Bücherregal-Problem (Stochastik)

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Bücherregal-Problem (Stochastik)
Meine Frage:
In einem Regal stehen fünf Bücher in einer Reihe, von denen Sie montags das am weitesten links stehende Buch herausnehmen und nach dem Lesen rein zufällig wieder ins Regal stellen. (Das hineingestellte Buch kann dann an jeder der fünf Positionen mit gleicher Wahrscheinlichkeit stehen.) Am Dienstag und Mittwoch tun Sie genau dasselbe.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit lesen Sie am Donnerstag das Buch vom Montag?

Meine Ideen:
Also: Da stehen also fünf Bücher nebeneinander im Regal.
Von links nach rechts bezeichne ich diese mal o.B.d.A. mit

A B C D E

Am Montag nehme ich mir Buch A, lese es und stelle es jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von an die Positionen (1),(2),(3),(4),(5):

(1) B (2) C (3) D (4) E (5)

Es sind also nach meinem Zurückstellen des Buches A in das Regal 5 Situationen denkbar (jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von ):

1. Möglichkeit: A B C D E

2. Möglichkeit: B A C D E

3. Möglichkeit: B C A D E

4. Möglichkeit: B C D A E

5. Möglichkeit: B C D E A


Am Dienstag finde ich dann eine dieser 5 Möglichkeiten vor und nehme also (je nachdem, welche Situation ich vorfinde) Buch

A oder B aus dem Regal.

Buch A nehme ich mit einer Wahrscheinlichkeit von und Buch B nehme ich mit einer Wahrscheinlichkeit von aus dem Bücherregal.

1. Fall: Ich nehme Buch A, d.h., ich befinde mich in der Möglichkeit 1 am Montag (nach dem Lesen).

Es sind wieder die Möglichkeiten 1-5 denkbar. Obiges wiederholt sich.

2. Fall: Ich nehme Buch B, d.h., ich befinde mich in einer der Möglichkeiten 2-5 am Montag (nach dem Lesen):

Es sind nach dem Lesen am Dienstag also 4 Konstellationen möglich, die jeweils aus 5 möglichen Anordnungen (I. bis V.) bestehen:

Konstellation 1:

I. B A C D E
II. A B C D E
III. A C B D E
IV. A C D B E
V. A C D E B

Konstellation 2:

I. B C A D E
II. C B A D E
III. C A B D E
IV. C A D B E
V. C A D E B

Konstellation 3:

I. B C D A E
II. C B D A E
III. C D B A E
IV. C D A B E
V. C D A E B

Konstellation 4:

I. B C D E A
II. C B D E A
III. C D B E A
IV. C D E B A
V. C D E A B


Ich würde daher meinen, dass man am Mittwoch 25 mögliche Ausgangssituation hat: 5 Stück aus Fall 1 am Dienstag und 20 Stück aus Fall 2 am Dienstag.


Und jetzt muss ich für jede dieser 25 Situationen wieder alle Möglichkeiten aufschreibentraurig ??
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bücherregal-Problem (Stochastik)
Am einfachsten geht das wohl, indem du einfach ein Baumdiagramm zeichnest, einen schönen Weg sehe ich da jetzt auch nicht unglücklich

Du kannst, wenn du in Algebra einigermaßen fit bist, als Ereignisraum die symmetrische Gruppe vom Grad 5 nehmen und mit Permutationen rechnen, aber ich sehe da auch nichts direktes.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bücherregal-Problem (Stochastik)
Ich habe oben meine Ideen ergänzt - bis zur Situation "Dienstag, nach dem Lesen".

Ist das okay?

Wenn ja, dann muss ich doch jetzt für die 25 möglichen Ausgangssituationen ("Mittwoch, vor dem Lesen") wieder alle Möglichkeiten aufschreiben? Ohje!
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bücherregal-Problem (Stochastik)
Zitat:
Original von Dennis2010
Wenn ja, dann muss ich doch jetzt für die 25 möglichen Ausgangssituationen ("Mittwoch, vor dem Lesen") wieder alle Möglichkeiten aufschreiben? Ohje!
Du musst nicht alle Möglichkeiten betrachten, sondern nur die, bei denen du das Buch von Montag wieder ziehen kannst.

Wenn du das Buch am Montag an die 4. oder 5. Stelle stellst dann kannst du das Buch am Donnerstag nicht ziehen.
Am Dienstag und Mittwoch fallen da noch mehr Möglichkeiten heraus.

Auf diese Weise würden hier schon einige Kombinationen herausfallen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bücherregal-Problem (Stochastik)
Stimmt! Ich muss ja nur auf das Buch A achten.

Wenn ich mir das so ansehe, kann ein Buch pro Tag entweder an seiner Position bleiben oder eine Position weiter nach links wandern.

Es sind ja insgesamt 3 "Veränderungen" zu berücksichtigen:
Am Montag wird das am meisten links stehende Buch genommen und zurückgestellt, ebenso am Dienstag und am Mittwoch.

Am Donnerstag zählt ja dann für die Aufgabe nur noch, wo Buch A anzutreffen ist.

Das heißt, ich muss nur folgende Situationen betrachten:

Montag: Buch A an Position 1, 2, oder 3

[Denn wenn Buch A beispielsweise auf Position 4 steht, so kann Buch A von Montag nach Mittwoch maximal auf Position 2 (von links aus gesehen) wandern, kommt also für den Donnerstag nicht als "Kandidat" in Frage.

Dienstag: Buch A an Position 1 oder 2

Mittwoch: Buch A an Position 1


Ich male jetzt mal das Baumdiagramm. Dann kann ichs bestimmt konkret mal ausrechnen. Aber die Idee müsste (hoffentlich) stimmen.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bücherregal-Problem (Stochastik)
Zitat:
Original von Dennis2010
Am Donnerstag zählt ja dann für die Aufgabe nur noch, wo Buch A anzutreffen ist.

Das heißt, ich muss nur folgende Situationen betrachten:

Montag: Buch A an Position 1, 2, oder 3

[Denn wenn Buch A beispielsweise auf Position 4 steht, so kann Buch A von Montag nach Mittwoch maximal auf Position 2 (von links aus gesehen) wandern, kommt also für den Donnerstag nicht als "Kandidat" in Frage.

Dienstag: Buch A an Position 1 oder 2

Mittwoch: Buch A an Position 1
Das stimmt soweit.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme dann auf das Ergebnis, dass man mit einer Wahrscheinlichkeit von am Donnerstag das Buch vom Montag (A) nimmt.

Hier sind die relevanten Anordnungen für Montag (nach dem Lesen) [auf der linken Seite des Gedankenstriches] und Dienstag (nach dem Lesen) [auf der rechten Seite des Gedankenstriches]:

ABCDE - (ABCDE & BACDE)
BACDE - (BACDE & ABCDE & ACBDE & ACDBE & ACDEB)
BCADE - (CABDE & CADBE & CADEB)

Und hier sind die relevanten Anordnungen für Dienstag (nach dem Lesen) [auf der linken Seite des Gedankenstriches] und für Mittwoch (nach dem Lesen) [auf der rechten Seite des Gedankenstriches]:

ABCDE - (ABCDE)
BACDE - (ABCDE & ACBDE & ACDBE & ACDEB)
BACDE - (ABCDE & ACBDE & ACDBE & ACDEB)
ABCDE - (ABCDE)
ACBDE - (ACDBDE)
ACDBE - (ACDBE)
ACDEB - (ACDEB)
CABDE - (ACBDE & ABCDE & ABDCE & ABDEC)
CADBE - (ACDBE & ADCBE & ADBCE & ADBEC)
CADEB - (ACDEB & ADCEB & ADECB & ADEBC)

Ich hoffe, diese beiden Tabellen können das Baumdiagramm erkennen lassen.

Und nun muss ich die Wahrscheinlichkeiten addieren.

Ich zeige mal kurz, wie ich das für einen Pfad berechnet habe:

Beispiel:

ABCDE: Wahrscheinlichkeit 0,2 - ABCDE: Wahrscheinlichkeit 0,2 - ABCDE: Wahrscheinlichkeit 0,2

Insgesamt für diesen Pfad:


Weiteres Beispiel:

BACDE: Wahrscheinlichkeit 0,2 - BACDE: Wahrscheinlichkeit 0,2 - ABCDE: Wahrscheinlichkeit 0,2

BACDE: 0,2 - BACDE: 0,2 - ACBDE: 0,2

BACDE: 0,2 - BACDE: 0,2 - ACDBE: 0,2

BACDE: 0,2 - BACDE: 0,2 - ACDEB: 0,2

Insgesamt



So, ich hoffe, nun ist klar geworden, wie ich mein Baumdiagramm gezeichnet habe und wie ich am Ende auf 0,2 als Wahrscheinlichkeit komme.

Hoffentlich stimmt's!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung für die Unübersichtlichkeit meiner letzten Antwort.

Ich wusste es nicht besser darzustellen.

Im Grunde würde mir ein "Ok" reichen, wenn mein Endergebnis stimmt.

Ich möchte niemanden zumuten, dieses Durcheinander ansehen zu müssen.



Ich zweifle im Grunde nur an meinem Ergebnis, weil ich das so seltsam finde, dass da 0,2 herauskommt. Ist das ein Zufall oder hätte man sich gleich denken können, dass man mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 am Donnerstag erneut das Buch vom Montag zieht?---
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte ich vielleicht noch einen Hinweis bekommen, ob mein Ergebnis korrekt ist oder falsch?

Dann könnte ich das ad acta legen. Augenzwinkern
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis ist richtig.

Du könntest die Herleitung übersichtlicher gestalten, wenn du die Übergangsmatrix A betrachtest, die angibt, an welcher Stelle j sich ein Buch nach einmaligem Umstellen mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet, wenn es sich vor dem Umstellen auf der Position i befand. Sie lautet:



Die erste Zeile besagt, nach einmaligem Umstellen befindet sich das Buch von der Position 1 mit der Wahrscheinlichkeit 1/5 auf jeder der 5 Positionen. Die Matrix gibt die Wahrscheinlichkeit der Positionen der Bücher nach n-maligem Umstellen an.

Für die Aufgabe brauchst du aber nur die erste Zeile von zu berechnen. Dann sieht man, dass sich das Buch von Position 1 unverändert mit Wahrscheinlichkeit 1/5 auf jeder der 5 Positionen befindet. Damit tut es das auch n-maligem Umstellen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

1.) Super, dass ich mal was richtig berechnet habe.

2.) Vielen Dank für den Vorschlag, wie man's besser bzw. übersichtlicher notieren kann!
Dirktator Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn dieser Thread schon lange tot ist:

Zitat:
Original von Huggy


Für die Aufgabe brauchst du aber nur die erste Zeile von zu berechnen. Dann sieht man, dass sich das Buch von Position 1 unverändert mit Wahrscheinlichkeit 1/5 auf jeder der 5 Positionen befindet. Damit tut es das auch n-maligem Umstellen.


Das ist im Allgemeinen nicht gültig. Schon für gilt



Ansonsten gibt es nur noch Grüße von mir
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dirktator
Das ist im Allgemeinen nicht gültig. Schon für gilt


Falsch gerechnet! unglücklich Es ist:



Und völlig unnötig gerechnet. unglücklich Die Zeilensumme und die Spaltensumme gibt in jeder Potenz der Matrix 1, da die Summe der Wahrscheinlichkeiten pro Buch 1 sein muss und pro Platz 1 sein muss. Da der erste Zeilenvektor zu Anfang (1, 1, 1, 1, 1)/5 ist, ergibt das multpliziert mit Spaltenvektoren, deren Komponentensumme 1 ist, immer wieder den Vektor (1,1,1,1,1)/5.
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