Unterraum von Polynomen

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Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum von Polynomen
Hallo, ich habe folgende Aufgabe:



und soll ermitteln ob U ein Unterraum von P3 ist.

Wie prüfe ich nun die Abgeschlossenheit auf Addition / Multiplikation?

Aufstellen eine Polynoms dritten Grades?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Indem du überprüfst, ob für Polynome auch bei und (mit ) die charakterisierende Eigenschaft erfüllt ist.
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Kann dich machen idem ich sage:





und dann prüfe ob:

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tarsuinn


Das ist die Definition der Addition von Polynomen. Das ist aber nicht die charakterisierende Eigenschaft.
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Zitat:
Original von Tarsuinn


Das ist die Definition der Addition von Polynomen. Das ist aber nicht die charakterisierende Eigenschaft.


Das stimmt, die Eigenschaft ist:



Jetzt müsste ich ja nur die beiden Gleichung gleichsetzten und zeigen das sie wieder in U liegen, richtig?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lautet denn deiner Meinung nach die charakterisierende Bedingung?
 
 
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm ich weiß nicht vorauf du hinaus möchtest?!?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte die folgende Teilmenge der ganzen Zahlen:



Was ist denn hier die Eigenschaft, die die Elemente von aussondert und zuweist?
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Betrachte die folgende Teilmenge der ganzen Zahlen:



Was ist denn hier die Eigenschaft, die die Elemente von aussondert und zuweist?




denn nur diese Elemente gelten für T
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist bei



die Eigenschaft, die die Elemente aus aussondert?
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Alle p für die gilt:




Ok jetzt weiß ich was du meinst, aber wie bringe ich diese Eigenschaft
jetzt in die rechnung ein?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Also mußt du auch diese Bedingungen für und für nachprüfen, wenn sind. Dabei darfst du verwenden, wie und definiert sind, nämlich als

Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »




somit wäre das:
















Somit wäre das erfüllt:



Wäre das so ok?
Leke Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, ich habe auch mit der selben Aufgabe meine Schwierigkeiten...,

kann man die Aufgabe auch wie folgt lösen?

Es sei

d.h. mit

sowie mit


mit
und mit



Damit hätte ich ja dann vll. schon mal die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition bewiesen?

Schon mal vielen vielen lieben Dank! Leke
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Wie würde man dazu eine Basis bestimmen?
u-nik Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tarsuinn
Wie würde man dazu eine Basis bestimmen?


Das würde mich auch interessieren.

Mein Ansatz wäre: 1 und -1 in das Polynom 3. Grades einsetzen und die beiden Gleichungen gleichsetzen, da beide 0 ergeben.

Danach erhalte ich so {x^0,x^3} als Basis. Nur kann das richtig sein? Bin mir da noch unsicher.

Gruß, Nik
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fasse das ganze hier nochmal auf, bei der Unterraumprüfung zu folgendem Polynom, reicht es da zu sagen das einen Addition von geraden Funktionen auch wieder gerade ist und sich daran nix ändert oder muss man da noch weiter gehen?

P(x) soll gerade sein, somit ist p(x) = p(-x)








Würde jetzt wie oben schon geschrieben argumentieren das die Addition zweier geraden Funktionen nix daran ändert und diese immer noch gerade sind, zudem es keine weiteren Einschränkungen gibt sind sie abgeschlossen unter der Addition.

Reicht das?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie unterscheidest du immer noch nicht zwischen der Definition der Addition in und der charakterisierenden Eigenschaft.

Im Moment hast du nur die Definition der Addition aufgeschrieben und in die Stellen und eingesetzt. Jede Auswertung oder Interpretation in Bezug auf fehlt.
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Was sollte man an der Stelle noch interpretieren außer das die Summe von geraden Funktionen wieder gerade sind und somit auch in U liegen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber das behauptest du ja nur. Behaupten kann man viel. Ich habe Lust, das Gegenteil zu behaupten, und sage: ist kein Unterraum.
So. Und nun?
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Ja, aber das behauptest du ja nur. Behaupten kann man viel. Ich habe Lust, das Gegenteil zu behaupten, und sage: ist kein Unterraum.
So. Und nun?


Ok dann nehmen wir an p + q ist gerade

es ist zu zeigen:



also

So in der Richtung?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist das ein Beweis. Nur die Eingangsfloskel stimmt nicht:


Zitat:
Original von Tarsuinn
Ok dann nehmen wir an p + q ist gerade


Verwende die richtigen Fachtermini.
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke nochmal für deine Hilfe, ich muss da wohl noch üben und mir Beispiele ansehen, wobei es eigentlich rechts triviale beweise sind.
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Achso was mir gerade noch einfällt um das ganze zu vervollständigen, würde so die Basis dazu aussehen wenn der raum Pn und nicht P3 wäre?





Eindeutigkeit der Koeffizienten:



Daraus folgt dann:







Somit wäre die Basis:

Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte die Rechnung in meinen letzten Post noch jemand bestätigen, Danke?
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