Harmonische Reihe (aus: Konvergenz und Divergenz) |
| 24.06.2004, 22:25 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Harmonische Reihe (aus: Konvergenz und Divergenz) http://matheboard.de/thread.php?threadid=4580 Ich hab da noch ne Frage:
1. "Gegen unendlich divergieren", kann man das so sagen?? Also man sagt ja, "eine Reihe konvergiert gegen", aber "eine Reihe divergiert gegen etwas" , geht das?? 
2. Ist die erste Reihe wirklich divergent?? Ich hatte letztens folgende Reihe: Das ist eine geometrische Reihe, aber ich finde, die ist relativ ähnlich zur ersten (PS: Ist harmonische Reihe ein Überbegriff für verschiedene Reihen oder speziell für diese der Name?). Und die konvergiert gegen 2, denn Und außerdem ist Bei der harmonischen Reihe gilt doch aber: Die Brüche werden doch genauso wie bei meiner geometrischen Reihe verschwindend klein. Wenn die harmonische divergent ist, warum ist die geometrische dann konvergent??
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| 24.06.2004, 22:50 | Trazom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz und Divergenz
1+1-1+1-1+1-1+1-... wird nicht unendlich groß und hat keinen Grenzwert, also divergent
1 > 1/2 1/2 + 1/3 > 1/2 1/4 + 1/5 +1/6 > 1/2 usw. Bei geometrischen Reihen wird dir das nicht gelingen, die Summanden konvergieren zu schnell gegen 0. PS: Bin neu im Forum, keine Ahnung, wie man den Formeleditor bedient... |
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| 24.06.2004, 22:58 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wie es Trazom schon gesagt hat, der beweis warum die harmonische reihe divergent ist ruht auf der tatsache das die Anzahl der Summanden zusammgefasst nie wirklich kleiner als der Ausgangswert werden. Nur steigt die anzahl der summanden die du zusammenfassen musst, 2,4,8,16,... Um dich noch weiter zu verwirren folgende reihe KONVERGIERT Zur geometrischen reihe Die Reihe Konvergiert genau dann wenn |x| < 1, sonst divergiert sie. Ach ja der Index der geometrischen Reihe MUSS immer mit 0 beginnen, bei der harmonsichen isses egal. |
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| 24.06.2004, 23:04 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, man kann sogar zeigen, daß die Reihe mit einem beliebigen s>1 konvergiert, jedoch nicht für s=1. |
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| 24.06.2004, 23:04 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Konvergenz und Divergenz Stimmt, hast Recht. Hab mir dann überlegt: Die geometrische Reihe konvergiert gegen 2. Da die gesamte Summe nie größer als 2 wird, ist die Summe der restlichen Summanden, nämlich Aber wer sagt mir, dass ich bei der harmonischen Reihe, je größer der Nenner wird, trotzdem immer noch Summanden finde, die addiert > 0,5 sind?? Da käme wieder das Argument: Die Brüche werden bei der harmonischen Reihe genauso wie bei der geometrischen Reihe verschwindend klein.
Auch das hilft da nicht weiter, da du gesagt hast, man muss immer, also auch bei ziemlich großem Nenner noch solche Summen finden. Und irgendwann konvergieren die Summanden der hamronischen Reihe auch so stark wie bei der geometrischen gegen 0, wenn auch an einer späteren "Stelle". Noch eine Frage: Woher weiß ich, wie groß diese Konstante ist?? Ist das egal?? Also kann es jede Konstante sein?? |
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| 24.06.2004, 23:06 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Bei einer konvergenten Reihe ist die Folge der Reihenglieder stets eine Nullfolge. Das Umgekehrte gilt jedoch nicht! Ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge, so braucht die Reihe nicht zu konvergieren. |
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| 24.06.2004, 23:17 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Der reihenwert (Grenzwert) der geometrischen Reihe ist wie folgt definiert! für |x| < 1 Deswegen hast du recht ^^ |
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| 24.06.2004, 23:28 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Konvergenz und Divergenz Ok, sorry, aber hatte eure Beiträge noch nich gelesen. Sonst hätte ich natürlich gesagt: "ihr habt Recht" 
Mit dem habt ihr mich wirklich ein wenig verwirrt, wobei es bei Potenzen doch relativ vorstellbar ist, dass solche Reihen konvergieren. Aber leider haben eure Beiträge noch nicht alle meiner Fragen beantwortet. Denn diese beiden Fragen bleiben noch, wobei ich bei der Konstanten relativ sicher bin, dass man da jede (noch so große) Konstante nehmen kann.
edit: @Mazze
Meine Herleitung bzw. Begründung führt doch erst zu dieser Definition. |
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| 24.06.2004, 23:36 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also wenn du das ding wirklich herleiten willst darfst du das nicht für ein spezielles x machen sondern musst es für alle x mit |x| < 1 machen! |
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| 24.06.2004, 23:40 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja gut, ich meinte eigentlich das Prinzip, wie ich es gemacht hatte, aber is auch egal jetzt. Darum gehts ja erstmal gar nicht.
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| 24.06.2004, 23:44 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Zumindest isses gut das du dir gedanken drüber machst ^^. wenn du das für ein spezielles x schon herleiten kannst isses später sicher nicht so schwer den beweis dann nachzuvollziehen (zumal ich glaube das dieser nicht all zu komplex war). Aber analysis is bei mir scho bissel länger her, werd bald anfangen des aufzuarbeiten! Da kann ich dann sicher auch mehr zu dem beweis sagen. |
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| 25.06.2004, 00:03 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich habe eure Diskussion ausgelagert. Ich sehe nicht, wie so eine Diskussion bei der Lösung der ursprünglichen Aufgabe geholfen hätte. Bitte das nächste Mal gleich einen neuen Thread dafür starten, wenn es nicht direkt etwas mit der Lösung der gestellten Aufgabe zu tun hat oder von ursprünglichen Fragesteller initiiert wurde. |
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| 25.06.2004, 10:40 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hi, oh du speziellster aller Matheschüler. Ich glaube, mit der Anschauung ist das hier so eine Sache. Ein einigermaßen vernünftiger Beweis für die Divergenz der harmonischen Reihe wurde ja schon genannt. Hier mal kurz schlampig skizziert: (die Summe soll hier jetzt nur endlich sein, sonst ist das mit den Klammern so eine Sache): 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+...+1/n =1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+... >=1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+...) =1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+... Man kann also immerwieder eine gewisse Anzahl Summanden (es werden zwar immer mehr, aber man braucht doch immer nur endlich viele, bei der nächsten Klammer hätte man zum Beispiel 8 Stück gebraucht) zu einer Zahl größer als 1/2 zusammenfassen und dass 1/2+1/2... divergiert, dürfte kein Geheimnis sein. So, jetzt hast du zwar eine Begründung, aber ich weiß nicht, ob es einem wirklich absolut verständlich sein kann, dass, obwohl die Summanden in beiden Fällen beliebig klein werden, die harmonische Reihe divergiert und die geometrische konvergiert. Ich würde für mich eher sagen, dass ich mich daran gewöhnt habe: es erstaunt mich nicht mehr und ich mache mir darüber keine Gedanken mehr. Ob allerdings mein gesunder Menschenverstand überzeugt ist, das wage ich zu bezweifeln. Vermutlich hat es mir selbst auch ziemlich zu schaffen gemacht, als ich das erste Mal von der Divergenz der harmnonischen Reihe erfuhr, aber daran erinnere ich mich nicht mehr und wie gesagt, man gewöhnt sich an alles. Aber vielleicht hat ja noch jemand eine, der gesunden Menschenlogik entsprechende, Begründung. Smilies deaktiviert... (Irrlicht) |
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| 25.06.2004, 12:38 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz und Divergenz
Vielleicht kann man die Begründung ja so ähnlich bringen: Wenn ich ein Gefäß zur Hälfte fülle, den Rest wieder zur Hälfte fülle, den daraus entstandenen Rest wieder zur Hälfte fülle usw., so wird das Gefäß (rein mathematisch) nie ganz voll. Das wäre doch so ein Beispiel für ne geometriscche Reihe (und vielleicht gleichzeitig Begründung für das??!). |
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