Messbarkeitseigenschaft einer Zufallsvariablen |
| 09.06.2011, 20:07 | herzass | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Messbarkeitseigenschaft einer Zufallsvariablen ich habe eine Frage zu Zufallsvariablen und der Messbarkeitseigenschaft: Bei der Definition einer reellen Zufallsvariablen wird doch die Messbarkeitseigenschaft eingeführt. Im Rahmen allgemeiner W-Räume ist sie nicht entbehrlich, im diskreten Fall aber schon. Wie kann man zeigen, dass die Menge {X=x} Element der Borelmenge ist? Das würde ja dann bedeueten, dass die Messbarkeitseigenschaft im diskreten Fall sowieso immer erfüllt ist, oder? Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Hilfe! |
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| 09.06.2011, 20:46 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Messbarkeitseigenschaft einer Zufallsvariablen
Es ist nicht immer erfüllt, aber so gut wie immer 
Also es ist schon ziemlich schwierig, zu zeigen, dass es Mengen gibt, die keine Borel-Mengen sind (Banach-Tarski-Paradoxon), man könnte so theoretisch zwar auch eine Funktion konstruieren, die dies als Urbild hat, solche Mengen/Funktionen werden dir aber nicht begegnen |
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| 09.06.2011, 21:05 | herzass | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für die Antwort! ich habe mir eigentlich gedacht, dass man zeigen könnte, dass einelementige Mengen {X=x} - wie man sie ja im diskreten Fall braucht - immer Borelmengen sind und deshalb die Messbarkeitseigenschaft im diskrteten Fall sowieso immer gilt. Oder ist das sowieso klar?? |
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| 09.06.2011, 21:10 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da muss das Urbild aus der Ur-Sigma-Algebra stammen |
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| 09.06.2011, 21:16 | herzass | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da muss das Urbild aus der Ur-Sigma-Algebra stammen Sorry, versteh nicht ganz was du damit meinst
...kannst du das genauer erklären? |
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| 09.06.2011, 21:20 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und was verstehst du unter einer Borel-Menge? Die Borel-Mengen sind nur auf definiert, mir scheint, du wirfst da gerade den stetigen und den diskreten Fall zusammen
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| 09.06.2011, 21:44 | herzass | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
unter einer borelmenge verstehe ich ein system von teilmengen, das alle praktisch relevanten Mengen enthält. Eine Borelmenge genügt also dem Axiomensystem von Kolmogorow und ist eine spezielle sigma-algebra. und unter der Messbarkeitseigenschaft einer Abbildung verstehe ich: {É e ©: X(É) e B} e A (B ist das system der borelmengen und A die sigma-algebra)... man könnte die bedingung im diskreten fall doch als {É e ©: X(É)=x} schreiben, oder??? |
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| 09.06.2011, 21:46 | herzass | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
uupps das hat net so geklappt...sorry dass ich die zeichen nicht schreiben kann...hoffe du verstehst was ich meine {w e Omega: X(w) e B} e A B soll system der borelmengen sein,A eine sigma-algebra im diskreten fall kann man doch dann {w e Omega: X(w) =x} schreiben oder? |
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| 09.06.2011, 21:51 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie kann man Formeln schreiben? |
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| 09.06.2011, 22:24 | herzass | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke!Aber wie ist das jetzt mit der Messbarkeitseigenschaft, wenn man einen diskreten W-Raum hat? Warum ist sie entbehrlich? kann man das irgendwie beweisen? |
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| 09.06.2011, 22:30 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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| 09.06.2011, 22:38 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@herzass Ich kann mir dein rätselhaftes "entbehrlich" nur so erklären: Oft reicht es, diskrete Zufallsgrößen auf höchstens abzählbaren Wahrscheinlichkeitsräumen zu betrachten, wo man als zugehörige Sigma-Algebra dann auch einfach die Potenzmenge von betrachtet. In diesem Fall ist natürlich die Messbarkeit kein Problem, da sie für alle Funktionen erfüllt ist. Aber zwingend ist das mit dem höchstens abzählbaren Wahrscheinlichkeitsraum nicht, und damit auch nicht diese Eigenschaft der Messbarkeit aller diskreten Zufallsgrößen.
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| 09.06.2011, 22:43 | herzass | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das steht so in stochastik für einsteiger (henze): Diese Bedingung ist entbehrlich, wenn (wie im Fall diskreter W-Räume) das System A aus allen Teilmengen von OMega besteht. Woher weiß man ob das Urbild aus der Ur-Sigma-Algebra stammt? Sorry wenn ich mich zu doof anstell... |
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| 09.06.2011, 22:47 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na was hab ich denn gerade erzählt??? Du weißt aber schon, dass Potenzmenge genau dasselbe bedeutet. |
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| 09.06.2011, 22:49 | herzass | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja also stimmt das mit dem entbehrlich doch, oder?! und wie is das mit dem urbild??? |
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| 09.06.2011, 23:02 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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| 09.06.2011, 23:05 | herzass | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie prüft man, ob das urbild aus der ur-sigma-algebra stammt? |
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| 09.06.2011, 23:14 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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| 10.06.2011, 01:22 | Zündholz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry das ich mich einmische (was wahrscheinlich gerade total unpassend ist ??), aber so prinzipieel gibt es auf jedem Raum mit Topologie eine Borel sigma Algebra, denn diese wird ja gerade nach Definition von der Topologie erzeugt. Schöne Grüße |
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