zeige: linear unabhängig

13.12.2006, 15:54

ErRoRr-FuNCtiOn

zeige: linear unabhängig

Seien u,v,w linear unabhängige Vektoren in deinem $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ Vektorraum. Zeigen sie :

(a) Die Vektoren $\begin{eqnarray*} u+v-2w , \ \ u-v-w \ , \ u+w \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig.

(b) Die Vektoren $\begin{eqnarray*} u+v-3w , \ \ u+3v-w \ , \ v+w \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig.

Zeigen muss ich bei (a) doch folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0} \, \end{eqnarray*}$

Bei (b) könnte ich ja dann einen Widerspruchsbeweis machen.

------------------------------
So hab ich bei (a) angefangen:

$\begin{eqnarray*} u= (1,1,1) \ , \ v=(1,-1,0) \ \ w=(-2,-1,1) \end{eqnarray*}$

Kann ich dann jetzt hingehen und sagen:
u*v*w=0 |:wenn ja dann linear unabhängig, wenn nein linear abhägig?

Weiß nicht wirklich wie man das macht,kann mir jemand über den anfang hinaus helfen?

Könnte mir bei a mal jemand sagen wie ich anfangen kann?

13.12.2006, 16:27

Dual Space

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RE: zeige: linear unabhängig
Guck dir für a) mal die Vektoren

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix},~ \begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix},~ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzgl. ihrer linearen Abhängigkeit an.

Edit: 3. Vektor!

13.12.2006, 16:44

ErRoRr-FuNCtiOn

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RE: zeige: linear unabhängig
Es ist doch so dass ein Vektor lin. unabhängig ist wenn sich seine Elemente durch sich selbst,also ohne einen anderen Vektor darstellen lassen. Das ist ja bei allen der Fall,von dem her sind alle lin. unabhängig. aber beweistechnisch krieg ich es nicht auf die Reihe. Hilf mir bitte noch weiter. Erklär mir deine Überlegung.

13.12.2006, 16:47

Dual Space

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RE: zeige: linear unabhängig

Zitat:

Original von ErRoRr-FuNCtiOn
Es ist doch so dass ein Vektor lin. unabhängig ist wenn sich seine Elemente durch sich selbst,also ohne einen anderen Vektor darstellen lassen.

Wie bitte soll denn das gehen? Diese Aussage hat rein gar nichts mit linearer Abhängigkeit zu tun, denn ein Vektor allein kann man nicht auf lin. Abh. untersuchen.

13.12.2006, 17:01

ErRoRr-FuNCtiOn

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Ja klar,du hast recht,da hab ich irgendwas durcheinander gebracht! Kannst du mir deinen Gedankengang näher beschreiben,dass ich auch drauf komme?

13.12.2006, 18:22

Dual Space

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Also bei a) hat die erste Vektorsumme u+v-2w eben genau die Koeffizienten (1 1 -2) usw.

13.12.2006, 19:02

ErRoRr-FuNCtiOn

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Was ich vorher gemeint habe,hier ist die richtige Überlegung:

Eine Menge von Vektoren eines Vektorraums wird linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert Null gesetzt werden. Man kann zeigen, dass diese Bedingung dazu äquivalent ist, dass sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

Und was ich gemeint habe ist, dass man keinen Vektor durch die beiden anderen darstellen kann und damit wären sie lin. unabhängig.

Was war deine Überlegung?

13.12.2006, 19:06

Dual Space

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Ok ... wie formulier ich das am besten in Prosa? verwirrt

Wie man sieht/nachrechnet sind die 3 Vektoren, sie ich dir weiter oben hingeschrieben habe linear unabhängig. Die Komponenten eines Vektors entsprechen aber gerade den Koeffizenten der Vektorsummation der gegeben Vektoren der Aufgabe.

13.12.2006, 19:17

tar

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RE: zeige: linear unabhängig

Zitat:

Original von ErRoRr-FuNCtiOn
Seien u,v,w linear unabhängige Vektoren in deinem $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ Vektorraum. Zeigen sie :

(a) Die Vektoren $\begin{eqnarray*} u+v-2w , \ \ u-v-w \ , \ u+w \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig.

(b) Die Vektoren $\begin{eqnarray*} u+v-3w , \ \ u+3v-w \ , \ v+w \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig.

.....

also kann man doch $\begin{eqnarray*} x_1(u+v-2w) , \ \ x_2(u-v-w) \ , \ x_3(u+w) = (0,0,0) \end{eqnarray*}$
dieses Gleichungssystem betrachten und wenn die einzige Lösung dafür $\begin{eqnarray*} x_1=0,x_2=0,x_3=0 \end{eqnarray*}$ ist sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} u+v-2w , \ \ u-v-w \ , \ u+w \end{eqnarray*}$ linear unabhängig. oder?!

13.12.2006, 20:06

ErRoRr-FuNCtiOn

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Und wie mach ich das?
Dumme Frage, ich weiß,aber steh grad auf der Leitung...

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