symplektischer Vektorraum (Basis)

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Heike Auf diesen Beitrag antworten »
symplektischer Vektorraum (Basis)
Meine Frage:
Hallo zusammen!

Im a) Teil der Aufgabe ist zu zeigen:
Jeder endlichdimensionale symplektische Vektorraum besitzt eine Basis für die gilt:

Geben Sie auch die Grammatrix von bzgl. dieser Basis an.

Meine Ideen:
der Hinweis zu dieser Aufgabe ist:
Starten Sie mit , der eine solche Basis bereits hat und zeigen Sie, dass man diese (ähnlich wie bei der Konstruktion einer ONB via Gram-Schmidt) zu einer Basis von V mit der gewünschten Eigenschaft ergänzen kann.

Ich weiß, dass in einem symplektischen Vektorraum gilt:
und


Außerdem könnte ich mir gut vorstellen, dass man zuerst für zeigen muss, dass die Vorraussetzung erfüllt ist, und dann mit Induktion weitermachen muss?! (Allerdings weiß ich schon nicht, wie ich den Induktionsanfang zeigen muss...)
Außerdem weiß ich nicht, wie das zu der Aussage, dass man W mit z.B. U ergänzen muss, passt. Dann bekommt man was mit . Wobei ich mich frage, ob gilt?

Irgendwie habe ich noch keinen richtigen Ansatz für die Aufgabe...
Deshalb auf jeden Fall vielen Dank für eure Hilfe!

edit: ich habe aus den w's u's gemacht, da w und omega schlecht zu unterscheiden sind.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symplektischer Vektorraum (Basis)
Hallo Heike,

Zitat:
Ich weiß, dass in einem symplektischen Vektorraum gilt:
...

Das ist bisher nur eine Definition. Ein symplektischer VR ist nicht ausgeartet, d.h. es gilt .

Zitat:
Außerdem könnte ich mir gut vorstellen, dass man zuerst für zeigen muss, dass die Vorraussetzung erfüllt ist, und dann mit Induktion weitermachen muss?!

Genau.

Zitat:
(Allerdings weiß ich schon nicht, wie ich den Induktionsanfang zeigen muss...)

Aber Du kannst aufschreiben, was zu zeigen ist.
Vor allem kannst Du mal rausfinden, was immer ist.
Dann nimmst Du Dir ein beliebiges und konstruierst dazu ein mit Hilfe der Eigenschaft nicht ausgeartet und der Linearität der Form.

Zitat:
Außerdem weiß ich nicht, wie das zu der Aussage, dass man W mit z.B. U ergänzen muss, passt.

Was ist ?

Die Schwierigkeit beim Induktionsschritt besteht darin, das zu finden. Da hilft aber der Verweis auf Gram-Schmidt, welcher ja zeigt, wie man einen Vektor konstruiert, der auf allen bisher gefundenen Vektoren senkrecht steht.
Für das macht man dann so was ähnliches wie beim Induktionsanfang und noch mal Gram-Schmidt.

Mach aber erst mal den Induktionsanfang. Der sollte schon mal ein gutes Gefühl für diesen Raum geben.

Gruß,
Reksilat.
Heike Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symplektischer Vektorraum (Basis)
Hallo Reksilat, vielen Dank für deine Hilfe!

Ich versuche mich jetzt mal am Induktionsanfang. Da muss ich zeigen, dass für gilt:


Da eine alternierende Linearform ist, muss gelten:
. Da nun aber immer gilt, muss gelten. (Für alle v in V, also auch für u1 und v1.)

Jetzt muss ich noch ein u1 basteln. Ich weiß, dass für gelten muss:
(weil nicht ausgeartet)
Beim Skalarprodukt könnte ich jetzt sagen, dass u1 und v1 senkrecht zueinander sind. Wie ich jetzt die Linearität ausnutzen kann, weiß ich leider nicht... unglücklich

Irgendwas kann auch nicht stimmen,oder? Einerseits gilt, weil nicht ausgeartet:
. Andererseits möchte ich zeigen, dass gilt:


Hilft mir das jetzt weiter, um auf meinen Vektor u1 zu kommen?!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symplektischer Vektorraum (Basis)
Zitat:
Da nun aber immer gilt, muss gelten. (Für alle v in V, also auch für u1 und v1.)

Die Begründung ist falsch. Im allgemeinen gilt für eine BLF nicht immer .
Die Gleichung gilt allerdings trotzdem immer und folgt direkt aus der Eigenschaft alternierend. Augenzwinkern

Zitat:
Ich weiß, dass für gelten muss:
(weil nicht ausgeartet)

Genau das würde bedeuten, dass die BLF ausgeartet ist. Denn in diesem Fall wäre ja .
Sie ist aber nicht ausgeartet und insofern gibt es zu jedem einen Vektor mit .
Jetzt musst Du das nur noch passend skalieren.
Heike Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symplektischer Vektorraum (Basis)
Da nicht ausgeartet, existiert zu jedem ein für die gilt:
.

setzt man nun gilt:

. (Den Bruch kann man vor die BLF ziegen, weil es sich um einen Skalar handelt.)

So, falls das stimmt, habe ich jetzt den Induktionsanfang.
Jetzt muss ich zeigen: gilt für k => gilt für k+1
Die Basis existiert. Dann muss man jetzt zuerst finden. Dieser wird mit Gram-Schmidt konstruiert. Dann gilt:

Wobei die und sein müssen, und ein zu linear unabhängiger Vektor.
Stimmt das?!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symplektischer Vektorraum (Basis)
Der Induktionsanfang stimmt jetzt. Freude

Ebenso stimmt das mit der Wahl des Vektors , den es ja geben muss, da man sonst schon eine Basis des ganzen VR hätte und fertig wäre.

Und dann meinst Du das hier?

Das stimmt aber noch nicht.
Dann wäre nämlich
da ja nur ist und ansonsten ..
Du musst die Vorfaktoren also noch etwas anders anordnen.
 
 
Heike Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symplektischer Vektorraum (Basis)
hmmm...
Was meinst Du mit den Vorfaktoren?
Ich könnte z.B.
nehmen, dass die Gleichung richtig wird. Aber ich darf doch nicht einfach so irgendwelche unterschiedlichen Vorfaktoren vor die einzelnen Terme schreiben?! Woher kommen die dann? (Wenn ich normieren würde, müsste ich ja bei beiden den gleichen Faktor nehmen. verwirrt

Wirklich vielen, vielen Dank für deine Hilfe!!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symplektischer Vektorraum (Basis)
Ich meine die Vorfaktoren vor den und in der Darstellung von .
Also
Mit und klappt es noch nicht ganz, wie wir oben gesehen haben.

Rechne einfach mal bzw. aus. Dann siehst Du schon, wie Du die und wählen musst, damit da immer 0 rauskommt.
Heike Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symplektischer Vektorraum (Basis)
Hallo Reksilat!

Ich hab's jetzt mal eingesetzt. Und mir überlegt, dass in Ordnung ist, weil da ja sowieso null rauskommt. Wenn man für setzt kommt bei null raus.
Im allgemeinen Fall müsste ich dann setzten. Stimmt das?

Falls ja, habe ich jetzt ein konstruiert, und brauche "nur" noch ein . Kann ich da jetzt wieder über nicht ausgeartet argumentieren?
Also so: Es gibt für das gilt
.

Nun kann man setzten, und hat das gesuchte ?!

Die Grammatrix müsste eine 2n+2n Matrix sein mit 4 nxn Blöcken, die entweder eine Einheitsmatrix oder eine Nullmatrix sind:
Heike Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symplektischer Vektorraum (Basis)
Das hat nicht gestimmt! Ich muss für setzten, weil auch gelten muss.
War der Rest richtig??
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symplektischer Vektorraum (Basis)
Ja, und stimmt.

Das bekommt man in der Tat wieder dadurch, dass der VR nicht ausgeartet ist. Allerdings ist jetzt noch nicht nicht gewährleistet, dass ist für .
Das erhält man aber wieder über einen ähnlichen Ansatz wie oben:

Man sieht schnell, dass dann auch ist.
Also muss man nur noch skalieren (egal ob vorher oder hinterher).

Ganz nebenbei hast Du jetzt übrigens gezeigt, dass ein symplektischer VR immer gerade Dimension hat. So kann es zum Beispiel auf dem gar keine nicht ausgeartete alternierende BLF geben.

Die Grammatrix stimmt.

Gruß,
Reksilat.
Heike Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symplektischer Vektorraum (Basis)
Stimmt es, dass ich dann das für das neue und :
und
setzen muss. Dann wäre



mein gesuchtes , oder? Und somit wäre der Aufgabenteil a) beendet.

Falls Du noch Lust / Zeit / Nerven hast, hier der Aufgabenteil b):

Sei nun zusätzlich J eine komplexe Struktur auf V für die gilt:

zeigen sie, dass durch eine symmetrische Bilinearform auf V definiert wird, für die gilt: .

Meine Idee:
für komplexe Strukturen gilt: .
Außerdem gilt ja:

Leider komme ich nicht damit klar/ weiß ich nicht, was ich machen muss wenn nur bei einem Vektor im Skalarprodukt das J dabei steht. Kannst Du mir dazu einen Tipp geben?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symplektischer Vektorraum (Basis)
Ja, Dein Ansatz für stimmt.

Bei b):
Womit willst Du denn anfangen?
Es sind ja drei Sachen zu zeigen:
- Bilinearität (einfach)
- Symmetrie
-

Hinweis: Das Minus lässt sich bei einer BLF reinziehen und zudem ist für alle .
Heike Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symplektischer Vektorraum (Basis)
Okay, wenn die Bilinearität am einfachsten ist:


Falls das für die zweite Komponente stimmt, kann man's für die erste genau gleich zeigen.

Symmetrie:
zz: s(v,u)=s(u,v)


Wie komme ich auf Gleichheit an der Stelle, an der die Fragezeichen sind? Kann ich da mit argumentieren?

zz:



Hier würde ich dann das gleiche Argument benötigen, wie bei der Symmetrie.

Wäre ja cool, wenn das so stimmt...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symplektischer Vektorraum (Basis)
Da stimme ich Dir in allen Punkten zu. Freude
Heike Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symplektischer Vektorraum (Basis)
Hey, toll! Vielen, vielen Dank für deine Hilfe! Dann bekomme ich den c-Teil der Aufgabe auch noch hin!! Big Laugh
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