Diagonalisierbarkeit im Teilraum

08.06.2011, 19:40

El Rey

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Diagonalisierbarkeit im Teilraum

Meine Frage:
hallo liebes forum Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich sitze grad an folgender aufgabe und komme nich weiter

aufg:

es sei $\begin{eqnarray*} V &ein& \mathbb R -VR \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F\in Hom(V) \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar und es sei $\begin{eqnarray*} V = \oplus_i V_i \end{eqnarray*}$ eine direkte summe F-invarianter unterräume (über i bis k)
zeige dann ist $\begin{eqnarray*} F|_{V_i} \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar

Meine Ideen:
ich weis was diagonalisierbarkeit heißt und ich kenne auch invariante unterräume aber wie nutzt man das hier aus ??

kann mir da wer helfen ??

08.06.2011, 19:47

jester.

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Hallo,

meines Erachtens ist diese Aussage nicht richtig. Betrachte mal einen nicht-diagonalisierbaren Endomorphismus von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{2\times 1} \end{eqnarray*}$ . Aus der Nicht-Diagonalisierbarkeit folgt, dass die einzige Zerlegung in $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ -invariante Unterräume der Gesamtraum selbst ist. Dort ist der Endomorphismus aber nicht diagonalisierbar.

Ein konkretes Gegenbeispiel kann man leicht durch Angabe einer geeigneten Abbildungsmatrix angeben.

08.06.2011, 21:36

El Rey

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aber die diagonalisierbarkeit ist doch schon vorausgesetzt, das is ja quasi die aussgangssituation

08.06.2011, 21:56

jester.

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Da habe ich mal wieder nicht genau genug gelesen. Hammer

Hammer

Sehr einfach kann man hier mit dem Minimalpolynom argumentieren, falls es zur Verfügung steht. Es gilt nämlich
$\begin{eqnarray*} f\text{ diagonalisierbar } \Leftrightarrow \mu_f \text{ zerfällt vielfachheitenfrei in Linearfaktoren} \end{eqnarray*}$ .

Falls das Minimalpolynom nicht zur Verfügung steht, kann man von Hand arbeiten, indem man verwendet, dass
$\begin{eqnarray*} f\text{ diagonalisierbar } \Leftrightarrow V=\bigoplus_{i\in K} E_f(i) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist direkte Summe der Eigenräume von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Hier wäre dann zu zeigen, dass jeweils so ein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ -invarianter Teilraum in eine direkte Summe von Eigenräumen zerfällt.

08.06.2011, 22:29

El Rey

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hört sich plausibel an
aber wie zeigt man sowas ??

08.06.2011, 22:38

jester.

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Was davon? Also mit welcher Aussage willst du arbeiten?

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08.06.2011, 23:07

El Rey

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ohh sorry

Big Laugh

mit der 2. weil wir haben ja hier kein polynom aber eine solche zerlegung in f-invariante unterräume schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.06.2011, 23:33

jester.

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Zitat:

Original von El Rey
mit der 2. weil wir haben ja hier kein polynom

Die Frage war eigentlich eher, ob dir der Begriff des Minimalpolynoms geläufig ist, aber egal. Ich umreiße mal eine mögliche Vorgehensweise:

Sei $\begin{eqnarray*} U\leq V \end{eqnarray*}$ so ein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ -invarianter Teilraum. Für Eigenräume wähle ich nun mal die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} V(f,\lambda) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} U(f,\lambda) \end{eqnarray*}$ , damit wir wissen, von welchem Gundraum wir hier ausgehen. Klar entspricht dann $\begin{eqnarray*} U(f,\lambda) \end{eqnarray*}$ dem Eigenraum der Einschränkung.
Zu zeigen wäre nun $\begin{eqnarray*} U=\bigoplus_{\lambda\in\mathbb{R}} U(f,\lambda) \end{eqnarray*}$ , wobei sofort klar sein sollte, dass dort fast alle aufsummierten Räume trivial sind. Wir haben ja eine gewisse Anzahl an Eigenwerten und für jedes andere $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} U(f,\lambda)=\{0\} \end{eqnarray*}$ .

Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} V=\bigoplus_{\lambda\in\mathbb{R}}V(f,\lambda) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ schon diagonalisierbar ist. Daraus folgt, dass die zu untersuchende Summe direkt ist (wie?).

Zu zeigen bleibt also $\begin{eqnarray*} U=\sum_{\lambda\in\mathbb{R}} U(f,\lambda) \end{eqnarray*}$ , dazu zeige, dass ein $\begin{eqnarray*} u\in U-\{0\} \end{eqnarray*}$ geschrieben werden kann als Summe von Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die bereits in den Eigenräumen der Einschränkung liegen.

09.06.2011, 14:47

El Rey

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Zitat:

Zu zeigen bleibt also $\begin{eqnarray*} U=\sum_{\lambda\in\mathbb{R}} U(f,\lambda) \end{eqnarray*}$ , dazu zeige, dass ein $\begin{eqnarray*} u\in U-\{0\} \end{eqnarray*}$ geschrieben werden kann als Summe von Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die bereits in den Eigenräumen der Einschränkung liegen.

wenn man das zeigt, wie hilft mir das ??
das is mir i-wie noch nich so klar den rest verstehe ich soweit wenn bei dir $\begin{eqnarray*} U=V_i \end{eqnarray*}$ is Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.06.2011, 17:07

jester.

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Ich schrieb oben "Sei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ -invarianter Teilraum". Meinethalben kannst du den auch $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ nennen, ich persönlich würde mir den Index allerdings ersparen.

Wie gesagt, die Summe ist sicher direkt, also musst du nur zeigen, dass du ein Element $\begin{eqnarray*} u\in U-\{0\} \end{eqnarray*}$ schreiben kannst als Summe von Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die bereits in Eigenräumen von $\begin{eqnarray*} f|_U \end{eqnarray*}$ (der Einschränkung) liegen. Dann ist der Raum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ die (direkte) Summe dieser Räume, woraus dann die Diagonalisierbarkeit folgt (dort wollen wir ja eigentlich hin).

09.06.2011, 17:47

El Rey

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i-wie weis ich nich wie man das machen soll
is das nich so das die eigenvektoren eine basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ergeben müssen ??

09.06.2011, 18:00

El Rey

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ich glaub ich weis jez wie das geht, hab grad nochmal mein skript durchgekuckt und folgendes gefunden

also $\begin{eqnarray*} V_i \leq V \end{eqnarray*}$

außerdem gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^k V_i \end{eqnarray*}$ ist direkt und jedes $\begin{eqnarray*} v\in \sum\limits_{i=1}^k V_i \end{eqnarray*}$ hat eine eindeutige darstellung

$\begin{eqnarray*} v= \sum\limits_{i=1}^k v_i &mit& v_i\in V_i \end{eqnarray*}$

somit gilt doch das die vektoren linear unabhängig sind und eine basis bilden

kann man das so machen ??

09.06.2011, 18:25

jester.

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Zitat:

Original von El Rey
i-wie weis ich nich wie man das machen soll
is das nich so das die eigenvektoren eine basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ergeben müssen ??

Du solltest dringend auf Genauigkeit achten. Die Eigenvektoren der auf $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eingeschränkten Abbildung müssen eine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ bilden.
Das ist wieder eine andere äquivalente Formulierung der zu beweisenden Aussage.

Zitat:

also $\begin{eqnarray*} V_i \leq V \end{eqnarray*}$

außerdem gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^k V_i \end{eqnarray*}$ ist direkt und jedes $\begin{eqnarray*} v\in \sum\limits_{i=1}^k V_i \end{eqnarray*}$ hat eine eindeutige darstellung $\begin{eqnarray*} v= \sum\limits_{i=1}^k v_i &mit& v_i\in V_i \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht, wie das hier weiterhelfen soll. Du müsstest doch zeigen, dass so ein $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ eine Basis aus Eigenvektoren besitzt. Wie sollte das hier folgen?

Versuche doch einfach mal, dem Hinweis zu folgen. Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als Endomorphismus von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar, sodass $\begin{eqnarray*} V=\bigoplus_{i=1}^r V(f,\lambda_i) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ Eigenwerte gilt.
D.h. wir können auch jedes $\begin{eqnarray*} u\in U-\{0\} \end{eqnarray*}$ darstellen als $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^r v_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_i\in V(f,\lambda_i) \end{eqnarray*}$ .

Für ein $\begin{eqnarray*} j\in\{1,...,r\} \end{eqnarray*}$ müssen wir nun nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} v_j\in U \end{eqnarray*}$ . Dazu betrachte mal die Abbildung $\begin{eqnarray*} \prod_{\substack{i=1 \\ i\neq j}}^r (f-\lambda_i) \end{eqnarray*}$ (dies soll die Hintereinanderausführung kennzeichnen, du kannst es dir also auch als Matrixprodukt denken) und wende diese auf $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ an. Das liefert dir dann, dass $\begin{eqnarray*} v_j \end{eqnarray*}$ tatsächlich in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt. Beachte dazu nochmal alle Voraussetzungen der Aufgabe.

09.06.2011, 18:54

El Rey

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meinst du so ??

$\begin{eqnarray*} v\in U_j \Rightarrow F(v)=\lambda_j v &mit& v = \sum\limits_{i=1}^k u_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U_j = Eig(F, \lambda_j) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (F-\lambda _j id_v)(v)=(F-\lambda _j id_v)(\sum\limits_{i=1}^k u_i ) = (\lambda_i -\lambda _j)u_i \end{eqnarray*}$

jez weis ich aber i-wie immer noch nich was mir das mitteilen soll ?? Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.06.2011, 19:19

jester.

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Zitat:

Original von El Rey
meinst du so ??

$\begin{eqnarray*} v\in U \Rightarrow F(v)=\lambda_j v &mit& v = \sum\limits_{i=1}^k u_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (F-\lambda _j id_v)(v)=(F-\lambda _j id_v)(\sum\limits_{i=1}^k u_i ) = (\lambda_i -\lambda _j)u_i \end{eqnarray*}$

Ich habe nicht den Eindruck, dass du das liest, was ich dir schreibe. Vielleicht solltest du mal etwas länger über die Tipps nachdenken, deine Antworten kommen immer relativ schnell.

Übrigens: Lies bitte mal deine privaten Nachrichten.

09.06.2011, 21:23

El Rey

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wir wollen ja zeigen das $\begin{eqnarray*} v_j \in U \end{eqnarray*}$

ich würd sagen da wir ja $\begin{eqnarray*} v_j \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ nehmen, dann lassen wir $\begin{eqnarray*} F|_{U_j} \end{eqnarray*}$ drauf los aber da $\begin{eqnarray*} F(U_j)\subset U_j \end{eqnarray*}$ liegt unser $\begin{eqnarray*} v_j \end{eqnarray*}$ automatisch wieder in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$

is man damit jez fertig ??

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