Tetraeder-Würfel Verteilung von Maximum und Summe

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Schlumpf90 Auf diesen Beitrag antworten »
Tetraeder-Würfel Verteilung von Maximum und Summe
Hallo, habe hier eine wichtige Aufgabe, bei der ich gerade nicht weiterkomme:

"Beim zweimaligen Wurf mit einem fairen Tetraeder-Würfel, dessen Flächen mit 1,2,3,4 beschriftet seien, bezeichne X die Summe und Y das Maximum der jeweils unten liegenden Augenzahl. Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y , d.h. P (X=x, Y=y) für alle Werte x von X und y von Y."

Hatte die Idee, alle möglichen Kombinationen aufzuschreiben, also z.B. bei geworfenen 1 und 2 ist die Summe X=3 und das Maximum Y=2 usw. Leider sagen mir die notierten Kombinationen wenig und ich weiß nicht, ob das der richtige Ansatz ist und wenn ja, wie ich daraus eine Verteilung angeben kann. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, in welche Richtung ich weiterarbeiten muss?
Viele liebe Grüße smile
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tetraeder-Würfel Verteilung von Maximum und Summe
Zitat:
Original von Schlumpf90

Hatte die Idee, alle möglichen Kombinationen aufzuschreiben, also z.B. bei geworfenen 1 und 2 ist die Summe X=3 und das Maximum Y=2 usw. Leider sagen mir die notierten Kombinationen wenig und ich weiß nicht, ob das der richtige Ansatz ist und wenn ja, wie ich daraus eine Verteilung angeben kann. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, in welche Richtung ich weiterarbeiten muss?
Viele liebe Grüße smile
Die Idee ist schonmal richtig.
Den Kombinationen kannst du dann jeweils die Summe und das Maximum der jeweils unten liegenden Augenzahl zuordnen und so die günstigen Ereignisse berechnen.
Jede der so auftretenden Ereignisse ist gleichwahrscheinlich (wobei wir die Reihenfolge beachten)

Du kannst dir auch mal überlegen, welche Werte X und Y überhaupt annehmen können.

Wenn du also P (X=x, Y=y) berechnen möchtest dann zählst du dazu die Ereignisse mit X=x und Y=y
Schlumpf90 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tetraeder-Würfel Verteilung von Maximum und Summe
Ok, vielen Dank.
Habe also 16 mögliche Kombinationen und für jedes Ereignis mit jeweils zwei verschiedenen Augenzahlen gibt es zwei Möglichkeiten (z.B. für X=3 und Y=2 gibt es die Möglichkeiten 1,2 und 2,1) zu würfeln. Handelt es sich um einen Pasch, so gibt es nur eine Möglichkeit für das entsprechende Ereignis, schließlich braucht man hier keine umgekehrte Reihenfolge beachten. Also sind die Wahrscheinlichkeiten 1/8 bzw. 1/16 (bei Pasch). Ist das so korrekt? Reicht diese Angabe für die Angabe der Verteilung?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich muss diese Tetraeder-Aufgabe auch lösen und habe dazu im Internet eine Lösung gefunden. Ich möchte Dir natürlich nicht das eigene Lösen vermiesen, denn das ist ja sowieso viel besser, es selbst zu machen.

Wenn Du aber nachher mal eine Kontrolle haben willst, so kann ich Dir den Link gerne geben! [Dort ist ein anderer Lösungsweg vorgerechnet. Es steht dort aber auch explizit, dass man die Aufgabe so wie Du lösen kann.]

[Und Punkte kann man ja immer brauchen...]
Schlumpf90 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, bin ich denn auf der richtigen Spur?
Ja, wäre echt super, wenn du mir den Link geben könntest, dann könnte ich meine Ideen überprüfen...
Vielen Dank schon mal im Voraus smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ergebnisse sehen gut aus!

Vergleiche sie mal mit diesem Lösungsweg (s. Aufgabe 2) und dem, was dabei herauskommt:

http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten.../ss05/loes5.pdf
 
 
Schlumpf90 Auf diesen Beitrag antworten »

smile Super danke, jetzt brauche ich das nur noch aufschreiben... Viel Spaß noch beim Aufgabenlösen...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankesehr, Dir ebenso! Wink
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens find ich den Lösungsweg, der hier ganz zuerst vorgeschlagen wurde (einfach alle möglichen Kombinationen aufschreiben und dann Laplace-Wahrscheinlichkeit) viel besser und einfacher.

Den Link, den ich gegeben habe, finde ich unnötig kompliziert.


Die gesuchte Verteilung ist dann einfach und es gilt

für die Urbilder und

für die Urbilder


Ich weiß nicht, ob diese Beschreibung mittels der Urbilder so günstig ist, aber da die Verteilung ja als die Wahrscheinlichkeit dieser Urbilder definiert ist, habe ich es jetzt mal so aufgeschrieben.


Geht das?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010


Die gesuchte Verteilung ist dann einfach und es gilt

für die Urbilder und

für die Urbilder


Ich weiß nicht, ob diese Beschreibung mittels der Urbilder so günstig ist, aber da die Verteilung ja als die Wahrscheinlichkeit dieser Urbilder definiert ist, habe ich es jetzt mal so aufgeschrieben.


Geht das?
Vom Prinzip het ja, wenn du aber alles aufsummierst kommst du auf eine Summe > 1.

Bspw kann (1,2) nicht auftreten, die Summe muss ja stets größer als das Maximum sein.
(1,1) wäre demnach auch nicht zulässig.

Daher der Vorschlag: Schreib es dir jeweils als Tabelle der Augenzahlen auf. Das ist der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum. Dann ordnest du den Ergebnissen die Ausgänge zu.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte auch nicht, dass (1,2) das Bild von (X,Y) sein soll (klar, das wäre (3,2)).

Ich meinte, dass (1,2) das Urbild davon sein soll.


Also quasi in dem Ergebnisraum (bzw. genauer: Sigma-Algebra) des Urbildbereichs der Zufallsvariablen.

Daher meine Frage, ob mein eine Verteilung auch so aufschreiben kann (mit den Urbildern).
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Ich meinte auch nicht, dass (1,2) das Bild von (X,Y) sein soll (klar, das wäre (3,2)).

Ich meinte, dass (1,2) das Urbild davon sein soll.


Also quasi in dem Ergebnisraum (bzw. genauer: Sigma-Algebra) des Urbildbereichs der Zufallsvariablen.

Daher meine Frage, ob mein eine Verteilung auch so aufschreiben kann (mit den Urbildern).
Das Problem ist nach wie vor: wenn du aber alles aufsummierst kommst du auf eine Summe > 1.

Denk da mal drüber nach.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Grundsätzlich ist es doch aber so:

Wenn man die "Verteilung" einer Zufallsvariablen angeben soll, so meint man doch (außer, wenn da konkret Verteilungsfunktion steht) das Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Wahrscheinlichkeitsraum auf der Bildseite der Zufallsvariablen.

Und man kann dann entweder (zum Beispiel bei dieser Aufgabe) alle möglichen Realisierungen der Zufallsvariablen (im Bildbereich) bestimmen und dann die jeweils günstigen, d.h. ganz klassisch die Laplace-Wahrscheinlichkeiten bestimmen und hat dann die Verteilung.

Oder man beschreibt es mittels der Urbilder der Zufallsvariablen, das heißt etwas formaler per , wobei A in der Sigma-Algebra des Bildbereichs der Zufallsvariablen ist (und ein Urbild in der Sigma-Algebra des Urbildbereichs der Zufalsvariable haben muss).



Diese zwei "Wege" hat man doch um die "Verteilung" anzugeben.

Korrekt?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Das ganze Chaos rührt daher, weil du in deinem Aufschrieb nicht sauber trennst zwischen den beiden Wurfergebnissen (nennen wir sie und , als Paar geschrieben dann die Grundelemente des Wahrscheinlichkeitsraumes ) sowie den darauf aufbauenden Zufallsgrößen und . D.h., wahrscheinlich meinst du schon irgendwie das richtige, hast aber Schwierigkeiten, das in mathematisch sauberer Form zu kommunizieren.


Konkret könnte etwa diese deine Aussage

Zitat:
Original von Dennis2010
Ich meinte auch nicht, dass (1,2) das Bild von (X,Y) sein soll (klar, das wäre (3,2)).

im derart konstruierten W-Raum so aufgeschrieben werden:

.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, so meinte ich es tatsächlich, aber konnte es - wie Du sagst - so sauber und korrekt nicht ausdrücken.

Nochmal ein paar generelle Fragen bzw. Überlegungen zum Umgang mit dem Begriff "Verteilung":

Wenn ich es richtig verstanden habe, geht es bei einer "Verteilung einer Zufallsvariablen" also immer darum, ein Wahrscheinlichkeitsmaß im folgenden Sinne zu bekommen:

Ist X eine Zufallsvariable von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Ereignisraum , so wird durch

für

ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf definiert.

Etwas schwammiger ausgedrückt, bedeutet das doch, daß man bei Aufgabenstellungen der Form "Bestimmen Sie die Verteilung von . . ." immer die Wahrscheinlichkeit(en) angeben soll, mit denen eine Zufallsvariable bestimmte Werte annimmt, also .

Dabei benötigt man entweder konkret, wie der Wahrscheinlichkeitsraum aussieht (so wie bei dieser Aufgabe) oder man weiß zum Beispiel, daß die Zufallsvariable zum Beispiel binomialverteilt ist, d.h. man hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsvariable schon vorgegeben.

Ist das alles so korrekt? Da ich demnächst Prüfung habe, wüsste ich gerne, ob das richtige Gedankengänge sind oder ob ich mir wieder was zusammenfantasiere.

Danke fürs Lesen!
Bernadette Auf diesen Beitrag antworten »

In meinen Augen voellig sinnlos eine Dichtefunktion anzugeben, wenn diese nicht wirklich eine Funktion von x und y ist. Die Loesung der Aufgabe ist:



Wobei das hier die Indikatorfunktion sein soll. Lasst uns doch mal die eigentliche Aufgabe loesen wo man einen "Wuerfel" mit m Seiten hat und n mal wuerfelt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Um ehrlich zu sein, verstehe ich nicht, was Dein Anliegen ist. verwirrt

Was ist sinnlos?
Bernadette Auf diesen Beitrag antworten »

Die Dichtefunktion als Aufzaehlung von Wertepaaren von x und y anzugeben. "Voellig sinnlos" war wohl etwas theatralisch aber warum nicht kurz und buendig aufschreiben was nun die Loesung ist. Gesucht ist die gemeinsame Dichte von x und y und die laesst sich doch so schoen schreiben.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, nun habe ich Deinen Punkt verstanden.

Du magst Recht haben! Aber da ich nicht so bewandert bin, fällt es mir ehrlich gesagt leichter es mit der Notation über die Urbilder zu machen bzw. einfach den Begriff "Verteilung"anzuwenden.

Danke aber für Deinen Hinweis, die Schreibweise ist schon schön...
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