Exponentialverteilung (System)

08.06.2011, 18:10

Gast11022013

Exponentialverteilung (System)

Meine Frage:
Ein System bestehe aus vier gleichartigen, voneinander unabhängigen Komponenten A,B,C,D. Es funktioniert, wenn (A und B) oder (C und D) funktionieren. Die Funktionsdauer des Gesamtsystems werde mit T, die der einzelnen Komponenten mit $\begin{eqnarray*} T_k \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k\in \left\{A,B,C,D\right\} \end{eqnarray*}$ bezeichnet. $\begin{eqnarray*} T_k \end{eqnarray*}$ sei exponentialverteilt zum Parameter $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Wir nehmen an, dass $\begin{eqnarray*} (T_k)_{k\in \left\{A,B,C,D\right\}} \end{eqnarray*}$ unabhängig ist.

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} P(T<t)=\left(1-e^{-2\alpha t}\right)^2 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:

Die $\begin{eqnarray*} T_k \end{eqnarray*}$ sind exponentialverteilt zum Parameter $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sein sollen, d.h., die Dichte ist:

$\begin{eqnarray*} f_{\alpha}(t)=\alpha e^{-\alpha t} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{\alpha}(t)=0 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ .

Was kann man über die Zufallsvariable T sagen?

Ich würde meinen, dass $\begin{eqnarray*} T=((T_A\cap T_B), (T_C\cap T_D)<t) \end{eqnarray*}$ ist. Kann das sein?

Und dementsprechend würde ich dann auch rechnen:

$\begin{eqnarray*} P(T<t)=P(((t_A\cap T_B),(T_C\cap T_D))) \end{eqnarray*}$

Oder muss ich rechnen mit:

$\begin{eqnarray*} T=(T_A\cap T_B)+(T_C\cap T_D) \end{eqnarray*}$ ?

Weiter:

Im Grunde muss man doch folgende Möglichkeiten berücksichtigen:

1.) (A und B) funktioniert oder (C und D) funktioniert
2.) (A und B) funktioniert und (C und D) funktioniert

In beiden Fällen Funktioniert das Gesamtsystem.

Oder nicht?

Ist dann $\begin{eqnarray*} P(T<t)=P((T_A\cap T_B))+P((T_C\cap T_D)) \end{eqnarray*}$ ?

Das wäre dann, da die $\begin{eqnarray*} T_k \end{eqnarray*}$ als unabhängig vorausgesetzt werden sollen:

$\begin{eqnarray*} =P(T_A)P(T_B)+P(T_C)P(T_D) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2\cdot \left(\int_0^t \alpha e^{-\alpha x} dx\right)^2=2\cdot \left(e^{\alpha t}-1\right)^2\cdot e^{-2\alpha t} \end{eqnarray*}$

Aber das ist nicht das, was herauskommen soll... verwirrt

Was mache ich verkehrt??

08.06.2011, 19:19

Gast11022013

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Hab nochmal EINIGES geändert und ergänzt.

Wer kann mir bitte helfen?

08.06.2011, 20:39

Gast11022013

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Ich glaube, mein Problem liegt darin, dass ich nicht weiß, wie ich die Zufallsvariable T auch schreiben kann.

T soll doch die Funktionsdauer des gesamten Systems sein.

Das System funktioniert ja, wenn (A und B) oder (C und D) funktionieren.

Für "(A und B) funktioniert" bedeutet das doch für die Funktionsdauer:

$\begin{eqnarray*} T_A\cap T_B \end{eqnarray*}$ oder nicht? Ist dann $\begin{eqnarray*} T=(T_A\cap T_B) \end{eqnarray*}$ ?

Für "(C und D) funktioniert" ist doch die Funktionsdauer $\begin{eqnarray*} T_C\cap T_D \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} T=(T_C\cap T_D) \end{eqnarray*}$ ?

Nun bin ich mir aber unsicher, ob man auch den Fall (A und B) UND (C und D) funktionieren betrachten muss, ich denke ja, denn auch dann funktioniert ja das Gesamtsystem. Wie allerdings hier die Funktionsdauer näher zu beschreiben ist, weiß ich nicht genau, vielleicht durch $\begin{eqnarray*} T=[(T_A\cap T_B)\cap (T_C\cap T_D)] \end{eqnarray*}$ ? Oder vielleicht doch lieber durch $\begin{eqnarray*} T=max\left\{(T_A\cap T_B),(T_C\cap T_D)\right\} \end{eqnarray*}$ ?

Ich weiß nicht, wie man das dann alles aufschreibt.

Man soll ja $\begin{eqnarray*} P(T<t)=F_T(t) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Aber was setzt man da jetzt für T ein??

08.06.2011, 22:07

Gast11022013

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Hat jemand einen Hinweis für mich?

verwirrt

Ist mit dem "oder" vielleicht doch nur gemeint:

(A und B) oder (C und D), aber nicht beides?..

Ich kann's mir nicht vorstellen irgendwie, dass man dieses "oder" hier meint.

09.06.2011, 06:37

Gast11022013

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Ist $\begin{eqnarray*} (1-e^{-\alpha t})^4=(e^{\alpha t} -1)^4\cdot e^{-4\alpha t}=(1-e^{-2\alpha t})^2=e^{-4\alpha t}\cdot (e^{2\alpha t} -1)^2 \end{eqnarray*}$ ?

Das ist das Einzige, das ich immer wieder herausbekomme.

Ansonsten muss ich jezt echt passen.

09.06.2011, 11:16

Huggy

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Deinen Überlegungen fehlt jeder klare Gedanke und du vermengst in der Notation und wahrscheinlich auch im Kopf Zufallsgrößen und Ereignisse. Eine Schreibweise

$\begin{eqnarray*} T=T_A \cap T_B \end{eqnarray*}$

ist völlig unsinnig. Da stehen doch Zufallsgrößen und keine Ereignismengen. Sinnvoll, wenn auch inhaltlich falsch, wäre höchstens folgende Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} T \leq t = (T_A \leq t) \cap (T_B \leq t) \end{eqnarray*}$

Du hast also 4 Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} T_A, T_B, T_C, T_D \end{eqnarray*}$ mit identischer Verteilungsfunktion F(t)

$\begin{eqnarray*} F(t)=F_A(t)=F_B(t)=F_C(t)=F_D(t)=1-e^{-\alpha t} \end{eqnarray*}$

Nun sei $\begin{eqnarray*} T_{A+B} \end{eqnarray*}$ die Lebensdauer des Systems aus A und B, bei dem A und B funktionieren müssen mit der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_{A+B}(t) \end{eqnarray*}$ . Wann ist $\begin{eqnarray*} T_{A+B} \leq t \end{eqnarray*}$ erfüllt? Du hast offenbar die Vorstellung

$\begin{eqnarray*} T_{A+B} \leq t = (T_A \leq t) \cap (T_B \leq t) \end{eqnarray*}$

Das ist aber falsch! Wenn A und B beide funktionieren müssen, ist doch die Lebensdauer des gekoppelten Systems schon kleiner t, wenn nur die Lebensdauer einer Komponente kleiner t ist. Richtig ist also:

$\begin{eqnarray*} T_{A+B} \leq t = (T_A \leq t) \cup (T_B \leq t) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} F_{A+B}(t)=P(T_{A+B} \leq t) =P( (T_A \leq t) \cup (T_B \leq t))=1-P( (T_A > t) \cap (T_B > t)) \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du die rechte Seite unter Benutzung der Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} T_k \end{eqnarray*}$ durch die Verteilungsfunktion F(t) ausdrücken und damit hast du ein erstes Teilergebnis. Der nächste und letzte Schritt, die Bestimmung der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_T(t) \end{eqnarray*}$ des Gesamtsystems geht dann ganz ähnlich.

09.06.2011, 12:09

Gast11022013

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Zunächstmal: Danke, dass Du für Ordnung & Struktur in meinem heillosen Chaos gesorgt hast.

Dann habe ich mal gerechnet:

$\begin{eqnarray*} F_{A+B}(t)=1-P((T_A>t)\cap (T_B>t)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1-[P(T_A>t)\cdot P(T_B>t)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1-[(1-P(T_A\leq t))\cdot (1-P(T_B\leq t))] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1-[(1-(1-e^{-\alpha t}))\cdot (1-(1-e^{-\alpha t}))] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1-e^{-2\alpha t} \end{eqnarray*}$

Analog bestimmt man dann vermutlich $\begin{eqnarray*} F_{C+D}(t) \end{eqnarray*}$ und kommt auch hier auf:

$\begin{eqnarray*} F_{C+D}(t)=1-e^{-2\alpha t} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Und wie bestimmt man nun $\begin{eqnarray*} F_T(t) \end{eqnarray*}$ ?

[Damit das Endergebnis herauskommt, müsste man jetzt $\begin{eqnarray*} F_{A+b}(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_{C+D}(t) \end{eqnarray*}$ miteinander multiplizieren. Aber die Begründung dafür ist mir nicht klar und das einfach so zu behaupten, das geht ja nicht.]

09.06.2011, 12:46

Huggy

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Zitat:

Original von Dennis2010
Analog bestimmt man dann vermutlich $\begin{eqnarray*} F_{C+D}(t) \end{eqnarray*}$ und kommt auch hier auf:

$\begin{eqnarray*} F_{C+D}(t)=1-e^{-2\alpha t} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Das ist richtig.

Zitat:

Und wie bestimmt man nun $\begin{eqnarray*} F_T(t) \end{eqnarray*}$ ?

[Damit das Endergebnis herauskommt, müsste man jetzt $\begin{eqnarray*} F_{A+b}(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_{C+D}(t) \end{eqnarray*}$ miteinander multiplizieren. Aber die Begründung dafür ist mir nicht klar und das einfach so zu behaupten, das geht ja nicht.]

Natürlich kann man das nicht einfach behaupten. Ich hatte aber gehofft, dass du die Überlegung dazu selbst finden würdest.

Das Gesamtsystem funktioniert, solange eines der beiden Teilsysteme A+B oder C+D funktioniert. Damit es nicht mehr funktioniert, müssen also beide Teilsysteme nicht mehr funktionieren. Das heißt:

$\begin{eqnarray*} T \leq t = (T_{A+B} \leq t) \cap (T_{C+D} \leq t) \end{eqnarray*}$

09.06.2011, 13:43

Gast11022013

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Herzlichen Dank!

Idee!

12.06.2011, 12:39

likosa

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Was ich noch nicht ganz verstehe ist, wenn gilt:
Die $\begin{eqnarray*} T_k \end{eqnarray*}$ sind exponentialverteilt zum Parameter $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , d.h., die Dichte ist:

$\begin{eqnarray*} f_{\alpha}(t)=\alpha e^{-\alpha t} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{\alpha}(t)=0 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$

wie kommt man dann auf
$\begin{eqnarray*} T_A, T_B, T_C, T_D \end{eqnarray*}$ mit identischer Verteilungsfunktion F(t)

$\begin{eqnarray*} F(t)=F_A(t)=F_B(t)=F_C(t)=F_D(t)=1-e^{-\alpha t} \end{eqnarray*}$ ??

Wäre toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!

12.06.2011, 14:00

Gast11022013

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Ich weiß nicht, ob ich Deine Frage korrekt verstehe, aber $\begin{eqnarray*} 1-e^{-\alpha t} \end{eqnarray*}$ ist einfach die zugehörige Verteilungsfunktion zu einer zum Parameter $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ exponentialverteilten Zufallsvariable.

Und da $\begin{eqnarray*} T_A,T_B,T_C,T_D \end{eqnarray*}$ alle zum Parameter $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ exponentialverteilt sind, haben sie auch alle die gleiche Verteilungsfunktion, nämlich gerade $\begin{eqnarray*} 1-e^{-\alpha t} \end{eqnarray*}$ .

12.06.2011, 16:04

Gast11022013

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Achso, doch nochmal eine Frage.

Da A,B,C,D unabhängige Komponenten sind, sind doch auch A+B (System aus den Komponenten A und B) und C+D (System aus den Komponenten C und D) unabhängig?

Sodass man weiterrechnen kann mit:

$\begin{eqnarray*} F_T(t)=P(T\leq t)=P((T_{A+B}\leq t)\cap (T_{C+D}\leq t)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =P(T_{A+B}\leq t)\cdot P(T_{C+D}\leq t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(1-e^{-2\alpha t})^2 \end{eqnarray*}$

Stimmt doch, oder?

31.08.2011, 17:02

Gast11022013

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Sehe ich das richtig, daß es hier egal ist, ob man

$\begin{eqnarray*} P(T<t) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} P(T\leq t) \end{eqnarray*}$ bestimmt und in beiden Fällen $\begin{eqnarray*} (1-e^{-2\alpha t})^2 \end{eqnarray*}$ herauskommt, da die Exponentialverteilung eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist und Punktwahrscheinlichkeiten daher 0 sind?

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