Lineare Abbildung bzgl. kanonischer Basis

08.06.2011, 21:18

Xeno1999

Lineare Abbildung bzgl. kanonischer Basis

Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} y\in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||y||_2=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: {\mathbb R ^n \to \mathbb R ^n} \end{eqnarray*}$ die lineare Abbildung, die bzgl. der kanonschen Basis $\begin{eqnarray*} e_1,...,e_n \end{eqnarray*}$ die Matrix $\begin{eqnarray*} A:=(a_{ij})=\delta_{ij}-2y_iy_j \end{eqnarray*}$ oder in Kurznotation: $\begin{eqnarray*} A=E_n-2yy^T \end{eqnarray*}$ hat.

a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f(y)=-y \end{eqnarray*}$

b) Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ genau dann ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist, falls $\begin{eqnarray*} <x,y>_2=0 \end{eqnarray*}$ .

c) Wie kann man die Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ geometrisch beschreiben?

Hinweis: Für einen Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} y\in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} yy^T \end{eqnarray*}$ eine Matrix $\begin{eqnarray*} B\in \mathbb R ^{n x n} \end{eqnarray*}$ mit Einträgen $\begin{eqnarray*} b_{ij}=y_iy_j \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also zu a)

Ich hab versucht A=En-2yy^t einfach mal auszurechnen hat aber nicht ganz hingehauen.
Ich hatte für En die allg Einheitsmatrix genommen und y=(y1,..,yi,..,yn)
und y^t das ganze transponiert.

b und c bauen darauf auf smile

08.06.2011, 21:26

carlf

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RE: Lineare Abbildung bzgl. kanonischer Basis
Hi Xeno,

das $\begin{eqnarray*} A = E_n - 2yy^T \end{eqnarray*}$ musst du für a) ja gar nicht ausrechnen.
Was gesucht ist, ist ja bloß das Bild der von der Matrix induzierten Abbildung bzgl. der Standardbasis,
also das Produkt $\begin{eqnarray*} A \cdot y \end{eqnarray*}$ .
Versuche das doch einmal zu berechnen, ganz allgemein. Die Komponenten von y musst du dabei gar nicht einzeln hinschreiben.

08.06.2011, 21:46

Xeno1999

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Also ich habs glaub ich jetzt geschafft

$\begin{eqnarray*} A=E_n-2yy^{T} \Rightarrow A=E_n-2yy^{-1} \Rightarrow A=E_n-2E_n \Rightarrow A=-E_n \end{eqnarray*}$

b) noch keine genaue idee??

c) Das ganze beschreibt eine Spiegelung auf der y-Achse! Muss ich da noch die Spiegelung herleiten?

08.06.2011, 21:53

carlf

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Nein.
Erstens ist im allgemeinen $\begin{eqnarray*} y^T \neq y^{-1} \end{eqnarray*}$ , wobei zweitens ein "y^{-1}", also ein multiplikativ Inverses für Vektoren erstmal gar nicht existiert! yy^T ist ja eine Matrix, siehe unten in der Aufgabenstellung.
Drittens wäre bei A = -E_n die Aussage in b) falsch ; )

Schau dir lieber an, was A y ist, A selbst brauchst du wieg esagt gar nicht.

08.06.2011, 22:18

Xeno1999

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ich versteh leider nicht ganz was ich mir da anschauen soll A*y. wie soll ich das berechnen?

also wenn y=(y1,..,yi,..,yn) und y^T=(y1,...,yi,...,yn)^T

Dann wäre yy^T= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_{11} & y_{1i} & y_{1n} \\ y_{i1} & y_{ii} & y_{in} \\ y_{n1} & y_{ni} & y_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.06.2011, 22:19

carlf

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$\begin{eqnarray*} A = E_n - yy^T \end{eqnarray*}$ .
Mit dem Distributivgesetz kannst du A y leicht ausrechnen, wenn du außerdem die Assoziativität und die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \lvert\lvert y \rvert \rvert_2 = 1 \end{eqnarray*}$ eingehen lässt.

08.06.2011, 22:30

Xeno1999

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Also soll ich A*y=1 ausrechnen oder wie? irgendwie komm ich nicht drauf sry?

09.06.2011, 10:33

carlf

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Was meinst du mit Ay = 1?

Du hast einen Vektor y der Länge 1 gegeben und weißt

Zitat:

Original von carlf
$\begin{eqnarray*} A = E_n - yy^T \end{eqnarray*}$ .

Und dann kannst du mit zwei, drei Umformungen die die Distributivität und Assoziativität der Matrixmultiplikation benutzen, ganz leicht berechnen, dass Ay = -y ist.

Probier mal Ay mit Definition von A und den o.g. Rechengesetzen umzuformen.

10.06.2011, 18:18

Xeno1999

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Hi so habs noch mal überdacht:

ich hab ja A=En-2YY^T dann nehme ich A*y

dann hab ich AY=YEn-2Y^2Y^t ich weiss ja Y^2=1

daraus folgt dann AY=Y-2Y --> AY=-Y ---> f(y)=-y smile

10.06.2011, 18:37

Xeno1999

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und zu b)

da hab ich einfach Ax=x*(En-2yy^T)

-->Ax=xEn-2xyy^T--->Ax=x-2xyy^T ---> Ax=x nur wenn <x,y>_2=0

und zu c)

Da hab ich hingeschrieben das das ganze eine Spiegelung der y-Achse darstellt.

Hoffe das ist ausreichend oder muss ich noch was beweisen?

11.06.2011, 16:22

carlf

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Leider klappt es in a) immernoch nicht ganz, so wie du das machst.
y ist ein Vektor (oder eine n x 1- Matrix) -- da gibt es sowas wie y^2 erstmal gar nicht.
Außer du meinst das Skalarprodukt, dann schreib aber doch besser <y,y>.
Denn als Matrixmultiplikation wäre das Skalarprodukt y^T y, nicht yy!

Und wenn du links A mal y rechnest, darfst du rechts nicht y mal A hinschreiben.
Nicht nur, dass die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, wenn nicht grade n=1
ist, dann ist y mal A nichtmal definiert!!

In b) bleibt die Frage, warum aus Ax = x - 2 y y^T x sofort folgt, dass Ax = x nur für <x,y> = 0 gilt.
Das ist zwar nicht schwierig, solltest du aber trotzdem begründen.

zu c) Was meinst du denn mit der y-Achse?
Die Gerade durch den Koordinatenursprung mit Richtungsvektor e_2 = (0,1,0,0,...,0)?
Bzw einfach eine Achse im kartesischen Koordinatensystem der Dimension n (welche?), also zur Standardbasis?
Dann ist das leider falsch..
Was könnte denn eine (lineare) Abbildung tun, die alle Punkte x mit <x,y> = 0
fest lässt und y auf -y schickt für einen Vektor y?!

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