Basiswechselmatrix

14.06.2011, 21:03

Xeno1999

Basiswechselmatrix

Meine Frage:
Gegeben sei der Vektorraum $\begin{eqnarray*} \prod_{2}=\left\{ax^2+bx+c|a,b,c \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ der Polynome vom Höchstgrad 2 und die

lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \prod_2 \to \prod_2 ; ax^2+bx+c \to 2ax+b \end{eqnarray*}$ .
Ferner sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\left(1,x,x^2\right) \end{eqnarray*}$ die kanonsche Basis von $\begin{eqnarray*} \prod_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal V=\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x,x^2-1,\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x \right) \end{eqnarray*}$ eine weitere Basis von $\begin{eqnarray*} \prod_2 \end{eqnarray*}$ .
Bestimmen Sie die zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gehörige Matrix $\begin{eqnarray*} \mathbf A^\varepsilon_\varepsilon \end{eqnarray*}$ bezüglich der kanonschen Basis $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ sowie die beiden Basiswechselmatrizen $\begin{eqnarray*} \mathbf B^\mathcal V_\varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbf B^\varepsilon_\mathcal V \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \mathbf{Hinweis:} \end{eqnarray*}$ Der Koordinatenvektor bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c \in \prod_2 \end{eqnarray*}$
lautet $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c \\ b \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also ich hab mir gedacht dass die Matrix $\begin{eqnarray*} A^\varepsilon_\varepsilon= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

So wie ich es verstanden habe muss ich ja nur 1,x,x^2 mit pi2 vergleichen und die Vorwerte ablesen. Bei den anderen Aufgaben weiss ich noch nicht so genau wie es gehen soll.

15.06.2011, 12:14

Reksilat

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RE: Basiswechselmatrix
Hallo Xeno,

Du musst schauen, worauf $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Basisvektoren abbildet, das ist richtig. Du hast sie aber nicht richtig eingetragen. Die erste Spalte stimmt zwar, da $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ auf den Nullvektor abgebildet wird, aber $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wird auf $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abgebildet und das ist der erste Bassivektor. Insofern muss in der zweiten Spalte an der ersten Stelle die Null stehen.
Der dritte Basisvektor $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ wird auf $\begin{eqnarray*} 2\cdot x \end{eqnarray*}$ abgebildet (zweimal der zweite BV) und insofern steht in der dritten Spalte an zweiter Stelle die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ .

Bei den anderen Matrizen musst Du versuchen die Basisvektoren der einen Basis als Linearkombination der Vektoren der anderen Basis darzustellen und diese Koeffizienten wieder als Spalten der Matrix eintragen.

Und dann umgekehrt.

Gruß,
Reksilat.

22.06.2011, 20:16

Xeno1999

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hi also muss dann $\begin{eqnarray*} A_{\epsilon,\epsilon}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein?

22.06.2011, 20:27

Xeno1999

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und $\begin{eqnarray*} B_{V,\epsilon}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1/2 & 2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ müsste dann stimmen.

22.06.2011, 21:05

Reksilat

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RE: Basiswechselmatrix

Zitat:

Original von Reksilat
...aber $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wird auf $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abgebildet und das ist der erste Bassivektor. Insofern muss in der zweiten Spalte an der ersten Stelle die Null stehen.

Sorry, hier hätte 1 statt Null stehen sollen. Insofern ist auch Deine Matrixdarstellung noch nicht richtig.

Bei Deiner zweiten Matrix sehe ich nicht, wie Du darauf kommst. verwirrt

Sie ist aber falsch, da so eine Basistransformationsmatrix invertierbar sein muss.
Beschreibe doch ein wenig Dein Vorgehen, damit ich sehen kann, wo das Problem liegt.

22.06.2011, 21:39

Xeno1999

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Also wär die $\begin{eqnarray*} A^{\epsilon}_{\epsilon}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so richtig?

Ich glaub langsam komm ich dahinter smile

Bei der Matrix Bv->eps weiss ich nicht so ganz ob ich von V jeden Punkt einzeln mit der funktion pi vergleichen soll und so wie bei A einfach die werte ablesen kann.

22.06.2011, 22:20

Reksilat

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Du musst versuchen die Basisvektoren von $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der Basisvektoren von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ darzustellen. Habe ich oben schon geschrieben. Wo ist das Problem?

btw.: Wenn die eine Basis Epsilon heißt, so wird die andere wahrscheinlich Ny, also $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ heißen. Code: \nu

22.06.2011, 22:39

Xeno1999

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Ich checks glaub ich nicht ich weiss dass wenn ich ein vektor mit zahlen habe dann nehme ich den und stell ihn als linearkomb der anderen dar aber wie sol das mit polynomen gehen?

22.06.2011, 22:57

Reksilat

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Du möchtest mir sagen, dass Du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x \end{eqnarray*}$ nicht als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} 1,x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ darstellen kannst?

22.06.2011, 23:44

Xeno1999

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so meinte ich das jetzt auch nicht, hab irgendwie ne blockade gehabt.

Die Linearkomb wäre hier sozusagen die erste Spalte von Av-->e also (0,-1/2,1/2) oder nicht?

22.06.2011, 23:50

Reksilat

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Genau.

23.06.2011, 07:39

Xeno1999

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haleluja! Danke dir tausend mal!!!

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