komplexe Zahlen - ermitteln der trigonometrischen Form

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10.06.2011, 16:41	MrLightspeed	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Zahlen - ermitteln der trigonometrischen Form Ja moin, ich habe die Folgende komplexe Zahl: $\begin{eqnarray} (\frac{3}{2}+ i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^{6} \end{eqnarray}$ als Lösung habe ich bekommen: $\begin{eqnarray} 27(\cos(\pi)+i\cdot\sin(\pi)) = -27 \end{eqnarray}$ Also wenn ich jetzt r errechnen wollte, würde ich erstmal die Wurzel aus x und y ziehen, ohne erstmal die Potenz zu beachten! Ist das richtig? $\begin{eqnarray} \sqrt{(\frac{3}{2})^{2} + (\frac {\sqrt{3}}{2})^{2}} = \sqrt{3} \end{eqnarray}$ Um dann den Betrag zu ermitteln würde ich dieses Zwischenergebnis noch mit 6 potenzieren, also $\begin{eqnarray} (\sqrt{3})^{6} \end{eqnarray}$ das ist aber nicht 27 Ebenso, wie komm ich auf $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ Danke danke danke danke
10.06.2011, 16:43	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Zahlen - ermitteln der trigonometrischen Form $\begin{eqnarray} (\frac{3}{2}+ i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^{6} \end{eqnarray}$ Als erstes sollte man sie Basis mal in Polarkoordinaten notieren. Was erhältst du?
10.06.2011, 16:53	MrLightspeed	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} z = \sqrt{3}\cdot(\cos(\frac{\pi}{6})+i\cdot\sin(\frac{\pi}{6})) \end{eqnarray}$ ?
10.06.2011, 16:57	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht doch gut aus! Nun kann man die Potenz doch deutlich leichter berechnen.
10.06.2011, 16:59	MrLightspeed	Auf diesen Beitrag antworten »
ou got! ich weiß auch nicht, aber irgendwie stand ich auf ner komisch langen Leitung erst! Aber vielen Dank!
10.06.2011, 17:01	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptsache die Gedankenströme fließen wieder.
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10.06.2011, 17:08	MrLightspeed	Auf diesen Beitrag antworten »
jo, jetzt zum Beispiel hänge ich an folgendem: wieso ist $\begin{eqnarray} 8\cdot e^{-\frac {\pi}{2}\cdot i} = -8i \end{eqnarray}$
10.06.2011, 17:09	MrLightspeed	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich meine, ich versuche das gerade dem Taschenrechner beizubringen, aber der ist kein Zirkustier
10.06.2011, 17:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Preisfrage 1: $\begin{eqnarray} \exp(-\frac {\pi}{2}\cdot i)=? \end{eqnarray}$ edit: TR ist hier meist eine sehr schlechte Idee. Kann der im Komplexen Rechnen? Die Aufgaben sind konstruiert, es geht doch wunderbar auf.
10.06.2011, 17:14	MrLightspeed	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm! Was bedeutet in dem Fall das exp (für Exponent oder? hmmmm ich irgendwas fehlt mir um drauf zu kommen
10.06.2011, 17:16	MrLightspeed	Auf diesen Beitrag antworten »
hast du eine gute Seite, wo ich das mit den potenzierten e Funktionen nachholen kann? ich checks nicht..
10.06.2011, 17:16	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
exp=e, aber man muss so nicht "hochgestellt" schreiben. nun schlag mal schön brav noch mal die Polarkoordinatendarstellung nach...
10.06.2011, 17:25	MrLightspeed	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok, $\begin{eqnarray} x = r \cdot \cos(\varphi) = 7,99999 \end{eqnarray}$
10.06.2011, 17:31	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ?
10.06.2011, 17:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@MrLightspeed Hier wird mit Radiant gerechnet, also stell doch bitte deinen TR von Modus DEG auf RAD, wenn du ihn seltsamerweise schon für sowas einfaches wie den Kosinus des rechten Winkel $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ brauchst. P.S.: Mehr will ich mich hier nicht einmischen.
10.06.2011, 19:01	MrLightspeed	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry sorry sorry Leute. Hab einiges verpeilt gehabt. Aber manchmal gehts nach ner Lernpause einfach besser weiter!
10.06.2011, 19:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nun alles wieder auf Kurs?
10.06.2011, 19:18	MrLightspeed	Auf diesen Beitrag antworten »
absolut du hast mir sehr geholfen
11.06.2011, 10:51	MrLightspeed	Auf diesen Beitrag antworten »
puh, ich häng schon wieder... Ich muss in der komplexen Zahlenebene alle komplexen Zahlen z berechnen, für die gilt: $\begin{eqnarray} z^{3} = 27 \end{eqnarray}$ nun gut, ich fing an mit $\begin{eqnarray} z_0= \sqrt[3]{27} = 3 \end{eqnarray}$ Jetzt dacht ich mir hm, ich bilde die Polarkoordinaten, um das wieder zu quadrieren: $\begin{eqnarray} z_0 = 3\cdot e^{0 i} , z_1 = (3\cdot e^{0i})^{2} = 9 \end{eqnarray}$ ok, dann viel mir auf, weil $\begin{eqnarray} \cos(0)\cdot9 = 9 , \sin(0)\cdot9 = 0 \end{eqnarray}$ ist es wohl einfach 9. Dann schaute ich mir die Lösung an. Schon wieder völlig falsch gefahren! LÖSUNG: $\begin{eqnarray} <br /> z_1 = 3 <br /> z_2 = -\frac {3}{2} + \frac {3}{2}\sqrt{3}i<br /> z_3 = -\frac {3}{3} - \frac {3}{2}\sqrt{3}i <br /> \end{eqnarray}$ Zeit für die Formelsammlung: Da sehe ich, dass bei der n-ten Einheitswurzel so verfahren wird $\begin{eqnarray} z^{6} = 1 <br /> z_0 = 1<br /> z_1 = \frac {1}{2} (1 + \sqrt{3}i)<br /> z_2 = \frac {1}{2} (-1 + \sqrt{3}i) <br /> ...<br /> \end{eqnarray}$ ok, also probiere ich rum mit $\begin{eqnarray} z_0 = 3 \end{eqnarray}$ wenn ich dann so wie im Beispiel verfahren und einfach $\begin{eqnarray} z_1 \cdot 3 \end{eqnarray}$ rechne komme ich sogar auf sowas Ähnliches, wie das gegebene Ergebnis $\begin{eqnarray} z_1 = \frac {3}{2} + \frac {3}{2} \sqrt {3} i \end{eqnarray}$ Also hab ich falsche Vorzeichen Also wo ist mein Denkfehler, welche Formeln muss ich mir genau vor Augen halten? Hat das was mit Potenzieren der Polarform zu tun oder mit dem Radizieren nach Moivre oder beidem??? Kann ich mir das anhand des Einheitskreises irgendwie vorstellen??? Oder hat das gar nichts damit zu tun? Liebe Grüße
11.06.2011, 11:02	MrLightspeed	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, ich glaube ich näher mich doch grad mit $\begin{eqnarray} e^{\frac {k\cdot2\pi}{n}} \end{eqnarray}$ könnt das sein?
11.06.2011, 11:07	MrLightspeed	Auf diesen Beitrag antworten »
problem solved. Mein Problem war, dass ich für k nicht den richtigen Wert in die Formel eingesetzt hatte! Manchmal hilft einem echt schon das posten des Problems und sich nochmal durchlesen um zu merken was man falsch macht:-D
11.06.2011, 16:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
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