rein inseparabel: Äquivalenzen beweisen

14.06.2011, 18:22

Hamsterchen

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rein inseparabel: Äquivalenzen beweisen

Hi,
hier erstmal die Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper mit $\begin{eqnarray*} char(K)=p>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L/K \end{eqnarray*}$ eine Körpererweiterung. Ein $\begin{eqnarray*} a\in L \end{eqnarray*}$ heißt rein-inseparabel, falls $\begin{eqnarray*} \exists m\in\mathbb N: a^{p^m}\in K$ \end{eqnarray*}$ .
Wr benennen mit $\begin{eqnarray*} m_a \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} a\in L \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen folgende Äquivalenzen:
(a) $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ rein inseparabel über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$
(b) $\begin{eqnarray*} m_a \end{eqnarray*}$ besitzt genau eine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} \overline K \end{eqnarray*}$ (alg. Abschluss)
(c) $\begin{eqnarray*} m_a=(X-a)^{p^m}\in\overline K[x] \end{eqnarray*}$

Es würde mir schonmal helfen, wenn mir jemand sagen könnte, welche Richtungen am leichtesten zu zeigen sind. Über Hilfe bin ich dennoch immer dankbar =)

LG
Hamsterchen

14.06.2011, 18:36

Hamsterchen

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Also vielleicht hier mal meine Ansätze:

Es gelte (a)
Sei also $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ rein inseparabel. Dann ex. ein $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y:=a^{p^m}\in K \end{eqnarray*}$ . Sei nun $\begin{eqnarray*} f=x^{p^m}-y=(x-a)^{p^m}\in K[x] \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} f(a)=0 \end{eqnarray*}$ , also muss $\begin{eqnarray*} m_a \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat aber als einzige Nullstelle nur $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , also kann $\begin{eqnarray*} m_a \end{eqnarray*}$ auch nur $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ als Nullstelle über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ haben.
Aber es muss ja auch über $\begin{eqnarray*} \overline K \end{eqnarray*}$ gelten, da weiß ich jetzt nicht mehr weiter...

Ja bei den anderen Richtungen weiß ich halt auch net wie ich das machen soll mit dem $\begin{eqnarray*} \overline K \end{eqnarray*}$ . Bitte um Tipps...

15.06.2011, 11:50

Reksilat

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Hallo Hamsterchen,

Zu "a)=> b)"
Dein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ im allgemeinen gar keine Nullstellen. Über $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ dagegen hat es die $\begin{eqnarray*} p^m \end{eqnarray*}$ -fache Nullstelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und zerfällt in Linearfaktoren. In $\begin{eqnarray*} \overline K \end{eqnarray*}$ können sich keine weiteren Nullstellen finden, da ja alle schon in $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ enthalten sind.

Bei "b)=> c)" musst Du nur mal überlegen, ob da auch ein kleinerer Exponent als $\begin{eqnarray*} p^m \end{eqnarray*}$ in Frage kommt, wenn das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ mit der obigen Eigenschaft minimal gewählt wurde.

"c)=>a)" ist dann wirklich ganz schnell erledigt.

Gruß,
Reksilat.

15.06.2011, 14:04

Hamsterchen

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Hi,
danke für deine Antwort.

Wieso hat denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ keine Nullstellen?
Ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ denn nicht in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ???

Und noch ne Frage: Wieso kann man schreiben: $\begin{eqnarray*} X^{p^m}-a^{p^m}=(x-a)^{p^m} \end{eqnarray*}$ , ich dachte, das geht nur für Primzahlen???

15.06.2011, 14:10

Reksilat

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Zitat:

Original von Hamsterchen
Ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ denn nicht in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ???

Lies doch bitte noch mal Deinen ersten Beitrag. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kann in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ liegen, aber das ist dann nur der triviale Fall.

Zitat:

Und noch ne Frage: Wieso kann man schreiben: $\begin{eqnarray*} x^{p^m}-a^{p^m}=(x-a)^{p^m} \end{eqnarray*}$ , ich dachte, das geht nur für Primzahlen???

Du kannst es ja einfach sukzessive machen:
$\begin{eqnarray*} (x-a)^{p^m}=((x-a)^p)^{p^{m-1}}=(x^p-a^p)^{p^{m-1}}=((x^p-a^p)^p)^{p^{m-2}}=(x^{p^2}-a^{p^2})^{p^{m-2}}=...=x^{p^m}-a^{p^m} \end{eqnarray*}$

15.06.2011, 15:20

Hamsterchen

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ach ich hab mich verlesen und dachte, a wäre in K...
ok gut, dann ist (a)-> (b) klar.

erstmal noch ne frage zu (c)->(a): Wenn ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} m_a=(x-a)^{p^m}\in\overline K[x] \end{eqnarray*}$ ist, dann weiß ich doch nicht, dass $\begin{eqnarray*} a^{p^m} \end{eqnarray*}$ in K ist, sondern wenn dann in $\begin{eqnarray*} \overline K \end{eqnarray*}$ .

Zu (b)->(c): Fällt mir im Moment nicht ein, wieso die potenz nicht auch kleiner sein kann

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15.06.2011, 15:31

Reksilat

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Wie Du gesehen hast, ist $\begin{eqnarray*} m_a=(x-a)^{p^m}=x^{p^m}-a^{p^m} \end{eqnarray*}$ und natürlich sind alle Koeffizienten des Minimalpoloynoms in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ enthalten.

Bei "b)=>c)":
Wenn auch $\begin{eqnarray*} x^k\in K \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} k<p^m \end{eqnarray*}$ , so kann $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ durch die minimale Wahl keine $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Potenz sein.
Also ist $\begin{eqnarray*} k=r\cdot p^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} {\rm ggT}(r,p)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n<m \end{eqnarray*}$ .

Versuch mal zu zeigen, dass dann auch $\begin{eqnarray*} x^{p^n}\in K \end{eqnarray*}$ ist.

15.06.2011, 16:06

Hamsterchen

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hi, wieso sollte $\begin{eqnarray*} x^{p^n}\in K \end{eqnarray*}$ sein? Also das dürfte doch nicht gehen, weil doch m die kleinste potenz ist, die das erfüllt und n ist ja kleiner als m. aber wieso betrachten wir uns $\begin{eqnarray*} x^{p^n} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x^{rp^n} \end{eqnarray*}$ ?

achja, ich weiß immer noch nicht, wieso alle koeffizienten des minimalpolynoms in K liegen müssen. wieso können die nicht in $\begin{eqnarray*} \overline K \end{eqnarray*}$ liegen???

15.06.2011, 16:15

Reksilat

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Es steht nirgendwo, dass $\begin{eqnarray*} x^{p^n}\in K \end{eqnarray*}$ ist. Das kann man aber zeigen und damit erzeugt man dann den Widerspruch.
Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und schau Dir mal die Definition des Minimalpolynoms an. Das Minimalpolynom von a über den Körpern $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \overline K \end{eqnarray*}$ ist trivialerweise $\begin{eqnarray*} x-a \end{eqnarray*}$ . Hier ist einzig und allein das MP über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ interessant und dessen Koeffizienten liegen selbstverständlich in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$

15.06.2011, 18:52

Hamsterchen

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hi
sry für die späte antwort.

ok also weil uns das minimalpolynom über $\begin{eqnarray*} \overline K \end{eqnarray*}$ nicht interessiert sondern nur das über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , liegen die Koeffizienten auch in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , ja?

für das andere weiß ich leider immer noch nicht so genau, wie ich das zeigen soll und vorallem, wieso das zu welchen widerspruch führt. könntest du das etwas genauer erklären (also für so spätmerker wie mich ^^)

15.06.2011, 21:45

Reksilat

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RE: rein inseparabel: Äquivalenzen beweisen
Zum Minimalpolynom:

Zitat:

Original von Hamsterchen
Wr benennen mit $\begin{eqnarray*} m_a \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} a\in L \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

Und das andere kannst Du Dir vielleicht am Beispiel überlegen:
Es sei $\begin{eqnarray*} x^8\in K,x^4\not\in K,x^2\not \in K, x\not \in K \end{eqnarray*}$ .
Angenommen $\begin{eqnarray*} x^7\in K \end{eqnarray*}$ . Kann das sein?
Wie sieht's mit $\begin{eqnarray*} x^6\in K \end{eqnarray*}$ aus?
Wie erzeugt man hier den Widerspruch?

Allgemein geht es ganz ähnlich.

15.06.2011, 22:17

Hamsterchen

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oh man ich peils net ^^
und auch net, wie man das auf einen widerspruch führt. sry der schritt ist irgendwie nix für mich -.-

18.06.2011, 17:02

Hamsterchen

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hi,
also wenn $\begin{eqnarray*} x^8\in K,x^4\notin K, x^2\notin K, x\notin K \end{eqnarray*}$ dann gilt aber, falls $\begin{eqnarray*} x^7\in K \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \frac{x^8}{x^7}=x\in K \end{eqnarray*}$ ist und damit gibts nen widerpruch.
wenn $\begin{eqnarray*} x^6\in K \end{eqnarray*}$ , dann auch $\begin{eqnarray*} \frac{x^8}{x^6}=x^2\in K \end{eqnarray*}$ und das wäre wieder ein Widerspruch.
Stimmt das?

Und im Allgemeinen Fall da weiß ichs noch nicht ganz.
Also $\begin{eqnarray*} x^{p^m}\in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^k\in K \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} k=r\cdot p^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n<m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ggT(r,p)=1 \end{eqnarray*}$ .
also ist $\begin{eqnarray*} 1=ap+br \end{eqnarray*}$ (Bezoutkoeffizienten).

Wenn ich jetzt teilen würde, dann hätte ich ja $\begin{eqnarray*} x^{p^m-rp^n}\in K \end{eqnarray*}$ aber da komm ich jetzt nicht weiter. auch wenn ich die gleichung mit bezout nach r auflöse kommt bei mir kein lichtblick =)

18.06.2011, 19:37

Reksilat

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Zuerst mal wird in Körpern nicht mit Brüchen gerechnet. Es ist $\begin{eqnarray*} x^8\cdot (x^7)^{-1}=x^8\cdot x^{-7}=x \end{eqnarray*}$ .
Ebenso bei $\begin{eqnarray*} x^6 \end{eqnarray*}$ .

Wenn Du es allgemein betrachtest, dann ist ja auch $\begin{eqnarray*} {\rm ggT}(p^{m-n},r)=1 \end{eqnarray*}$ . Es gibt also Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\cdot p^{m-n}+b\cdot r=1 \end{eqnarray*}$ .
Multplizier das vielleicht mal mit $\begin{eqnarray*} p^n \end{eqnarray*}$ durch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.06.2011, 09:33

Hamsterchen

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Hi,
sry für die späte Antwort.

Ich komm irgendwie net weiter, also ich muss ja rausbekommen, dass dann $\begin{eqnarray*} x^{p^n} \end{eqnarray*}$ auch in K liegt.

Wenn ich deinen Hinweis mal einsetze habe ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} x^{p^m-rp^n}=x^{\frac{p^n-brp^n}{a}-rp^n}=x^{p^n(\frac{1-br}{a}-r)} \end{eqnarray*}$

aber was soll ich denn damit anfangen? Habe auch noch andere umformungen hier auf meinem blatt stehen, aber irgendwie bringt mir keine was -.-

21.06.2011, 11:38

Reksilat

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Deine Umformung verstehe ich nicht. verwirrt

verwirrt

Du hast jetzt hoffentlich $\begin{eqnarray*} a\cdot p^{m}+b\cdot rp^n=p^n \end{eqnarray*}$ irgendwo da stehen.
Du willst was über $\begin{eqnarray*} x^{p^n} \end{eqnarray*}$ wissen.
Wieso setzt Du dann die obige Gleichung nicht einfach mal ein?
Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.06.2011, 11:52

Hamsterchen

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ja ich will ja rausbekommen, dass $\begin{eqnarray*} x^{p^n} \end{eqnarray*}$ auch in K liegt. Das hatte ich hier auch schonmal eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} x^{p^n}=x^{ap^m+brp^n} \end{eqnarray*}$

naja gut, man könnte das ja dann auch evtl. so schreiben, oder?

$\begin{eqnarray*} x^{p^n}=(x^{p^m})^a\cdot(x^{rp^n})^b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^{p^m} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^{rp^n} \end{eqnarray*}$ sind ja nach voraussetzung in K, dann dürften die Potenzen ja wohl auch in K sein und das Produkt dann auch und damit dann auch $\begin{eqnarray*} x^{p^n} \end{eqnarray*}$ ???

21.06.2011, 11:54

Reksilat

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Ja, genau. smile

smile

21.06.2011, 11:56

Hamsterchen

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oh man, endlich, ich seh sowas aber auch echt nie, das ist voll ärgerlich...

danke für deine geduld =)

dann bis zur nächsten aufgabe Wink

Wink

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