Primitivität eines Polynoms

10.06.2011, 21:05

juffo-wup

Primitivität eines Polynoms

Sei K ein Körper und seien $\begin{eqnarray*} g(x),h(x) \in K[x] \end{eqnarray*}$ teilerfremde Polynome. Warum ist dann $\begin{eqnarray*} g(x)h(t)-h(x)g(t) \in K[t][x] \end{eqnarray*}$ primitiv?

Ich sehe wahrscheinlich gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht..

11.06.2011, 17:54

Reksilat

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RE: Primitivität eines Polynoms
Hallo juffo,

Nimm doch so Polynom $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ , das jeden Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} g(x)h(t)-h(x)g(t) \end{eqnarray*}$ teilt. Dann teilt $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} g_0\cdot h(t)+h_0\cdot g(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_1\cdot h(t)+h_1\cdot g(t) \end{eqnarray*}$ (auch alle weiteren, zwei nicht triviale reichen)
Hierbei ist $\begin{eqnarray*} g_i\in K \end{eqnarray*}$ der Koefiizient vor $\begin{eqnarray*} x^i \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ etc.

Dann kann man sehen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ beide Polynome teilt.

Gruß,
Reksilat.

11.06.2011, 19:54

juffo-wup

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RE: Primitivität eines Polynoms

Zitat:

Original von Reksilat
Nimm doch so Polynom $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ , das jeden Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} g(x)h(t)-h(x)g(t) \end{eqnarray*}$ teilt. Dann teilt $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} g_0\cdot h(t)+h_0\cdot g(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_1\cdot h(t)+h_1\cdot g(t) \end{eqnarray*}$ (auch alle weiteren, zwei nicht triviale reichen)
Hierbei ist $\begin{eqnarray*} g_i\in K \end{eqnarray*}$ der Koefiizient vor $\begin{eqnarray*} x^i \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ etc.

Hm, man müsste dann wohl erstmal sicherstellen, dass es Indizes $\begin{eqnarray*} i,j \end{eqnarray*}$ gibt, sodass nicht $\begin{eqnarray*} g_i=g_j=0 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} h_i=h_j=0 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} g_i=h_i=0 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} g_j=h_j=0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Wenn das gegeben ist, dann könnte man (oBda $\begin{eqnarray*} g_i\neq 0 \end{eqnarray*}$ ) schließen, dass $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} -g_jg_i^{-1}(g_ih(t)+h_ig(t))+g_jh(t)+h_jg(t)=(h_j-g_jg_i^{-1}h_i)g(t) \end{eqnarray*}$ teilt.
Wenn $\begin{eqnarray*} h_j-g_jg_i^{-1}h_i=0 \end{eqnarray*}$ , dann sind $\begin{eqnarray*} g_ih(t)+h_ig(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_jh(t)+h_jg(t) \end{eqnarray*}$ assoziiert.
Sonst folgt, dass $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} g(t) \end{eqnarray*}$ teilt. Damit aber auch $\begin{eqnarray*} g_i^{-1}(g_ih(t)+h_ig(t))-g_i^{-1}h_ig(t)=h(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(t)\in K. \end{eqnarray*}$

Das mit der Assoziiertheit muss man also auch noch ausschließen..

edit: Die Fallunterscheidung könnte man wohl so zusammenfassen: Wenn für alle $\begin{eqnarray*} i,j \end{eqnarray*}$ für die nicht $\begin{eqnarray*} g_i=h_i=0 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} g_j=h_j=0 \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} g_ih(t)+h_ig(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_ig(t)+g_ih(t) \end{eqnarray*}$ assoziiert sind, also für alle i : $\begin{eqnarray*} g_ih(t)+h_ig(t)=k_i(g_{i_0}h(t)+h_{i_0}g(t)) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} g_i=k_ig_{i_0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_i=k_ih_{i_0} \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} g(t)=\sum_{i}k_ig_{i_0}X^i=g_{i_0}\sum_{i}k_iX^i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(t)=h_{i_0}\sum_{i}k_iX^i \end{eqnarray*}$ und die beiden sind assoziiert, im Widerspruch zur Teilerfremdheit.

Also gibt es zwei Indizes i,j, für die nicht Assoziiertheit vorliegt und nicht $\begin{eqnarray*} g_i=h_i=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g_j=h_j=0. \end{eqnarray*}$ Wäre $\begin{eqnarray*} g_i=g_j=0 \end{eqnarray*}$ dann wären $\begin{eqnarray*} g_ih(t)+h_ig(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_jh(t)+h_jg(t) \end{eqnarray*}$ doch wieder assoziiert, analog kann man $\begin{eqnarray*} h_i=h_j=0 \end{eqnarray*}$ ausschließen. Also gibt es ein "nichttriviales" Paar i,j auf das man die obige Argumentation anwenden kann.

Aber das kommt mir jetzt ein bisschen umständlich vor, geht es auch einfacher?

11.06.2011, 20:52

Reksilat

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RE: Primitivität eines Polynoms
Jetzt wo Du es aufgeschrieben hast, wirkt es auf mich auch ziemlich aufwendig. Big Laugh

Das war eben der Weg, der mich angelacht hat und der mir auch der direkteste zu sein scheint. Irgendwie gehört aber auch alles mit da rein, wobei der Grundgedanke dahinter ja wirklich übersichtlich ist. Eine Elegantifizierung sehe ich grad nicht.
verwirrt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g(t)=\sum_{i}k_ig_{i_0}X^i=g_{i_0}\sum_{i}k_iX^i \end{eqnarray*}$

Hier müsste entweder nur $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ oder nur $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ stehen.

Gruß,
Reksilat.

11.06.2011, 21:15

juffo-wup

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RE: Primitivität eines Polynoms

Zitat:

Original von Reksilat

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g(t)=\sum_{i}k_ig_{i_0}X^i=g_{i_0}\sum_{i}k_iX^i \end{eqnarray*}$

Hier müsste entweder nur $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ oder nur $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ stehen.

Oh, stimmt.

Naja, der Beweis funktioniert ja. Die Aussage wird in einem Beweis in einem Buch, in dem ich gerade lese, verwendet, wobei nur in einem Nebensatz erwähnt wird, dass das Polynom primitiv ist und kein Beweis dafür genannt wird. Also dachte ich, es muss aus irgendeinem Grund trivial sein. Und es ist ja auch nicht schwer mit dem direkten Ansatz, den du genannt hast. Aber.. etwas mühselig. (Sowas macht der Autor scheinbar gerne, da würde ich es lieber haben wenn wenigstens gesagt würde "Man kann sich leicht überlegen, dass.." o.ä.)

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