rein inseparabel: Äquivalenzen beweisen

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Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
rein inseparabel: Äquivalenzen beweisen
Hi,
hier erstmal die Aufgabe:

Sei ein Körper mit und eine Körpererweiterung. Ein heißt rein-inseparabel, falls .
Wr benennen mit das Minimalpolynom von über .

Zu zeigen folgende Äquivalenzen:
(a) rein inseparabel über
(b) besitzt genau eine Nullstelle in (alg. Abschluss)
(c)

Es würde mir schonmal helfen, wenn mir jemand sagen könnte, welche Richtungen am leichtesten zu zeigen sind. Über Hilfe bin ich dennoch immer dankbar =)

LG
Hamsterchen
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Also vielleicht hier mal meine Ansätze:

Es gelte (a)
Sei also rein inseparabel. Dann ex. ein mit . Sei nun , dann gilt , also muss ein Teiler von sein. hat aber als einzige Nullstelle nur über , also kann auch nur als Nullstelle über haben.
Aber es muss ja auch über gelten, da weiß ich jetzt nicht mehr weiter...

Ja bei den anderen Richtungen weiß ich halt auch net wie ich das machen soll mit dem . Bitte um Tipps...
 
 
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hamsterchen,

Zu "a)=> b)"
Dein hat über im allgemeinen gar keine Nullstellen. Über dagegen hat es die -fache Nullstelle und zerfällt in Linearfaktoren. In können sich keine weiteren Nullstellen finden, da ja alle schon in enthalten sind.

Bei "b)=> c)" musst Du nur mal überlegen, ob da auch ein kleinerer Exponent als in Frage kommt, wenn das mit der obigen Eigenschaft minimal gewählt wurde.

"c)=>a)" ist dann wirklich ganz schnell erledigt.

Gruß,
Reksilat.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
danke für deine Antwort.

Wieso hat denn über keine Nullstellen?
Ist denn nicht in ???

Und noch ne Frage: Wieso kann man schreiben: , ich dachte, das geht nur für Primzahlen???
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen
Ist denn nicht in ???

Lies doch bitte noch mal Deinen ersten Beitrag. Augenzwinkern

kann in liegen, aber das ist dann nur der triviale Fall.

Zitat:
Und noch ne Frage: Wieso kann man schreiben: , ich dachte, das geht nur für Primzahlen???

Du kannst es ja einfach sukzessive machen:
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ach ich hab mich verlesen und dachte, a wäre in K...
ok gut, dann ist (a)-> (b) klar.

erstmal noch ne frage zu (c)->(a): Wenn ich weiß, dass ist, dann weiß ich doch nicht, dass in K ist, sondern wenn dann in .

Zu (b)->(c): Fällt mir im Moment nicht ein, wieso die potenz nicht auch kleiner sein kann
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Du gesehen hast, ist und natürlich sind alle Koeffizienten des Minimalpoloynoms in enthalten.

Bei "b)=>c)":
Wenn auch ist für , so kann durch die minimale Wahl keine -Potenz sein.
Also ist mit und .

Versuch mal zu zeigen, dass dann auch ist.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi, wieso sollte sein? Also das dürfte doch nicht gehen, weil doch m die kleinste potenz ist, die das erfüllt und n ist ja kleiner als m. aber wieso betrachten wir uns und nicht ?

achja, ich weiß immer noch nicht, wieso alle koeffizienten des minimalpolynoms in K liegen müssen. wieso können die nicht in liegen???
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Es steht nirgendwo, dass ist. Das kann man aber zeigen und damit erzeugt man dann den Widerspruch.
Augenzwinkern

Und schau Dir mal die Definition des Minimalpolynoms an. Das Minimalpolynom von a über den Körpern bzw. ist trivialerweise . Hier ist einzig und allein das MP über interessant und dessen Koeffizienten liegen selbstverständlich in
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi
sry für die späte antwort.

ok also weil uns das minimalpolynom über nicht interessiert sondern nur das über , liegen die Koeffizienten auch in , ja?

für das andere weiß ich leider immer noch nicht so genau, wie ich das zeigen soll und vorallem, wieso das zu welchen widerspruch führt. könntest du das etwas genauer erklären (also für so spätmerker wie mich ^^)
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: rein inseparabel: Äquivalenzen beweisen
Zum Minimalpolynom:
Zitat:
Original von Hamsterchen
Wr benennen mit das Minimalpolynom von über .


Und das andere kannst Du Dir vielleicht am Beispiel überlegen:
Es sei .
Angenommen . Kann das sein?
Wie sieht's mit aus?
Wie erzeugt man hier den Widerspruch?

Allgemein geht es ganz ähnlich.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

oh man ich peils net ^^
und auch net, wie man das auf einen widerspruch führt. sry der schritt ist irgendwie nix für mich -.-
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
also wenn dann gilt aber, falls , dass ist und damit gibts nen widerpruch.
wenn , dann auch und das wäre wieder ein Widerspruch.
Stimmt das?

Und im Allgemeinen Fall da weiß ichs noch nicht ganz.
Also und wobei mit und .
also ist (Bezoutkoeffizienten).

Wenn ich jetzt teilen würde, dann hätte ich ja aber da komm ich jetzt nicht weiter. auch wenn ich die gleichung mit bezout nach r auflöse kommt bei mir kein lichtblick =)
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst mal wird in Körpern nicht mit Brüchen gerechnet. Es ist .
Ebenso bei .

Wenn Du es allgemein betrachtest, dann ist ja auch . Es gibt also Koeffizienten mit .
Multplizier das vielleicht mal mit durch. Augenzwinkern
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
sry für die späte Antwort.

Ich komm irgendwie net weiter, also ich muss ja rausbekommen, dass dann auch in K liegt.

Wenn ich deinen Hinweis mal einsetze habe ich folgendes:



aber was soll ich denn damit anfangen? Habe auch noch andere umformungen hier auf meinem blatt stehen, aber irgendwie bringt mir keine was -.-
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Umformung verstehe ich nicht. verwirrt

Du hast jetzt hoffentlich irgendwo da stehen.
Du willst was über wissen.
Wieso setzt Du dann die obige Gleichung nicht einfach mal ein?
Augenzwinkern
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich will ja rausbekommen, dass auch in K liegt. Das hatte ich hier auch schonmal eingesetzt:



naja gut, man könnte das ja dann auch evtl. so schreiben, oder?

und und sind ja nach voraussetzung in K, dann dürften die Potenzen ja wohl auch in K sein und das Produkt dann auch und damit dann auch ???
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. smile
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

oh man, endlich, ich seh sowas aber auch echt nie, das ist voll ärgerlich...

danke für deine geduld =)

dann bis zur nächsten aufgabe Wink
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