Abbildungsmatrix

15.06.2011, 11:56

DieKleinste

Abbildungsmatrix

Also ich hab hier die Aufgabe:

E=(e1, e2) bezeichne die kanonische Basis des R². Die Endomorphismen f und g des R² seien gegeben durch
f(e1)= 2*e1
f(e2)= e2
g(e1-e2)= c*(e1-e2)
g(e1)= e1
wobei c ein reeller Parameter ist.

So hab jetzt schon mal die Vektoren aufgeschrieben:

E= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

f(e1)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
f(e2)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
g(e1-e2= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c \\ -c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
g(e1)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die Abbildungsmatrizen von f, g und f°g bzgl der Basis E
Untersuchen Sie für welche c $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R die abbildung f°g diagonalisierbar ist

hab das mit der Abbildungsmatrix schon ewig nicht mehr gemacht, weiß nur, dass ich die irgendwie mit der Einheitsmatrix multiplizieren muss, wie keine Ahnung

Vielleicht kann mir jemand einen guten Tip geben
Vielen Dank

15.06.2011, 12:00

Cel

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Die Spalten der Abbildungsmatrix ergeben sich als Komponentenvektor der Bilder der Basisvektoren.

Au fdeutsch: Berechne die Bilder der Basisvektoren und schreibe sie spaltenweise nebeneinander. Das geht hier so einfach, weil die kanonische Basis benutzt wird. Ein bisschen rechnen wirst du für g(e2) müssen. Bedenke aber, was g ist und was du darfst.

16.06.2011, 08:29

DieKleinste

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RE: Abbildungsmatrix
Oh man, jetzt hab ich die ganze Zeit überlegt wie ich auf g(e2) komme... aber ich hab ja nen Endomorphismus
da kann ich ja schreiben:
g(e1-e2) =g(e1)-g(e2)

und dann ist g(e2)=g(e1)- g(e1-e2) also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c-2 \\ -c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn man den ganzen Tag vor irgendwelchen Aufgaben sitzt, schaltet das Hirn irgendwann aus ;-)

vielen Dank für die Hilfe

16.06.2011, 08:30

DieKleinste

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stop andersrum

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2-c \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.06.2011, 12:50

Cel

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Die 2 stimmt nicht. Wie lauten nun die Abbildungsmazrizen und was ist mit der Diagonalisierbarkeit?

16.06.2011, 21:58

DieKleinste

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ok nochmal

16.06.2011, 22:00

DieKleinste

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RE: Abbildungsmatrix
ok habs auch grad gemerkt...

also die Vektoren stimmen ja

dann mach ich als erstes f:

f(e1)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

f(e2)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und dann ist [f]= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit oder hab ich da wieder ne völlig falsche Denkweise? Oder muss ich das mit der kanonischen Basis machen?

also f(e1) wäre ja dann:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
kommt natürlich dann bei f(e2) was anderes raus, bzw hab ja dann die Identität immer

16.06.2011, 22:28

Cel

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Ich weiß ehtlich gesagt nicht, was du da machst. Wenn man zwei Vektoren multipliziert, kommen üblicherweise reelle Zahlen heraus. Außerdem musst du quasi nichts machen:

Zitat:

Original von Cel
Die Spalten der Abbildungsmatrix ergeben sich als Komponentenvektor der Bilder der Basisvektoren.

Auf deutsch: Berechne die Bilder der Basisvektoren und schreibe sie spaltenweise nebeneinander.

Einfach nur die Bilder in eine Matrix schreiben. Bei f nach g muss man die Matrizen multiplizieren.

16.06.2011, 22:59

DieKleinste

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Aber ich dachte die Abbildungsmatrix sind immer die Bilder mit der Einheitsmatrix multipliziert und das wollt ich machen
mhh komisch, da war ich ja völlig falsch dran
dann sag ich mal Entschuldigung :-)
und vielen Dank

16.06.2011, 23:05

Cel

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Meinetwegen mit der Einheitsmatrix multiplizieren, aber das hast du nicht gemacht, du hast mit Spalten der Einheitsmatrix multipliziert. Dennoch ändern sich die Vektoren dadurch nicht, also können wir sie auch sofort so lassen.

Fertig ist die Aufgabe aber noch nicht, wie lauten denn die drei Matrizen nun? Und das ist mit Diagonalisierbarkeit?

16.06.2011, 23:10

DieKleinste

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ok jetzt hab ichs aber kapiert:
[f]= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

[g]= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1-c \\ 0 & c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und [f°g]= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1-c \\ 0 & c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann obs diagonalisierbar ist:

$\begin{eqnarray*} det(f°g -\lambda E3)=0 \end{eqnarray*}$

da kommt dann raus:
$\begin{eqnarray*} \lambda =2 und \lambda =c \end{eqnarray*}$

also diagonalisierbar für c ungleich 0

16.06.2011, 23:22

Cel

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f nach g ist noch nicht richtig (Rechenfehler). Und wieso macht c = 0 etwas kaputt? Macht es nicht, aber wieso?

Unterscheide die Fälle c gleich 2 und ungleich 2. Guck dir die Eigenvektoren an bzw. die Dimension der Eigenräume, darüber ist ja Diagonalisierbarkeit definiert.

16.06.2011, 23:29

DieKleinste

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warum ist f verknüpft g falsch? da rechne ich doch g mal f...

bei der Diagonalmatrix, wenn c=0 ist, dann ist ja Lambda gleich null und das darf ja nicht sein
Aber wenn c=2 ist, ist doch kein Problem oder? Heißt ja nur, dass ich ne doppelte Nullstelle hab, das sollte ja funktionieren

Hey bin ich nur zu dumm dafür, oder steh ich grad voll auf dem Schlauch, hab soviele Aufgaben gemacht und die geht einfach nicht...

17.06.2011, 18:47

Cel

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Nein, du musst f mal g rechnen. Anders herum.

Warum darf Lambda nicht gleich Null sein? 0 ist ein Eigenwert, das wird durch die Definition nicht ausgeschlossen.

Und wie gesagt: Berechne doch mal allgemein die Eigenräume. Erst nimmst du an, dass die Eigenwerte verscheiden sind (c ungleich 2) und berechnest die Eigenräume und einmal nimmst du c = 2. Dann ist die Matrix sofort diagonal.

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