Parametergleichung

13.12.2006, 20:52

thees

Parametergleichung

Ich hab mal 2 Fragen und zwar

1. Wie stell ich eine Parametergleichung einer Mittelsenkrechten auf
und 2. Wie berechne ich dann den schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten? -> setze ich die in ein gleichungssystem?

13.12.2006, 21:03

cleverclogs

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Ich nehme an, dass Du von einem Dreieck sprichst!

Bist Du aber in 2 oder 3 Dimensionen??

13.12.2006, 21:05

thees

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ja ist ein dreieck in 2 dimensionen

13.12.2006, 21:10

cleverclogs

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Nächste Frage: Was ist gegeben? Drei Punkte, drei Geradengleichungen oder was?

13.12.2006, 21:12

thees

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3 Punkte und die zwei mittelsenkrechten sollen g von AB und g von AC sein

13.12.2006, 21:24

cleverclogs

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Und Du solltest mit Vektoren, nicht Koordinaten, arbeiten? (Ich bin bereit zu helfen, verstehe immer noch nicht genau was Du von mir willst! unglücklich

)

13.12.2006, 21:30

thees

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okay ich schreib mal die aufgabe auf

gegeben ist ein dreieck ABC A(1|2), B(9|0) und C (5|6)
Stellen sie die Parametergleichung der Mittelsenkrechten gAB und gAC auf und berechnen sie den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

13.12.2006, 21:33

mYthos

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Sorry @cleverclogs, ich muss da eingreifen. Der Fragesteller hat präzise gesagt, um was es ihm geht (Parametergleichung)! Er will ja nichts ausschließlich von DIR, sondern von der Community!

Es soll nun der Weg, aber nicht die Lösung gezeigt werden ....

Gr
mY+

13.12.2006, 21:38

thees

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kannst du mir denn bei meinen Fragen weiterhelfen Mythos?

13.12.2006, 21:52

mYthos

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Du kannst die Aufgabe geometrisch oder analytisch lösen. Der geometrische Weg ist anschaulicher. Da die Mittensenkrechten durch die Mittelpunkte der Seite gehen, sind diese zu bestimmen, M(AB) und M(AC). Dafür gibt's eine einfache Beziehung. Kennst du diese?

In diesen Mittelpunkten errichtest du dann die Normalen auf die Seiten. Welchen Richtungsvektor (bzw. welche Steigung) hat denn die Normale auf eine Seite in Bezug auf diese?

mY+

13.12.2006, 22:23

thees

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Du kannst die Aufgabe geometrisch oder analytisch lösen. Der geometrische Weg ist anschaulicher. Da die Mittensenkrechten durch die Mittelpunkte der Seite gehen, sind diese zu bestimmen, M(AB) und M(AC). Dafür gibt's eine einfache Beziehung. Kennst du diese?
Mir fällt diese zumindest grade nicht ein, wie lautet diese denn?

In diesen Mittelpunkten errichtest du dann die Normalen auf die Seiten. Welchen Richtungsvektor (bzw. welche Steigung) hat denn die Normale auf eine Seite in Bezug auf diese? Liegt die Normale nicht senkrecht auf der geraden, also ist dazwischen ein rechter Winkel oder?

13.12.2006, 22:27

mYthos

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1. M(AB): $\begin{eqnarray*} \vec{M(AB)} = \frac{1}{2} \ (\vec{A} + \vec{B}) \end{eqnarray*}$

2. Ja.

Hinweis: Der Normalvektor auf einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \vec{n_a} = \begin{pmatrix} -a_2 \\ a_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.12.2006, 23:14

thees

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ah okay danke smile

und wie stell ich dann damit die Parametergleichung auf?

13.12.2006, 23:22

mYthos

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Schreib mir mal den Mittelpunkt und den Richtungsvektor auf und dann sehen wir weiter ...

mY+

13.12.2006, 23:27

cleverclogs

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Zitat:

Original von mYthos
Sorry @cleverclogs, ich muss da eingreifen. Der Fragesteller hat präzise gesagt, um was es ihm geht (Parametergleichung)! Er will ja nichts ausschließlich von DIR, sondern von der Community!

Was anders hat ich nie vor... smile

Aber ich wurde mit Koordinaten arbeiten... Ich habe leider viele Aufgaben in 2D gelesen, wo Parameter anstatt Koordinaten geschrieben wurde!

13.12.2006, 23:39

thees

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M(AB)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1\\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

13.12.2006, 23:43

mYthos

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....

das wäre dann die andere Methode, aber die wird @thees (mit seinem Kenntnisstand) noch weniger leicht fallen, wie ich das einschätze. Denn dann müsste er die Distanzen XA, XB, XC gleichsetzen, die Gleichungen subtrahieren, usw. Anschaulich ist das Ganze auch nicht.

Und wenn dort steht: Parametergleichung, dann machen wir's auch! Lehrer

Nachdem @thees noch da ist, wird er vielleicht eifrig rechnen, oder er ist perhaps schon eingeschlafen Wink

mY+

13.12.2006, 23:46

thees

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Ja hab fleißg gerechnet Augenzwinkern

und muss zugeben das es sehr nett von dir ist, dass du mir so hilfst. Meine Lösung siehe ein beitrag über dir

13.12.2006, 23:46

mYthos

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Uuuups, jetzt ist dein Post dazwischen gerutscht! M stimmt, aber der Richtungsvektor ist falsch! Du musst den Normalvektor von AB nehmen, nicht den M.!

@cleverclogs ist auch noch da, er will dir auch helfen, und gemeint, ob's nicht mit Koordinaten gerechnet werden soll. Ich denke aber, dass es so etwas leichter ist, aber es soll dir unbenommen bleiben.

mY+

13.12.2006, 23:51

thees

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achso, dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für den richtungsvektor?

13.12.2006, 23:54

mYthos

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ja, passt. Wenn du willst, kannst du ihn noch zu (1;4) abkürzen. Das darf man aber nur für Richtungs- und Normalvektor machen, NICHT für Stützpunkte!

So, nun zur Parameterform. Du weisst sicher, dass es da einen Anfangspunkt und einen Richtungsvektor der Geraden braucht, um diese zu erstellen. Beides ist schon da, also, wie sieht das nun aus?

13.12.2006, 23:59

cleverclogs

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Ich bin zwar da, gehe gleich schlafen! Ich arbeite in 2D immer mit Koordinaten (y = mx + n) wo n auch a, b, c und neulich t genannt werden kann! Ich finde es genau so leicht, aber mit Vektoren kommt thees klar, und da er kein Schüler von mir ist... Big Laugh

Du bist sowieso gleich da, oder, thees? Freude

cleverclogs

14.12.2006, 00:05

thees

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$\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + t $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

vielleicht?

14.12.2006, 00:12

mYthos

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Zitat:

Original von thees
...
vielleicht?

Nicht vielleicht, sondern sicher. Kürze den Richtungsvektor noch ab, so kommt

$\begin{eqnarray*} \vec{X} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, das Gleiche machst jetzt noch mit der anderen Strecke. Denke daran, dass du für den Parameter ein anderes Zeichen, z.B. s wählen musst.

Zum Ende werden die beiden Parametergleichungen gleichgesetzt und (zeilenweise) nach t, s aufgelöst. Das liefert dir den Schnittpunkt U (es ist ein besonderer Punkt, nämlich der ... ? ...)

mY+

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