemacht. Es heißt:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{120} (377+58 \sqrt{30}) (241+44 \sqrt{30})^z+ (377-58 \sqrt{30}) (241+44 \sqrt{30})^{-z}+566)<br /> \end{eqnarray*}$

07.06.2011, 16:19

harry3

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Und wieder hat eine klammer gefehlt: unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{120} ((377+58 \sqrt{30}) (241+44 \sqrt{30})^z+ (377-58 \sqrt{30}) (241+44 \sqrt{30})^{-z}+566)<br /> \end{eqnarray*}$

08.06.2011, 09:54

Frank!

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Hmm.
Vielleicht erweitern und Binominalsatz anwenden.
Hast du schon gezeigt, dass immer eine ganze Zahl rauskomt?

08.06.2011, 10:11

harry3

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Das Ergebnis kommt aus einer vorigen Rechnung raus, muss deshalb ganzzahlig sein.
Binominalsatz habe ich schon versucht, doch es hat nichts gebracht.
Ich habe mir mir überlegt, dass man vielleicht eine rekursive Folge aufstellen kann und es dann mit Induktion beweisen kann.

08.06.2011, 13:08

HAL 9000

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Die Folge

$\begin{eqnarray*} a_z = \frac{1}{120} \left( (377+58 \sqrt{30}) (241+44 \sqrt{30})^z+ (377-58 \sqrt{30}) (241+44 \sqrt{30})^{-z}+566 \right) \end{eqnarray*}$

erfüllt für alle $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ die Rekursionsgleichung

$\begin{eqnarray*} a_z = 482a_{z-1} - a_{z-2} - 2264 \end{eqnarray*}$

Schauen wir uns die Startwerte an

$\begin{eqnarray*} a_0 = 11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 = 2795 \end{eqnarray*}$

dann ist klar, dass alle $\begin{eqnarray*} a_z \end{eqnarray*}$ tatsächlich ganzzahlig sind. Dummerweise ist aber $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ eine Primzahl! Was nun mit deiner Behauptung? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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08.06.2011, 13:20

harry3

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Für z=0 muss die Formel nichts gelten.
Für alle anderen müsste es aber gelten.
Jede Zahl mit geradem z ist durch 11 teilbar, wie ich inzwischen gemerkt habe.

08.06.2011, 13:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von harry3
Für z=0 muss die Formel nichts gelten.

Dann solltest du dein Eröffnungsposting korrigieren: Dort hast du explizit von "keiner ganzen Zahl" gesprochen. 0 ist eine ganze Zahl.

08.06.2011, 13:38

harry3

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Als (noch) unregistrierter, habe ich leider nicht die Möglichkeit meine Posts zu korrigieren. unglücklich

unglücklich

08.06.2011, 14:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von harry3
Jede Zahl mit geradem z ist durch 11 teilbar, wie ich inzwischen gemerkt habe.

Stimmt, womit die "Hälfte" schon mal abgehakt ist.

Leider gibt es für die ungeraden Indizes $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ nicht derart gemeinsame Primfaktoren. So sieht z.B. die Primfaktorzerlegung

$\begin{eqnarray*} a_{-15} &=& 8\,703\,704\,551\,253\,590\,347\,260\,107\,332\,412\,343\,744\,171\\ &=& 54\,232\,187\,131\,107\,085\,421 \cdot 160\,489\,646\,678\,129\,733\,751 \end{eqnarray*}$

ziemlich schrecklich aus. verwirrt

verwirrt

08.06.2011, 22:00

harry3

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Ich vermute, dass ein Primfaktor auch einer rekursiven Reihe folgt, ich habe ihn aber bis jetzt noch nichts entdeckt, da er ja auch wieder in mehrere Faktoren unterteilt sein kann.
Ich suche mal noch ein bisschen weiter...

20.06.2011, 10:16

harry3

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So, ich melde mich nach langer Zeit nochmal.
Für jedes zweite z gilt ja:
$\begin{eqnarray*} a_{z+2}=232322 a_z-a_{z-2}-1095776 \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} a_1=2795, a_3=648243971 \end{eqnarray*}$
Außerdem folgt einer der Teiler der rekursiven Folge
$\begin{eqnarray*} t_{z+2}=482 t_z-t_{z-2} \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} t_1=27, t_3=12799 \end{eqnarray*}$
Ich hab versucht das mit Induktion zu beweisen, doch ich kam nicht weiter.
eventuell könnte man für den Teiler eine explizite Formel aufstellen?

20.06.2011, 11:06

René Gruber

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Irgendwas stimmt nicht an deinen Angaben, denn schon die ersten Folgenglieder überprüft ergibt, dass $\begin{eqnarray*} a_z \end{eqnarray*}$ nicht durch dein $\begin{eqnarray*} t_z \end{eqnarray*}$ teilbar ist. verwirrt

verwirrt

20.06.2011, 11:27

harry3

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Stimmt, ich habe was vertauscht:
$\begin{eqnarray*} t_1=13, t_3=6257 \end{eqnarray*}$

20.06.2011, 11:43

René Gruber

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Wäre es nicht übersichtlicher, wenn du nicht nach geraden und ungeraden Indizes trennst, sondern gleich nachweist, dass $\begin{eqnarray*} a_z \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} t_z \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ teilbar ist? Dazu musst du natürlich $\begin{eqnarray*} t_z \end{eqnarray*}$ erstmal für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ definieren:

$\begin{eqnarray*} t_0 = 1, \; t_1 = 13,\; t_z = 22t_{z-1}-t_{z-2} \end{eqnarray*}$

20.06.2011, 11:50

harry3

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Ich muss also beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} <br /> q=\frac{482*n*t_{z-1}-m*t_{z-2}-2264}{22*t_{z-1}-t_{z-2}} <br /> \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} n,m,q \in N \end{eqnarray*}$
Leider komm ich so nicht weiter.

20.06.2011, 11:54

René Gruber

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Der sich ergebende Quotient $\begin{eqnarray*} q_z = \frac{a_z}{t_z} \end{eqnarray*}$ unterliegt ebenfalls der Rekursion $\begin{eqnarray*} q_z = 22q_{z-1}-q_{z-2} \end{eqnarray*}$ ,aber mit den anderen Startwerten $\begin{eqnarray*} q_0=11,q_1=215 \end{eqnarray*}$ , vielleicht hilft dir das beim Beweis.

20.06.2011, 20:00

harry3

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Ah danke, ich habs gelöst. smile

smile

20.06.2011, 20:36

HAL 9000

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@harry3

Hat sich nach längerer Pause ja dann doch noch toll entwickelt hier. Freude

Freude

Kannst du mal noch sagen, wie du die Sache beendet hast? Mir fällt spontan nur der unelegant aussehende Weg ein, die expliziten Darstellungen von $\begin{eqnarray*} t_z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_z \end{eqnarray*}$ aufzustellen, beide zu multiplizieren und das Ergebnis mit der schon weiter oben im Thread angegebenen expliziten Darstellung von $\begin{eqnarray*} a_z \end{eqnarray*}$ zu vergleichen. verwirrt

verwirrt

22.06.2011, 10:16

harry3

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$\begin{eqnarray*} p_z q_z = a_z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (22 p_{z-1}- p_{z-2})(22 q_{z-1}-q_{z-2})=482 p_{z-1} q_{z-1}-p_{z-2} q_{z-2}-2264 \end{eqnarray*}$
Dann ausmultiplizieren und nen bisschen ordnen:
$\begin{eqnarray*} 482 p_{z-1} q_{z-1}-p_{z-2} q_{z-2}-2264+p_{z-1} q_{z-1}-11 p_{z-1} (22 q_{z-1}-q_{z-2})-11 q_{z-1} (22 p_{z-1}-p_{z-2})=-1132 \end{eqnarray*}$
Dann Einsetzen:
$\begin{eqnarray*} p_z q_z+p_{z-1} q_{z-1}-11 p_z q_{z-1}- 11 q_z p_{z-1}=-1132 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 484 p_z q_z-22 q_z p_{z-1}-22 p_z q_{z-1}+ p_{z-1} q_{z-1}=482 p_{z} q_z-p_{z-1} q_{z-1}-2264 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (22 p_z-p_{z-1})(22 q_z-q_{z-1})=482 p_{z} q_z-p_{z-1} q_{z-1}-2264 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{z+1} q_{z+1}=a_{z+1} \end{eqnarray*}$
Dann noch die ersten drei Anfangsglieder durchprobieren und fertig!
Ich hoffe, ich habe keinen Fahler gemacht.

22.06.2011, 13:04

René Gruber

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Ja, sieht gut aus. Allerdings ist es ganz schön mühsam dahinterzusteigen, was du da im einzelnen jeweils wie angewandt hast. Aber das ist wohl nicht ganz zu vermeiden.

22.06.2011, 20:47

HAL 9000

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@harry3

Danke! Wink

Wink

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