Diagonaliserung Blockmatrix

15.06.2011, 17:44	Kevin-357	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonaliserung Blockmatrix Meine Frage: Hi! Habe folgende Aufgabe: Vor.: Sei A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix} \in M(K ,n\times n) mit B\in M(K ,m\times m) & und & C\in M(K ,p\times p) \end{eqnarray}$ , wobei n=m+p. Beh.: A diagonalisierbar <=> B und C diagonalisierbar Meine Ideen: Habe bisher leider keinen richtigen Ansatz.
16.06.2011, 12:07	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonaliserung Blockmatrix Hallo Kevin, Ich muss sagen, dass ich echt immer ziemlich mit mir hadere, ob ich bei solchen Fragen ohne den kleinsten eigenen Ansatz überhaupt antworten soll. Es ist echt nervig, hier einfach ins blaue loszuschreiben und nach ein paar Antworten stellt sich heraus, dass der Threadstarter keine Ahnung hat was "diagonalisierbar" bedeutet und kein Wort von dem verstanden hat, was ich bisher geschrieben habe. _______ Hier ist eine Äquivalenz zu zeigen, d.h. zwei Richtungen. Man fängt mit einer Richtung an, sagen wir mal mit "=>". Dann sei jetzt A diagonalisierbar, das heißt ...? Soweit sollte jeder kommen, der sich ansatzweise Hoffnungen auf die Lösung der Aufgabe macht. Außerdem benötigen wir jetzt Kriterien für die Diagonalisierbarkeit. Je nachdem welche Ihr in der Vorlesung behandelt habt, verändert sich der nötige Aufwand bei dieser Aufgabe. Gruß, Reksilat.
16.06.2011, 16:32	Kevin-357	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Reksilat, keine Sorge, ganz blöd bin ich nicht. Nach Definition ist eine Matrix A diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix D ist, d.h. $\begin{eqnarray} A=TDT^{-1} \end{eqnarray}$ . Und dann hatten wir noch, dass dies äquivalent ist zu: (i) Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren und bei jedem Eigenwert stimmen algebraische und geometrische Vielfachheit überein. (ii) Die Eigenräume zu den paarweise verschiedenen Eigenwerten bilden als direkte Summe $\begin{eqnarray} K ^{n} \end{eqnarray}$ . Okay, also dann doch nochmal das, was ich mir bisher gedacht habe. Zu Hinrichtung "=>": Sei also A diaogonalisierbar. => Äquivalenz (i) Nun gilt: $\begin{eqnarray} p_{A}(\lambda )= det(A-\lambda I)=det(B-\lambda I)\cdot det(C-\lambda I)=p_{B}(\lambda )\cdot p_{C}(\lambda ) \end{eqnarray}$ . Okay, jetzt weiß ich zumindest schonmal, dass B und C triagonalisierbar sind. Aber wie kann ich folgern, dass bei jedem Eigenwert geometrische und algebraische Vilefachheit übereinstimmen? Zur Rückrichtung "=>". Seien also B und C diagonalisierbar. => $\begin{eqnarray} B=SDS^{-1} &und& C=TET^{-1} \end{eqnarray}$ . Folgt daraus direkt, dass $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} TDT^{-1} & 0 \\ 0 & SES^{-1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} T & 0 \\ 0 & S \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} D & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} T^{-1} & 0 \\ 0 & S^{-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Aber dann habe ich ja noch das Problem, das der letze Faktor nicht wirklich die Inverse ist, oder gilt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} T & 0 \\ 0 & S \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} T^{-1} & 0 \\ 0 & S^{-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Danke!
16.06.2011, 17:02	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu "=>": Mir fallen da spontan zwei Wege ein: - Zum einen könntest Du über das Minimalpolynom argumentieren. Die Matrix ist nämlich genau dann invertierbar, wenn das Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt. Das sieht man hier recht gut. - Zum anderen über die Vielfachheiten. Du musst quasi nur zeigen, dass die Dimensionen der Eigenräume zu $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ wieder $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und die zu $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ wieder $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ergeben. Dann müssen die Vielfachheiten auch übereinstimmen. Dabei zerfällt ja $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ in zwei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ -invariante Unterräume $\begin{eqnarray} V_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V_2 \end{eqnarray}$ , auf denen dann $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ operieren. (Nichts anderes sagt diese Blockdiagonalgestalt ja aus.) Man kann ganz gut zeigen, dass dann $\begin{eqnarray} {\rm Eig}_A(V,\lambda)={\rm Eig}_B(V_1,\lambda)\oplus{\rm Eig}_C(V_2,\lambda) \end{eqnarray}$ ist. Anders ausgedrückt: Wenn Du einen Eigenvektor $\begin{eqnarray} v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hast, mit $\begin{eqnarray} v_1\in K^m,v_2\in K^p \end{eqnarray}$ , dann sind auch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}v_1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0\\v_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eigenwerte zum gleichen Eigenvektor. Und jeder dieser Eigenvektoren steht für einen Eigenvektor von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ zu diesem Eigenwert. (Das mag vielleicht aufwendig klingen, aber Eigenvektoren zu $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ sind nunmal keine Elemente des $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ und deshalb braucht man diese Zerlegung in invariante Unterräume) _______________ Zu "<=": Rechne doch mal $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} T & 0 \\ 0 & S \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} T^{-1} & 0 \\ 0 & S^{-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aus. Dann siehst Du, dass es das Inverse ist.
20.06.2011, 19:30	Kevin-357	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Reksilat! Danke schonmal für deine schnelle Hilfe! Die Rückrichtung ist mir jetzt klar, aber bei der Hinrichtung blicke ich noch nicht ganz durch. Von Minimalpolynomen habe ich noch nie was gehört und mit invarianten Unterräumen kann ich auch nichts anfangen... Mein Ziel ist es doch zu zeigen, dass die geometrische und die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte von B bzw. C jeweils übereinstimmen. Könntest du mir vielleicht nochmal helfen auf den Trichter zu kommen? Vielen Dank! Kevin
21.06.2011, 12:07	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du über die geometrischen Vielfachheiten von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ argumentieren willst, dann benötigst Du Eigenvektoren zu $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ . Diese können aber keine Elemente aus dem $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ sein. Deshalb musst Du irgendwie auch den $\begin{eqnarray} K^m \end{eqnarray}$ und den $\begin{eqnarray} K^p \end{eqnarray}$ in Deine Argumentation reinbekommen. Ein A-invarianter Unterraum ist ein Unterraum $\begin{eqnarray} V_1\subset V \end{eqnarray}$ , bei dem $\begin{eqnarray} Av\in V_1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v\in V_1 \end{eqnarray}$ gilt. Letztlich habe ich die vereinfachte Fassung ja aber auch unter "Anders ausgedrückt" schon hingeschrieben.
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