Matrizenproblem

12.06.2011, 16:43

Leagil

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Matrizenproblem

Meine Frage:
V= R^3 W=R^2
B:= {(1,1),(1,-1)}
c:= {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ((a,b,c) := (a+b,b+c)
$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ((x,y)) := (x,x-y,x+y)

Bestimmen sie

a)B( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )C

b) B( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ o $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ )b

Meine Ideen:
Zum ersten:

Habe wenn ich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auf (1,0,0) anwende den Vektor (1,0) raus. Sehe aber keine Möglichkeit ihn durch B darzustellen.. kann somit die Matrix nicht vollständig aufstellen.

zu b)

Hier soll ich doch einfach erstmal $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ anweden auf C und dann $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ auf die Menge die ich daraus bekomme oder? Und das dann als Matrix schreiben richtig??

12.06.2011, 16:54

zweiundvierzig

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Wie habt Ihr überhaupt die Schreibweisen in (a),(b) definiert? Ich vermute, es soll etwa in (a) die $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ beschreibende Matrix sein. Wie man diese berechnet, solltet Ihr behandelt haben. Fang' doch mal an, auf dieser Grundlage zu rechnen.

Bitte unterscheide bei Deinen Angaben zwischen Groß- und Kleinschreibung, das ist wichtig!

12.06.2011, 17:02

Leagil

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hö?
a)

Also haben B( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )C so definiert das wir:

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (v1) = $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (1,1,1) = (2,2)= 2*b1+0*b2
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (v2) = $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (1,1,0)=(2,1)= 1*b1+1*b2
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (v3)= $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (1,0,0)=(1,0)=

mit v1,v2,v3 element C und b1,b2 element B

Und da habe ich eben beim letzten das Problem das ich nicht weiß wie ich (1,0) als Linearkombination aus b1 und b2 darstellen soll.

Habe als Matrix dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & ?? \\ 0 & 1 & ?? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b)

Hab das da genauso gemacht also eben $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auf mein C angewandt.. und dann auf die Ergebnisvektoren {(2,2),(2,1),(1,0)} mein $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ angewandt und daraus dann die Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ -4 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.06.2011, 17:17

zweiundvierzig

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Bei (a) hast Du die zweite Spalte falsch berechnet.

Für die dritte Spalte, rechne doch einfach nach dem gleichen Prinzip wie davor auch.

12.06.2011, 17:23

Leagil

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Wieso falsch?!

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ((a,b,c) := (a+b,b+c)

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (v2) = $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (1,1,0)=(2,1)=

Stimmt doch soweit.. mhh.. stimmt das danach war falsch.. mhh.. mir fällt aber auch egrade dazu keine Kombination ein wie das gehen könnte aus (1,1) und (1,-1) = (2,1) zu machen.. -.-

12.06.2011, 17:26

zweiundvierzig

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Bei der Berechnung der Matrizenspalten geht es immer darum, (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zu lösen. Die allgemeine Methode dazu heißt Gauß-Jordan-Algorithmus.

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12.06.2011, 17:35

Leagil

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Stimmt denn mein teil b)?

Dann rechne ich das andere nachher nonchmal danke.. danke soweit Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.06.2011, 17:59

zweiundvierzig

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Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ist ein Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \beta \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Die Matrix kann also gar nicht quadratisch sein. Du musst $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ anwenden.

12.06.2011, 18:06

Leagil

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Aber ich habe doch $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ o $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ .

Ich wende $\begin{eqnarray*} \Alpha \end{eqnarray*}$ auf C and und erhalte meine Matrix unter B oder?

Und da da

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ o $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ steht habe ich auf meine Ergebnisse nochmal von

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auf C nochmal $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ angewandt und dann habe ich da eine Matrix erhalten.

12.06.2011, 18:09

Leagil

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Oder wende ich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auf C und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ auf B an und Multipliziere die Matrizen dann?

12.06.2011, 19:33

zweiundvierzig

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Okay, das war nun mein Fehler. Ich habe übersehen, dass es sich um eine Abbildungskomposition handelt.

Dennoch stimmt die Matrizendimension nicht, wegen $\begin{eqnarray*} \alpha \circ \beta \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Es muss also eine $\begin{eqnarray*} 2\times2 \end{eqnarray*}$ -Matrix herauskommen.

12.06.2011, 20:34

Leagil

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Mhh.. aber ich fange doch an mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (C) oder?

Und dann kriege ich da (2,2),(2,1),(1,0) raus.. und darauf wende ich $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ an oder?
Sonst sag mir wo mein Denkfehlerdabei ist :-/

Und dann geht es doch nicht von R^2 -> R^2 sondern ich muss doch mit C anfangen was ja R^3 ist auf R^2 oder? mhh.. weil sonst kann ich doch $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nicht anwenden?

12.06.2011, 20:38

Leagil

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Achja und zur lösung meines Lgs:

Ich hab doch was ganz anderes als das was da in Wikipedia beschrieben wird..

Ich hab doch:

2,2 = a*(1,1)+b*(1,-1)
2,1 = c* (1,1)+d*(1,-1)
1,0= e*(1,1)+f*(1,-1)

wobei a,b,c,d,e,f alle unterschiedlich oder auch gleich seien können.

Also kann das doch nicht wie in Wikipedia wo ich immer die gleichen variabeln habe abziehen voneinander oder?

12.06.2011, 21:07

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Leagil
Mhh.. aber ich fange doch an mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (C) oder?

Nein, Du fängst mit $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ an. Die Kompositionsreihenfolge ist gegeben durch: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \stackrel{\beta}{\longrightarrow} \mathbb R^3 \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} \mathbb R^2, \quad v \mapsto \alpha(\beta(v)) \end{eqnarray*}$

Da Du Dir insbesondere die Bilder aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} \alpha \circ \beta \end{eqnarray*}$ anguckst, kannst Du nur zwei Bildelemente bekommen.

Zitat:

Original von Leagil
Ich hab doch was ganz anderes als das was da in Wikipedia beschrieben wird..

Nein. Zur Bestimmung der zweiten Spalte bei (a) etwa musst Du reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ berechnen, sodass: $\begin{eqnarray*} \alpha\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) \stackrel{!}{=} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Diese Bedingung stellt schon ein lineares Gleichungssystem dar, das Du mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus lösen kannst.

12.06.2011, 22:08

Leagil

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$\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \stackrel{\beta}{\longrightarrow} \mathbb R^3 \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} \mathbb R^2, \quad v \mapsto \alpha(\beta(v)) \end{eqnarray*}$

Habe das nur gemacht komme auf :

$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ (1,1) = (1,0,2)
$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ (1,-1) = (1,2,0)

dann $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ davon:

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (1,0,2) = (1,2) = 1,5 b1 -0,5 b2
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (1,2,0) = (3,0) = 1,5b1+1,5b2

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1,5 & 1,5 \\ -0,5 & 1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist damit dann

B( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ o $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ )B

richritg?

12.06.2011, 22:26

zweiundvierzig

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Die erste Spalte stimmt, die zweite nicht, denn Du hast $\begin{eqnarray*} \alpha(1,2,0) \end{eqnarray*}$ falsch berechnet.

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