Eigenwert Beweise

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ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert Beweise
Hallo,

ich möchte einige (kurze)Aussagen zum Thema Eigenwerte beweisen, und fange direkt mal mit den ersten beiden an:

Zitat:

Sei K ein Körper, und . Zeigen Sie:

1. ist genau dann ein Eigenwert von A, wenn A nicht invertierbar ist.

2. Ist A invertierbar und ein Eigenwert von , so ist ein Eigenwert von .


Meine Ideen:

Zur 1.

ist ein Eigenwert von und ein Eigenvektor zum Eigenwert 0



nicht injektiv
nicht bijektiv (da der Vektorraum endlich dimensional ist)
nicht invertierbar.

Zur 2.

Sei invertierbar, ein Eigenwert von und ein Eigenvektor zum Eigenwert

Da A invertierbar, kann ich nun auf die Gleichung anwenden:



Da A invertierbar, ist 0 kein Eigenwert von A (wie in 1 gezeigt)
, also ist ein Eigenwert von zum Eigenvektor .

Wäre das so in Ordnung, oder habe ich hier etwas falsch gemacht?

danke schonmal im voraus.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zu erstens: OK

Zu zweitens :

Richtig! Allerdings wolltest Du bei deinem letzten Äquivalenzpfeil wohl schreiben.
 
 
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die Antwort.

Zur 1.

stimmt, da ist die Bemerkung wirklich überflüssig.

Zur 2.

stimmt, aber ob da nun oder steht, spielt doch eigentlich keine Rolle, da wir uns hier in einem Körper befinden, oder?


Dann auf zu den nächsten zwei:

Zitat:

3. Ist ein Eigenwert von A, so gilt für alle : ist ein Eigenwert von

4. Ist A nilpotent, so ist der einzige Eigenwert von A.


zur 3.

Sei also ein Eigenwert von A, und ein Eigenvektor zum Eigenwert a.

Ich habe es hier mit Induktion über versucht:

Der Induktionsanfang ist schon klar nach Voraussetzung.

Induktionsschritt:
und mit der Induktionsvoraussetzung


Damit wäre die Aussage mit Induktion gezeigt, falls ich es richtig gemacht habe.


zur 4.

Hier würde ich einen Widerspruchsbeweis machen:

Angenommen, es ex. ein Eigenwert von A mit einem zum Eigenwert a zugehörigen Eigenvektor .


Da A nilpotent, ex. ein , wobei gilt, mit und .

oder , und beides wäre ein Widerspruch (einmal zur Annahme, einmal zur Definition von Eigenvektoren).

Daraus würde dann die Behauptung folgen.

Wäre das so auch in Ordnung?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
stimmt, da ist die Bemerkung wirklich überflüssig.


Ich habs nochmal korrigiert. Für die Hinrichtung ist die Bemerkung überflüssig. Aber für die Rückrichtung brauchst Du sie. Denn aus nicht bijektiv folgt erstmal nur nicht injektiv oder nicht surjektiv. Im endlichdimensionalen folgt dann aber nicht injektiv für Endomorphismen.

3. : OK!

4. : OK!
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

ah, alles klar, dann ist die Bemerkung ja doch wichtig.

Dann auf zu den nächsten zwei:

Zitat:

5. Die Matrizen und haben dieselben Eigenwerte.
6.Ist A invertierbar mit und ein Eigenwert von , so ist auch ein Eigenwert von A.


zur 5.

Sei ein Eigenwert von A


Nun hatte ich die Idee, auszunutzen, für eine beliebige quadratische Matrix M.
Damit erhalte ich dann



Und damit ist dann a ein Eigenwert von

zur 6.

Das ist ja bloß ein Spezialfall von der 2. Aussage, und folgt doch direkt aus ihr, oder sehe ich das falsch?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das ist ja bloß ein Spezialfall von der 2. Aussage, und folgt doch direkt aus ihr, oder sehe ich das falsch?


Ganz genau!

zu 5. Im Prinzip hast Du so nur gezeigt, dass die Menge der Eigenwerte von A eine Teilmenge der Eigenwerte von A^T ist. Für die "Rückrichtung" kannst Du aber die selbe Aussage nochmal verwenden! Augenzwinkern Überleg mal wie!
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

Ich könnte dann ja einfach mit beginnen, und dann betrachten.

damit erhalte ich dann .




Dann noch die letzten zwei:

Zitat:

7.Sind beide invertierbar, so haben und dieselben Eigenwerte.
8. Sei . Es ist genau dann ein Eigenwert von A, wenn ein Eigenwert von ist.



zur 7:
Sei ein Eigenwert von und ein Eigenvektor zum Eigenwert a, dann gilt also

Wenn ich jetzt setze, dann ist , da und B invertierbar nach Voraussetzung (die Nullmatrix ist ja nicht invertierbar).

Damit erhalte ich dann:

, damit ist dann also auch ein Eigenwert von .

Das ganze muss ich, denke ich zumindest, dann auch andersrum zeigen.

Sei also b ein Eigenwert von und ein zugehöriger Eigenvektor, dann gilt .

Dann setze ich

und erhalte dann damit wie oben:

, dann ist also auch ein Eigenwert von

Mir ist aber noch nicht ganz klar, warum die Voraussetzung "A,B invertierbar" gebraucht wird, falls meine Überlegungen überhaupt korrekt sind.

Kann es vielleicht damit etwas zu tun haben, dass das Produkt zweier invertierbarer Matrizen selber wieder invertierbar ist, und damit (nach der 1. Aussage) nicht den Eigenwert 0 hat?





zur 8:

Sei also ein Eigenwert von und ein zugehöriger Eigenvektor





, also ist dann auch a ein Eigenwert von A mit zugehörigem Eigenvektor v.
Damit wäre die Aussage dann schon (in beiden Richtungen) gezeigt.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich könnte dann ja einfach mit beginnen, und dann betrachten.


Ich würde einfach die Aussage , dass die Menge der Eigenwerte von A eine Teilmenge der Eigenwerte von A^T ist auf die Matrix A^T anwenden. Die Menge der Eigenwerte von A^T ist nämlich eine Teilmenge der Eigenwerte von (A^T)^T wie Du gezeigt hast. Und naja, (A^T)^T = A. Fertig Augenzwinkern .

Zitat:
Mir ist aber noch nicht ganz klar, warum die Voraussetzung "A,B invertierbar" gebraucht wird, falls meine Überlegungen überhaupt korrekt sind.


Wären sie nicht invertierbar, so könntest Du bei nicht ausschließen, dass w ungleich 0 ist. Denn dann könnte v ja Eigenvektor zum Eigenwert 0 sein. Selbiges natürlich für . Und in diesen Fällen wäre w kein Eigenvektor zum Eigenwert a mehr. Insbesondere kannst Du also nicht zeigen, dass a ein Eigenwert wäre für BA.

Man findet auch leicht Beispiele wo das schief geht.

zu 8. Richtig!
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich würde einfach die Aussage , dass die Menge der Eigenwerte von A eine Teilmenge der Eigenwerte von A^T ist auf die Matrix A^T anwenden. Die Menge der Eigenwerte von A^T ist nämlich eine Teilmenge der Eigenwerte von (A^T)^T wie Du gezeigt hast. Und naja, (A^T)^T = A. Fertig .


stimmt, das ist natürlich sinnvoller smile

Zitat:
Wären sie nicht invertierbar, so könntest Du bei nicht ausschließen, dass w ungleich 0 ist. Denn dann könnte v ja Eigenvektor zum Eigenwert 0 sein. Selbiges natürlich für . Und in diesen Fällen wäre w kein Eigenvektor zum Eigenwert a mehr. Insbesondere kannst Du also nicht zeigen, dass a ein Eigenwert wäre für BA.


danke für die Erklärung, das macht Sinn.

Ich denke, damit müssten dann alle Beweise fertig sein.

Vielen dank für deine Hilfe!
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