transzendenz zeigen

08.06.2011, 17:28

data8890

transzendenz zeigen

Hey!
Also meine Aufgabe lautet:
Sei L/K eine rein transzendente Körpererweiterung.
Zeige: jedes a aus L\K ist transzendent über K.

Ich dachte mir ich mache einen Widerspruchsbeweis:
ang.:
a aus L\K sei algebraisch über K
=>es ex. ein f aus K[x]\K mit f(a)=0 aber was kann ich jetzt damit anfangen?

Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte.Danke
LG data

08.06.2011, 17:56

juffo-wup

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Wähle dir eine Transzendenzbasis B. Da die Erweiterung rein transzendent ist, gilt L=K(B). Dein Element a lässt sich also als polynomieller Ausdruck in Elementen aus B schreiben : $\begin{eqnarray*} a=g(b_1,..,b_n) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} g\in K[X_1,..,X_n] \end{eqnarray*}$ und gewisse $\begin{eqnarray*} b_1,..,b_n\in B. \end{eqnarray*}$
Nun kommst du mit deinem Ansatz weiter.

08.06.2011, 18:57

data8890

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Vielen Dank schonmal für deine Antwort
Also ich fasse mal zusammen was ich jetzt habe:
da L/K rein transzendent
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow L=K\left(B\right) \end{eqnarray*}$ und alle Elemente $\begin{eqnarray*} a \in L\setminus K \end{eqnarray*}$ können dargestellt werden als
$\begin{eqnarray*} a= g\left(b_{1} ,...,b_{n} \right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} b_1 ,\ldots, b_n\in B \end{eqnarray*}$
da a algebraisch $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f\left(g\left(b_{1},...,b_{n} \right) \right)=0 \end{eqnarray*}$ aber um einen Widerspruch zur algebraischen abhängigkeit zu kriegen brauche ich doch $\begin{eqnarray*} f\left(b_{1} ,...,b_{n} \right)=0 \end{eqnarray*}$
lg data

08.06.2011, 19:12

juffo-wup

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f verknüpft mit g ist doch wieder ein Polynom in n Variablen mit Koeffizienten in K. Wie kann man den Grad dieses Polynoms mit den Graden von f und g ausdrücken? Und was sagt dann die algebraische Unabhängigkeit der b?

08.06.2011, 20:04

data8890

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Der grad ist doch dann der grad f*grad g oder?
Aber was hat das jetzt mit der algebraischen abhängigkeit zu tun?
lg

08.06.2011, 20:54

juffo-wup

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Zitat:

Original von data8890
Der grad ist doch dann der grad f*grad g oder?

Ja.

Zitat:

Aber was hat das jetzt mit der algebraischen abhängigkeit zu tun?

Wie ist denn deine Definition von algbraisch unabhängig?

08.06.2011, 21:06

data8890

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Sei L/K Körpererweiterung. Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} T\subseteq L \end{eqnarray*}$ heiße algebraisch unabhängig über K, falls $\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N ,\forall a_1,\ldots ,a_n\in T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall f\in K[x_1,\ldots ,x_n]\setminus K \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f\left(a_1, \ldots ,a_n\right)\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

08.06.2011, 21:15

juffo-wup

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Und jetzt ist doch $\begin{eqnarray*} f(g(b_1,..,b_n))=0 \end{eqnarray*}$ also was folgt dann für das Polynom $\begin{eqnarray*} f(g(x_1,..,x_n)) \end{eqnarray*}$ ?

08.06.2011, 21:30

data8890

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Also jetzt steh ich irgendwie total aufm schlauch...

08.06.2011, 22:11

juffo-wup

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B ist als Transzendenzbasis algebraisch unabhängig.

08.06.2011, 22:32

data8890

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ja ich weiß, aber ich raff das mit dem g nicht ich brauche ja $\begin{eqnarray*} f\left(b_1, \ldots ,b_n\right)= 0 \end{eqnarray*}$ um den widerspruch zu kriegen und habe jetzt aber noch dieses g. der grad der verknüpfung ist das produkt aber was hat das jetzt mit alldem zu tun???

08.06.2011, 22:40

juffo-wup

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Warum bist du so fixiert auf $\begin{eqnarray*} f(b_1,..,b_n)=0 \end{eqnarray*}$ ? Wende doch einfach nur die eben von dir genannte Definition der algebraischen Unabhängigkeit auf $\begin{eqnarray*} b_1,..,b_n \end{eqnarray*}$ und das Polynom $\begin{eqnarray*} f(g(x_1,..,x_n)) \end{eqnarray*}$ an.

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