Vektorgeometrie 4 Punkte Volumen von Tetraeder

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Luki1994 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorgeometrie 4 Punkte Volumen von Tetraeder
Meine Frage:
Hi
Ich habe 4 Punkte A(2,1,3) B(0,0,8) C(0,-2,0) D(5,-1,5. Anhand dieser Punkte soll ich das Volumen eines Tetraeders bestimmen.

Meine Ideen:
Meine Idee: Fläche des Dreiecks ABC kann wie folgt bestimmt werden:
Fd=0.5*(ABxAC) Daraus habe ich dann (9,-8,2) bekommen. Wie finde ich nun den Abstand(Höhe h) von der Grundfläche ABC. Damit ich G*h/3 für die Volumenberechnung habe. Die Grundfläche ist ja Wurzel von 9,-8,2 im quadrat.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Spatprodukt geht's elegant und schneller ...

mY+
Luki1994 Auf diesen Beitrag antworten »
Tetraeder spatprodukt
Könnten Sie mir das einmal vorrechnen und zeigen? Denn wenn ich Spatprodukt Google kommen(für mich ) zu allgemeine Dinge heraus, die ich überhaupt nicht mit der Aufgabe verbinden kann.
Luki1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tetraeder spatprodukt
Zitat:
Original von Luki1994
Könnten Sie mir das einmal vorrechnen und zeigen? Denn wenn ich Spatprodukt Google kommen(für mich ) zu allgemeine Dinge heraus, die ich überhaupt nicht mit der Aufgabe verbinden kann.


Laut Spatprodukt ä la Matheplanet muss man da Die Grundfläche a x b mit skalar c multiplizieren. Das Problem jedoch ist da kommt noch ein Winkel in die Rechnung hinzu und sorgt für verwirrung bei mir, sodass ich das nicht verstehe.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Was du beim MP dort gelesen hast, entzieht sich meiner Kenntnis.
Jedenfalls lautet das Spatprodukt von 3 Vektoren



Sein Betrag ist gleich dem Volumen des von den 3 Vektoren aufgespannten Parallelepipeds (Spat, schiefes Prisma). Und das Volumen der Pyramide ist 1/6 von dessen Betrag.

mY+
Luki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Was du beim MP dort gelesen hast, entzieht sich meiner Kenntnis.
Jedenfalls lautet das Spatprodukt von 3 Vektoren



Sein Betrag ist gleich dem Volumen des von den 3 Vektoren aufgespannten Parallelepipeds (Spat, schiefes Prisma). Und das Volumen der Pyramide ist 1/6 von dessen Betrag.

mY+


also Ihrer Antwort nach 1/6 (( a x b) *c) aber dann hat man ja nirgends die Höhe gebraucht, denn meine Grundfläche besteht aus den Punkten ABC und D ist die Spitze des Tetraeders. Dann hat man da ja 3mal die Seiten des Dreicks verwendet:
a=AB=B-A b=BC=C-B c=CA=A-C stimmt meine Interpretation trotzem ? Oder stimmen meine Zweifel?
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Damit drei Vektoren überhaupt einen Spat (ein schiefes Prisma), welches ein räumliches Gebilde ist, aufbauen können, müssen sie natürlich dementsprechend angeordnet sein. Daher nimmst du für die 3 Vektoren diese drei

AB, AC und AD (!)

Alle müssen von einem Punkt ausgehen, von welchem, ist nicht essentiell, hier haben wir A genommen.

Mittels des Spatproduktes wird sowohl die Grundfläche (mit AB, AC) als auch die Höhe (mit AD) auf diese bereits berücksichtigt und quasi intern damit gerechnet; das ist ja das Schöne daran, dass man mit dieser Methode für das Volumen weder Fläche noch Höhe eigens zu berechnen hat!

mY+
Luki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Damit drei Vektoren überhaupt einen Spat (ein schiefes Prisma), welches ein räumliches Gebilde ist, aufbauen können, müssen sie natürlich dementsprechend angeordnet sein. Daher nimmst du für die 3 Vektoren diese drei

AB, AC und AD (!)

Alle müssen von einem Punkt ausgehen, von welchem, ist nicht essentiell, hier haben wir A genommen.

Mittels des Spatproduktes wird sowohl die Grundfläche (mit AB, AC) als auch die Höhe (mit AD) auf diese bereits berücksichtigt und quasi intern damit gerechnet; das ist ja das Schöne daran, dass man mit dieser Methode für das Volumen weder Fläche noch Höhe eigens zu berechnen hat!

mY+

Grosses Dankeschön an Sie, somit habe ich es voll und ganz verstanden.
hjo Auf diesen Beitrag antworten »
Frage?
Sorry das ich diesen alten Thread wieder zum Leben erwecke. Aber wäre nicht 1/6 des Spatproduktes das Volumen des Tetraeder?

Freundliche Grüsse
Hjo
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
...
Und das Volumen der Pyramide ist 1/6 von dessen Betrag.
...


Was sonst?
hjo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Zitat:
Original von mYthos
...
Und das Volumen der Pyramide ist 1/6 von dessen Betrag.
...


Was sonst?


Sorry habs aufem Telephon angeschaut und anscheinend war die Seite nicht komplett geladen und da hab ichs irgendwie falsch verstanden. Hammer
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