Verteilungsdichte bestimmen

16.06.2011, 11:39

Gast11022013

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Verteilungsdichte bestimmen

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unabhängige, zu einem Parameter $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ exponentialverteilte Zufallsvariablen. Bestimmen Sie die Verteilungsdichte von $\begin{eqnarray*} X/(X+Y) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Sei $\begin{eqnarray*} Z:=X/(X+Y) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} F_Z(a)=P(Z\leq a)=P(\frac{X}{X+Y}\leq a) \end{eqnarray*}$

Wie kann man weiter machen?

Edit:

Irgendwie hat es sicher mit dem Begriff der "Faltung" zu tun.

16.06.2011, 12:46

Gast11022013

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Folgende Idee:

Für den Zähler (X) kennt man die Dichtefunktion.

Für den Nenner (V:=X+Y) kann man eine Dichtefunktion mit Hilfe der Faltung berechnen.

Gibts einen Weg dann aus den beiden Dichten die Dichte von X/V zu ermitteln?

[Wenn X und V unabhängig sind, habe ich eine Formel gefunden. Wenn sie nicht unabhängig sind, gibts vllt eine Formel, die ich nicht kenne.]

16.06.2011, 12:56

René Gruber

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Zitat:

Original von Dennis2010
Für den Zähler (X) kennt man die Dichtefunktion.

Für den Nenner (V:=X+Y) kann man eine Dichtefunktion mit Hilfe der Faltung berechnen.

Hast du da nicht gerade Zähler und Nenner verwechselt? verwirrt

verwirrt

Na egal, jedenfalls kann man die Aufgabe mit dem Transformationssatz angehen. Bei zwei Ausgangsvariablen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ braucht man dann neben $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ auch noch eine zweite Zielvariable (nennen wir sie $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ) sowie eine passende Bijektion. Da würde sich z.B.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} Z \\ T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{X}{X+Y} \\ X+Y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

anbieten, mit der Umkehrung

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ZT \\ T-ZT \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Hat man dann die gemeinsame Verteilung von $\begin{eqnarray*} (Z,T) \end{eqnarray*}$ , dann kann man auch die gesuchte Randverteilung bzgl. $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ bestimmen.

16.06.2011, 13:01

Gast11022013

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Geht das elementarer, denn beispielsweise hatten wir den Begriff "Randverteilung" nicht.

Kann man das einfacher machen?

Edit:

Geht meine Idee auch?

Wenn ja, wie berechnet man die Dichtefunktion des Quotienten zweier (unabhängigen?) Zufallsvariablen, für die man dann ja die Dichtefunktionen kennt.

16.06.2011, 13:06

René Gruber

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Zitat:

Original von Dennis2010
Geht das elementarer, denn beispielsweise hatten wir den Begriff "Randverteilung" nicht.

Dann lies ihn dir an, das ist schließlich nichts Weltbewegendes. Ansonsten bin ich gleich weg, wenn eine derartige Jammerei wieder anfängt.

Zitat:

Original von Dennis2010
wie berechnet man die Dichtefunktion des Quotienten zweier (unabhängigen?) Zufallsvariablen, für die man dann ja die Dichtefunktionen kennt.

Über eine Formel, die man ebenfalls aus dem Transformationssatz gewinnt. Es ist also keinesfalls ein geringerer Aufwand.

16.06.2011, 13:10

Gast11022013

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Ich will gar nicht jammern, das Problem ist nur, dass ich nie verstehe, was Du an Ideen vorschlägst. Tut mir leid.

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16.06.2011, 13:16

Gast11022013

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Was denn für ein Transformationssatz?

16.06.2011, 13:17

René Gruber

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Also ihr kennt den Transformationssatz nicht, behandelt zwar Zufallsvektoren, kennt aber Randverteilungen nicht... Dann macht es auch wirklich keinen Spaß zu helfen, wenn sämtliche (wahrscheinlich dann doch behandelte) Vorkenntnisse geleugnet werden.

16.06.2011, 13:20

Gast11022013

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Tut mir leid, ich sage nur, wie es ist.

Ich leugne auch keine Vorkenntnisse, es wurde kein "Transformationssatz" in der Stochastikvorlesung behandelt.

Vielleicht sagst Du ja trotzdem, welchen Du meinst.

Ein Link genügt ja.

16.06.2011, 13:23

René Gruber

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Man kann natürlich auch

$\begin{eqnarray*} P(Z\leq z) = P\left( \frac{X}{X+Y} \leq z \right) = P(X \leq zX+zY) = P((1-z)X-zY \leq 0) \end{eqnarray*}$

rechnen, und anschließend das ganze mit der Faltung der Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} (1-z)X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -zY \end{eqnarray*}$ berechnen.

16.06.2011, 13:33

Gast11022013

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Dieser Lösungsweg ist für mich besser und passt besser zum Vorlesungsinhalt, denn die Faltung wurde behandelt.

Sind $\begin{eqnarray*} (1-z)X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -zY \end{eqnarray*}$ dann auch unabhängige Zufallsvariablen?

Dass sie Zufallsvariablen sind, hatten wir mal bewiesen: Wenn man eine Zufallsvariable mit einer reellen Zahl multipliziert, ist das auch wieder eine Zufallsvariable.

Und unabhängig müssten die auch sein, wenn ich auch nicht genau begründen kann, wieso. verwirrt

verwirrt

Naja, erstmal weiter machen:

Wenn ich jetzt mal $\begin{eqnarray*} (1-z)X=\tilde X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -zY=\tilde Y \end{eqnarray*}$ schreibe und $\begin{eqnarray*} \tilde X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde Y \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, so gilt doch:

$\begin{eqnarray*} f_{\tilde X+\tilde Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{\tilde X}(t)f_{\tilde Y}(z-t)dt \end{eqnarray*}$ .

Um das auszurechnen müsste ich nun noch wissen, wie denn die Dichten von $\begin{eqnarray*} \tilde X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde Y \end{eqnarray*}$ sind.

Ich würde sagen:

Die Dichte von $\begin{eqnarray*} \tilde X \end{eqnarray*}$ ist eben die Dichte von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , multipliziert mit $\begin{eqnarray*} (1-z) \end{eqnarray*}$ und die Dichte von $\begin{eqnarray*} \tilde Y \end{eqnarray*}$ ist die Dichte von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , multipliziert mit $\begin{eqnarray*} -z \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} f_{\tilde X}(z)=(1-z)\cdot f_{X}(z)=(1-z)\cdot \alpha e^{-\alpha z} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} f_{\tilde Y}(z)=-z\cdot f_{Y}(z)=-z\cdot \alpha e^{-\alpha z} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Also wohl:

$\begin{eqnarray*} f_{\tilde X+\tilde Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{\tilde X}(t)f_{\tilde Y}(z-t)dt=\int_{-\infty}^{\infty}(1-z)\cdot (\alpha e^{-\alpha t})\cdot (-z)(\alpha e^{-\alpha (z-t)})dt=\int_{0}^{\infty}(1-z)\cdot (\alpha e^{-\alpha t})\cdot (-z)(\alpha e^{-\alpha (z-t)})dt \end{eqnarray*}$ ?

Wie gesagt, ich weiß nicht, ob $\begin{eqnarray*} \tilde X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde Y \end{eqnarray*}$ wirklich unabhängig sind. Wenn nicht, so stimmt diese Rechnung jedenfalls nicht.

16.06.2011, 17:34

Gast11022013

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Ich trau mich zwar fast schon nicht mehr, nachzufragen, aber:

Ist das (wenigstens ein bisschen) korrekt? verwirrt

verwirrt

16.06.2011, 17:41

René Gruber

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Zitat:

Original von Dennis2010
Ich würde sagen:

Die Dichte von $\begin{eqnarray*} \tilde X \end{eqnarray*}$ ist eben die Dichte von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , multipliziert mit $\begin{eqnarray*} (1-z) \end{eqnarray*}$ und die Dichte von $\begin{eqnarray*} \tilde Y \end{eqnarray*}$ ist die Dichte von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , multipliziert mit $\begin{eqnarray*} -z \end{eqnarray*}$

Ich würde sagen, du hast einfach überhaupt kein Glück beim Raten. Glück kann man eben nicht erzwingen, also solltest du besser rechnen statt raten: Für $\begin{eqnarray*} 0<z<1 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} F_{(1-z)X}(x) = P((1-z)X\leq x) = P\left( X \leq \frac{x}{1-z} \right) = F_X\left( \frac{x}{1-z} \right) \end{eqnarray*}$ ,

was für die Dichte dann gemäß Kettenregel

$\begin{eqnarray*} f_{(1-z)X}(x) = f_X\left( \frac{x}{1-z} \right)\cdot \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$

bedeutet.

Es hat schon seinen Grund, warum ich oben den Transformationssatz vorgeschlagen hat, denn der Weg hier ist auch nicht zum Nulltarif zu bekommen.

16.06.2011, 17:53

Gast11022013

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Ich würde diesen Hinweis ja auch sehr gerne befolgen und ich zweifle nicht daran, dass Du nichts Überflüssiges vorschlägst.

Es bleibt aber dabei, dass ich keinen Transformationssatz kenne und auch nicht direkt weiß, unter welchem Stichwort ich da konkret nachschauen kann.

Ich bleibe jetzt aber bei diesem Lösungsweg, der mir trotz allem irgendwie zugänglicher ist.

16.06.2011, 18:14

Gast11022013

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Also ich habe dann von Dir:

$\begin{eqnarray*} f_{\tilde X}(x)=f_X(\frac{x}{1-z})\cdot \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$

und (hoffentlich korrekt) berechnet:

$\begin{eqnarray*} f_{\tilde Y}(y)=f_Y(-\frac{y}{z})\cdot \frac{-1}{z} \end{eqnarray*}$

Dies könnte ich jetzt in die obige Formel einsetzen.

Damit ich das machen kann, müssen aber $\begin{eqnarray*} \tilde X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde Y \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen sein. Auch da hatte ich oben "geraten" und das ist dann vermutlich auch wieder falsch.

Wie zeige ich also, dass sie unabhängig sind?

Edit:

Ich lese gerade, dass zwei Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ dann unabhängig sind, wenn die Ereignisse $\begin{eqnarray*} \left\{X_1\leq x_1\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\{X_2\leq x_2\right\} \end{eqnarray*}$ unabhängig sind.

Übertragen auf diese Aufgabe, bedeutet das, dass

$\begin{eqnarray*} \left\{(1-z)\cdot X\leq x_1\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\{-z\cdot Y\leq x_2\right\} \end{eqnarray*}$ unabhängig sein müssen.

Aber das sind sie doch, da man ja umformen kann:

$\begin{eqnarray*} \left\{X\leq \frac{x_1}{1-z}\right\} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \left\{Y\leq \frac{x_2}{-z}\right\} \end{eqnarray*}$ und diese beiden Ereignisse sind ja unabhängig, da X und Y als unabhängige Zufallsvariabloen vorausgesetzt sind.

Korrekt?

Also sind $\begin{eqnarray*} \tilde X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde Y \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen und man kann in die Faltungsformel für unabhängige Zufallsvariablen die neu berechneten Dichten einsetzen und müsste dadurch die gesuchte Verteilungsdichte erhalten.

Korrekt oder wieder Blödsinn?

Wenn ich das einsetze, bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} f_{\tilde X+\tilde Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1-z}\alpha e^{-\alpha (\frac{t}{1-z})}\cdot (-\frac{1}{z})\alpha e^{-\alpha (-\frac{(z-t)}{z})} dt \end{eqnarray*}$

Dies ist mein Vorschlag.

16.06.2011, 18:57

Gast11022013

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So, dies ist nun mein Vorschlag und ich hoffe, es hagelt nicht wieder (berechtigte) Kritik.

geschockt

geschockt

16.06.2011, 19:24

René Gruber

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Zitat:

Original von Dennis2010
und (hoffentlich korrekt) berechnet:

$\begin{eqnarray*} f_{\tilde Y}(y)=f_Y(-\frac{y}{z})\cdot \frac{-1}{z} \end{eqnarray*}$

Eigentlich sollte es dir seltsam vorkommen, dass diese Dichte negativ ist? Sprich, das Vorzeichen ist falsch.

Zitat:

Original von Dennis2010
Damit ich das machen kann, müssen aber $\begin{eqnarray*} \tilde X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde Y \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen sein. Auch da hatte ich oben "geraten" und das ist dann vermutlich auch wieder falsch.

Irrtum: Das ist nun wieder richtig.

16.06.2011, 19:39

Gast11022013

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Zitat:

Original von René Gruber

Zitat:

Original von Dennis2010
und (hoffentlich korrekt) berechnet:

$\begin{eqnarray*} f_{\tilde Y}(y)=f_Y(-\frac{y}{z})\cdot \frac{-1}{z} \end{eqnarray*}$

Eigentlich sollte es dir seltsam vorkommen, dass diese Dichte negativ ist? Sprich, das Vorzeichen ist falsch.

Zitat:

Original von Dennis2010
Damit ich das machen kann, müssen aber $\begin{eqnarray*} \tilde X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde Y \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen sein. Auch da hatte ich oben "geraten" und das ist dann vermutlich auch wieder falsch.

Irrtum: Das ist nun wieder richtig.

Ich muss doch aber rechnen:

$\begin{eqnarray*} F_{-z\cdot Y}(y)=P(-z\cdot Y\leq y)=P(Y\leq \frac{y}{-z})=F_Y(-\frac{y}{z}) \end{eqnarray*}$

Und wenn man das mit der Kettenregel ableitet, kommt doch das raus, was ich hatte - oder nicht?

Und was die Unabhängigkeit angeht:

Mein Nachweis - den ich oben im Edit angefügt habe, ist der denn trotzdem korrekt?

16.06.2011, 19:47

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Umformung

$\begin{eqnarray*} P(-z\cdot Y\leq y)=P(Y\leq \frac{y}{-z}) \end{eqnarray*}$

ist für das hier betrachtete $\begin{eqnarray*} 0<z<1 \end{eqnarray*}$ falsch: Bei Division durch den negativen Wert $\begin{eqnarray*} (-z) \end{eqnarray*}$ kehrt sich das Relationszeichen um! Es ist also

$\begin{eqnarray*} P(-z\cdot Y\leq y) = P\left( Y\geq -\frac{y}{z}\right) = 1 - P\left( Y< -\frac{y}{z}\right) \end{eqnarray*}$ .

Die "normalen" Regeln zum Umformen von Ungleichungen behalten auch in der Stochastik ihre Gültigkeit.

16.06.2011, 20:00

Gast11022013

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Ohje, ohje. Ja, natürlich!

Hammer

Hammer

Man hat dann ja

$\begin{eqnarray*} 1-F_Y(-\frac{y}{z}) \end{eqnarray*}$ ist das nicht 1?

Weil die Verteilungsfunktion für Exponentialverteilungen für x-Werte kleiner 0 verschwindet?

Oder muss man dies nun einfach wieder nach der Kettenregel rechnen und hat dann die Dichte, die ich schon heraushatte - nur eben mit Vorzeichen Plus?

16.06.2011, 20:14

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} 1-F_Y(-\frac{y}{z}) \end{eqnarray*}$ ist das nicht 1?

Ja, aber nur für positive $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . So richtig interessant ist diese Wkt nur für negative $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

16.06.2011, 23:17

Gast11022013

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Wieso? Das habe ich nicht verstanden.

Jedenfalls ist

$\begin{eqnarray*} f_{\tilde Y}(y)=f_Y(-\frac{y}{z})\cdot \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ und das ist Null, wenn y>0. Also ist es nur "interessant", wenn y<0. War das so gemeint?
--------------

Letztlich erhalte ich dann für die gesuchte Verteilungsdichte:

$\begin{eqnarray*} f_{\tilde X+\tilde Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1-z}\alpha e^{-\alpha (\frac{t}{1-z})}\cdot \frac{1}{z} \alpha e^{-\alpha (-\frac{z-t}{z})} dt \end{eqnarray*}$ .

[Nochmal: Das Integral ist gleich Null, wenn y=z-t>0. Also sind interessant eigentlich nur die Fälle, in denen y=(z-t)<0 ist. Das war wohl damit oben gemeint, dass wirklich interessant nur ist, wenn y<0. Korrekt?]

Damit ist die Aufgabe hoffentlich gelöst und korrekt?

16.06.2011, 23:39

kommilitone

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Wenn $\begin{eqnarray*} Y\ge0 \end{eqnarray*}$ ist (ist der Fall wegen $\begin{eqnarray*} Y\sim\operatorname{Exp}(\alpha) \end{eqnarray*}$ ) dann ist $\begin{eqnarray*} -zY\le0 \end{eqnarray*}$ , also natürlich $\begin{eqnarray*} F_{-zY}(t)=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\ge 0 \end{eqnarray*}$ , Für $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ wird diese Verteilungsfunktion allerdings echt kleiner als 1.

17.06.2011, 00:04

Gast11022013

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Danke, habe das in meinem letzten Beitrag ergänzt.

Wenn mein letzter Beitrag jetzt ein "Okay" erhält, schließe ich diese Aufgabe ab.

17.06.2011, 08:30

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} f_{\tilde X+\tilde Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1-z}\alpha e^{-\alpha (\frac{t}{1-z})}\cdot \frac{1}{z} \alpha e^{-\alpha (-\frac{z-t}{z})} dt \end{eqnarray*}$ .

Zwei weitere Fehlerpunkte:

1) Das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist bereits "verbraucht" innerhalb von $\begin{eqnarray*} \tilde X+\tilde Y = (1-z)X-zY \end{eqnarray*}$ , da kannst du das nicht auch noch als Argument der nun zu berechnenden Dichte nehmen.

2) Wie du selbst festgestellt hast, gelten die genannten Dichteterme nicht auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , sondern bei $\begin{eqnarray*} \tilde X \end{eqnarray*}$ nur auf der positiven Halbachse, und bei $\begin{eqnarray*} \tilde Y \end{eqnarray*}$ nur auf der negativen Halbachse, andernfalls sind diese Dichten gleich Null. Das musst du natürlich in Rechnung stellen, wenn du die Integralgrenzen aufstellst, denn $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \end{eqnarray*}$ ist dann bei dem von dir hingeschriebenen Integranden ganz sicher falsch.

Start ist also

$\begin{eqnarray*} f_{\tilde{X}+\tilde{Y}}(u) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{\tilde{X}}(t) f_{\tilde{Y}}(u-t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ ,

wobei du benutzen kannst, dass du in Hinblick auf die letztendlich gewünschte Berechnung $\begin{eqnarray*} P(\tilde{X}+\tilde{Y} \leq 0) \end{eqnarray*}$ diese Dichte nur für negative Argumente brauchst, also $\begin{eqnarray*} u\leq 0 \end{eqnarray*}$ , das erleichtert die richtige Wahl der Integralgrenzen dann beim konkreten Einsetzen der obigen Einzeldichten.

17.06.2011, 12:23

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist der richtige Integrationsbereich von 0 bis unendlich?

Ich meine: Wenn nur $\begin{eqnarray*} u\leq 0 \end{eqnarray*}$ "relevant " ist und gelten muss, dass

1.) $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} u-t<0 \end{eqnarray*}$ ,

damit das Integral nicht Null ist,

komme ich auf $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq \infty \end{eqnarray*}$ .

Also, was ich meine, ist:

Also für $\begin{eqnarray*} u\leq 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_{\tilde X+\tilde Y}(u) \end{eqnarray*}$ dann das obige Integral mit den Integrationsgrenzen 0 bis unendlich.

Und für $\begin{eqnarray*} u>0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_{\tilde X+\tilde Y}(u)=0 \end{eqnarray*}$

korrekt?

17.06.2011, 13:06

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dennis2010
1.) $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} u-t<0 \end{eqnarray*}$

Dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} 1\leq t\leq \infty \end{eqnarray*}$ .

Ich nicht.

2) kann man ja umschreiben als $\begin{eqnarray*} t>u \end{eqnarray*}$ . Wenn nun aber u negativ ist, dann ist diese Bedingung automatisch schon durch 1) erfüllt. Zusammengefasst ergibt sich also $\begin{eqnarray*} 0<t<\infty \end{eqnarray*}$ .

17.06.2011, 13:16

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir das nochmal mit 1.) überlegt.

Muss es nicht eigentlich lauten:

1.) $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} u-t<0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} t>u (\leq 0) \end{eqnarray*}$

Und deswegen dann $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$

Aber warum $\begin{eqnarray*} t<\infty \end{eqnarray*}$

Kann mans dann so schreiben:

Die gesuchte Verteilungsdichte ist 0 für u größer 0.

Die gesuchte Verteilungsdichte ist obiges Integral mit Integralgrenzen $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b<\infty \end{eqnarray*}$

?

17.06.2011, 13:33

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dennis2010
Aber warum $\begin{eqnarray*} t<\infty \end{eqnarray*}$

Von mir aus integriere auch den Bereich $\begin{eqnarray*} t\geq \infty \end{eqnarray*}$ , das ist mir jetzt schon fast egal.

17.06.2011, 13:41

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Schade, aber ich kann's verstehen.

Also Integrationsgrenzen: $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

---------------------

Lösung:

Sei $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f_{\tilde X+\tilde Y}(u)=\int_a^{\infty} \frac{1}{1-z}\alpha e^{-\alpha \left(\frac{t}{1-z}\right)}\cdot \frac{1}{z}\alpha e^{-\alpha \left(-\frac{u-t}{z}\right)} dt \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} u\leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{\tilde X+\tilde Y}(u)=0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} u>0 \end{eqnarray*}$

---------------------

So, das war's nun hoffentlich!

Alles korrekt?

17.06.2011, 13:51

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Und woher kommt nun wieder dieses $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ?

Damit sich "der Thread nicht unnötig in die Länge zieht" (Zitat Ende):

$\begin{eqnarray*} f_{\tilde X+\tilde Y}(u) = \int\limits_{\max(0,u)}^{\infty} \frac{1}{1-z}\alpha e^{-\alpha \left(\frac{t}{1-z}\right)}\cdot \frac{1}{z}\alpha e^{\alpha \cdot \frac{u-t}{z}} ~ \dd t \end{eqnarray*}$

Im Fall $\begin{eqnarray*} u\leq 0 \end{eqnarray*}$ , und mehr brauchen wir im folgenden ja auch gar nicht, heißt das

$\begin{eqnarray*} f_{\tilde X+\tilde Y}(u) = \int\limits_{0}^{\infty} \frac{1}{1-z}\alpha e^{-\alpha \left(\frac{t}{1-z}\right)}\cdot \frac{1}{z}\alpha e^{\alpha \cdot \frac{u-t}{z}} ~ \dd t \end{eqnarray*}$ .

17.06.2011, 13:55

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, aber bitte noch zwei kleine Fragen/ Bemerkungen:

1.) 0 und unendlich hast du jetzt doch mit beachtet. Ich denke mal, weil es eine stetige Verteilung ist und es im Grunde egal ist, ob man einzelne Punkte mitbeachtet.

2.) Den Fall $\begin{eqnarray*} u>0 \end{eqnarray*}$ hast Du gar nicht genannt. Ich nehme an, weil dieser Fall eben für die konkrete Aufgabe nicht gebraucht wird.

----------------

So, jetzt möchte ich auch wirklich hier zu dieser Frage nichts mehr schreiben, ich hab's schon überstrapaziert.

Gott

Gott

17.06.2011, 14:05

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dennis2010
0 und unendlich hast du jetzt doch mit beachtet.

Wir können jetzt natürlich lang und breit über Integrale unterhalten, normale und uneigentliche, und wieso man zur Bestimmung eines solchen Integrals nur die Integrandenwerte für endliche Argumente und nicht etwa das Argument $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ braucht. Aber mir graut davor.

17.06.2011, 14:26

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ja auch nicht sein. Mir graut nämlich noch viel mehr davor.

Mich interessiert hier nur, ob nun $\begin{eqnarray*} <\infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ obere Integrationsgrenze ist - oder, ob's beides okay ist.

17.06.2011, 14:36

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Gib's zu, du bist von "Verstehen Sie Spaß" oder einer anderen Verarschungssendung, und willst hier die Leute mit immer absonderlicheren Fragen zur Weißglut treiben!

17.06.2011, 14:41

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, wenn das so wäre.

Nein, ich möchte hier niemanden "verarschen" oder "zur Weißglut bringen".

Ich habe "nur" gehörige Probleme mit den mir gestellten Aufgaben.

Ich finde es auch nicht gut, wie Du darauf reagierst.
Klar, Deine Hilfe ist äußerst gut und kompetent, daran ist nichts zu rütteln.

Aber den Ton finde ich desöfteren nicht so gut. Immerhin stelle ich (inhaltlich anscheinend blöde, aber normal und relativ höflich formulierte) mathematische Fragen, wie es hier vorgesehen ist.

Klar erscheinen die einem Mathematik-Profi banal oder sogar sehr blöd. Ich bin mir dessen schon bewusst.

----------------------

Deiner Reaktion nach und den vorherigen Antworten ist es wohl egal, ob man als obere Integrationsgrenze einen Wert kleiner Unendlich oder Unendlich selbst nimmt.

17.06.2011, 14:45

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, dass du jede Menge haarsträubender Lücken im Bereich der Schulmathematik hast. In den letzten Beiträgen betrifft das die Frage uneigentlicher Integrale.

Und das dir mein Ton nicht gefällt, glaube ich gern. Ich werde mich deshalb zusammenreißen, und einfach nicht mehr in deinen Threads antworten, denn das endet ja doch nur in Tränen.

17.06.2011, 14:53

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß eigentlich, was uneigentliche Integrale sind.

Man kann als obere Integrationsgrenze zum Beispiel statt Unendlich b schreiben, dann ganz normal die Stammfunktion ermitteln und dann die obere Grenze gegen Unendliche laufen lassen.

Ich sehe aber nicht, wieso mann dann einfach als obere Integrationsgrenze $\begin{eqnarray*} b<\infty \end{eqnarray*}$ schreiben kann, muss man dann nicht wenigstens irgendwie $\begin{eqnarray*} lim_{b\to \infty} \end{eqnarray*}$ davor schreiben?

Meintest Du das?

17.06.2011, 14:58

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dennis2010
Ich sehe aber nicht, wieso mann dann einfach als obere Integrationsgrenze $\begin{eqnarray*} b<\infty \end{eqnarray*}$ schreiben kann

Wer ist "mann"? Ich habe das nie geschrieben, du hast mir das lediglich unterstellt. böse

böse

Und jetzt reicht's endgültig.

17.06.2011, 15:01

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch geschrieben: $\begin{eqnarray*} 0<t<\infty \end{eqnarray*}$ .

Und ich verstehe nicht, wieso $\begin{eqnarray*} t<\infty \end{eqnarray*}$ .

So kam ich darauf.

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