Beweise zu Ableitungsfunktionen

25.06.2004, 13:16

Mathespezialschüler

Beweise zu Ableitungsfunktionen

Hi,

ich bin grad mal wieder dabei, ein paar Ableitungen zu beweisen. Und zwar Exponential- und Logarithmusfunktionen:

Ableitung von

$\begin{align*} a^x \end{align*}$ und $\begin{align*} log_a(x) \end{align*}$

hab ich mithilfe der Ableitungen von

$\begin{align*} e^x \end{align*}$ und $\begin{align*} ln(x) \end{align*}$

bewiesen. Nur diese beiden Ableitungen selbst habe ich noch nicht bewiesen.

1. Zu e^x:

$\begin{align*} f(x)\ =\ e^x \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow\ f'(x)\ =\ \lim_{h \to 0}\ \frac{e^{x+h}\ -\ e^x}{h} \end{align*}$

$\begin{align*} \ =\ \lim_{h \to 0}\ \frac{e^x\ \cdot\ e^h\ -\ e^x}{h} \end{align*}$

$\begin{align*} \ =\ \lim_{h \to 0}\ \frac{e^x\ \cdot\ (e^h\ -\ 1)}{h} \end{align*}$

$\begin{align*} \ =\ e^x\ \cdot\ \lim_{h \to 0}\ \frac{(e^h\ -\ 1)}{h} \end{align*}$

Wie bestimme ich den Grenzwert?? Er muss ja 1 sein, sonst wäre die Ableitung ja nich e^x. Wenn ich mir die beiden Funktionsgraphen (also Zähler- und Nennerfunktion) so angucke, dann sieht man das auch, dass der Grenzwert 1 ist. Aber wie kann ich das analytisch beweisen/begründen.

2. Zu ln(x):

$\begin{align*} f(x)\ =\ ln(x) \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow\ f'(x)\ =\ \lim_{h \to 0}\ \frac{ln(x+h)\ -\ ln(x)}{h} \end{align*}$

$\begin{align*} \ =\ \lim_{h \to 0}\ \frac{ln(\frac{x+h}{x})}{h} \end{align*}$

$\begin{align*} \ =\ \lim_{h \to 0}\ \frac{ln(1\ +\ \frac{h}{x})}{h} \end{align*}$

Bringt mich diese Vereinfachung weiter? Wenn ja, wie?
Wenn nein, wie kann ich

$\begin{align*} \lim_{h \to 0}\ \frac{ln(x+h)\ -\ ln(x)}{h} \end{align*}$

überhaupt vereinfachen??

Und dann noch ne andere Frage:

3. Wie beweise ich denn die Ableitungen für arcsin, arccos, arctan, denn ich kenne keine Formeln zum Umformen von Summen für diese Funktionen.

Danke für die Antworten! :]

25.06.2004, 13:42

Philipp-ER

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Zu 1: Es gibt den großartigen Satz:
Bei festem a>0 konvergiert
$\begin{eqnarray*} \frac{a^{x_n}-1}{x_n} \to\ln a \mbox{ falls }x_n\to 0 \mbox{ strebt und alle } x_n \neq 0 \mbox{ sind.} \end{eqnarray*}$

Bei 2 und 3 hilft die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion:
$\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \end{eqnarray*}$
Damit erhältst du die Ableitungen.

25.06.2004, 13:49

Mathespezialschüler

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Danke!! :] Dann brauch ich ja für a^x nicht mal die Ableitung von e^x und ln(x).

Gibts denn auch einen für mich verständlichen Beweis für diesen großartigen Satz bzw. kann ich ihn mit meinen Mitteln beweisen??

Zu 2 und 3:
Die Regel für die Ableitung mit der Umkehrfunktion habe ich auch schon öfters gesehen und mich dann gefragt, wie ich darauf komme, aber bis jetzt noch keine Antwort gefunden. verwirrt

25.06.2004, 14:04

Philipp-ER

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Naja, ich habe hier einen "richtigen" Beweis für die Ableitungsregel der Umkehrfunktion, aber der ist vielleicht unnötig formal, vielleicht reicht dir folgendes:
Nach Definition der Umkehrfunktion gilt:
$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(x))=x \end{eqnarray*}$
Ableiten mit der Kettenregel:
$\begin{eqnarray*} f'(f^{-1}(x))\cdot (f^{-1})'(x)=1 \end{eqnarray*}$
Auflösen nach der gesuchten Ableitung liefert den Satz.

Zum anderen Satz:
Ich nehme mal an, du kennst die Definition von e über
$\begin{eqnarray*} e:=\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$
Daraus folgt durch einiges hantieren, das nicht ganz einfach ist und das ich dir lieber erspare, der Satz:
$\begin{eqnarray*} \mbox{Ist }(x_n) \mbox{ eine Nullfolge, deren Glieder alle } \neq 0 \mbox{ und }>-1 \mbox{ sind, so strebt } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1+x_n)^{1/x_n}\to e \end{eqnarray*}$
Mir scheint, als wollest du selbst auf den Beweis kommen.
Logarithmiere deshalb erstmal die Aussage dieses letzten Satzes, um einen dazu äquivalenten Satz zu bekommen.

Beim Beweis des "großartigen" Satzes ist a=1 trivial, deshalb wählt man $\begin{eqnarray*} a \neq 1 \end{eqnarray*}$
Forme die zu beweisende Aussage so um, dass du den Satz, den du durch logarithmieren aus dem von vorhin erhalten hast (man muss dazu dann eine neue Folge definieren, die die Forderungen aus dem 1. Satz erfüllt) anwenden kannst, damit folgt dann die Behauptung.

Edit: Kann es sein, dass im LaTeX-Modus ein Problem mit < und > gibt? Bei mir wird alles verschluckt, wenn ich das benutze.

25.06.2004, 14:45

MatheBlaster

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@Philipp: Problem gelöst, danke für den Hinweis.

25.06.2004, 15:30

Mathespezialschüler

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Zitat:

Daraus folgt durch einiges hantieren, das nicht ganz einfach ist und das ich dir lieber erspare der Satz:

Ich würds gern sehen, obwohl ich auch schon nen Anstatz habe:
Die Nullfolge ist $\begin{align*} (\frac{1}{n})\ =\ (n^{-1})\ =\ (x_n) \end{align*}$ .

Dann ist

$\begin{align*} (n)\ =\ (\frac{1}{n^{-1}})\ =\ (\frac{1}{x_n}) \end{align*}$

Das sieht mir eher nicht nach

Zitat:

einiges hantieren, das nicht ganz einfach

aus. Wie meinst du es denn?

Zitat:

Beim Beweis des "großartigen" Satzes ist a=1 trivial

Ich möcht jetzt mal genau wissen, was man (vor allem Mathematiker) unter "trivial" versteht!? verwirrt

25.06.2004, 15:35

Mazze

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Trivial ist im allgemeinen entweder als einfach anzusehen oder es wird in verbindung mit der 0 gebracht.

zum beispiel die Gleichung

5 x = 0

besitzt nur die "triviale" Lösung 0.

Also ich verbinde mit trivial prinzipiell das etwas direkt aus einer Behauptung folgt, bzw. recht einfach ist

x > 0 => x > -1 (trivial)

25.06.2004, 15:42

Philipp-ER

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Danke MatheBlaster, jetzt geht's.
@MSS:
Jetzt hast du gezeigt, dass der allgemeinere Satz für den Sonderfall $\begin{eqnarray*} x_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
gilt. Er besagt aber gerade, dass es für jede beliebige Nullfolge gilt, also dass zum Beispiel auch
$\begin{eqnarray*} (1+\frac{\sin n}{n})^{n/(\sin n)}\to e \end{eqnarray*}$
gilt.
Es ist mir ehrlich gesagt im Moment zu aufwendig, den Beweis dafür abzutippen, der ist hier immerhin eine DinA4 Seite lang und braucht wiederum einen anderen Satz. Anschaulich sollte es doch einigermaßen klar sein.
Bist du denn mit dem Rest zurecht gekommen? Wenn du den Beweis für den Ausgangssatz einfach wissen willst, also ohne selbst darauf zu kommen, kann ich den schnell abtippen.

Trivial bedeutet einfach, dass es sofort klar ist und zum Beispiel einfach durch direktes Nachrechnen bestätigt werden kann oder sowieso offensichtlich ist.
Für a=1 ergibt sich hier ja die Gleichung (1^(x_n)_1)/(x_n)=ln(1) und das ist eben trivialerweise richtig.

25.06.2004, 15:47

Mathespezialschüler

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Also leider fahr ich morgen in Urlaub und deswegen hab ich nich so viel Zeit. Das mit der Umkehrfunktion is klar. Aber den "großartigen" Satz, da würde ich den Beweis gerne haben, dass ich ihn mir vielleicht in den nächsten zwei Wochen mal angucken kann. Augenzwinkern

25.06.2004, 15:49

Mazze

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Philipp, unter welchem namen läuft dieser Satz? wenn du es weißt kann er sich doch eventuel den entsprechenden beweis online suchen.

Mich interessierts auch da ich den Satz auch noch nich hatte Augenzwinkern

25.06.2004, 15:49

Leopold

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Wenn man daran glaubt, daß mit einer Funktion auch deren Umkehrfunktion differenzierbar ist (Ausnahme: Nullstellen der Ableitung), dann ist der Beweis mit der Kettenregel voll gültig.

25.06.2004, 16:01

Philipp-ER

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Gut, also wir setzen voraus:
$\begin{eqnarray*} (1+x_n)^{1/x_n}\to e \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} x_n \to 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n>-1 \end{eqnarray*}$ .
(die Bedingung an die Folge schreibe ich nicht immer mit hin).
Durch Logarithmieren folgt (wegen der Stetigkeit der Logarithmusfunktion, die dir hoffentlich bekannt ist)
$\begin{eqnarray*} \ln((1+x_n)^{1/x_n})\to 1 \end{eqnarray*}$
(beachte ln(e)=1)
und hier jetzt mit den Logarithmengesetzen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\ln(1+x_n)}{x_n}\to 1 \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist ja der Satz:
Bei festem a>0 konvergiert
$\begin{eqnarray*} \frac{a^{x_n}-1}{x_n} \to\ln a \mbox{ falls }x_n\to 0 \mbox{ strebt und alle } x_n \neq 0 \mbox{ sind.} \end{eqnarray*}$

Wir wählen wie gesagt $\begin{eqnarray*} a\neq 1 \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} a^x=e^{x\ln a}>0 \mbox{ und } \neq 1 \end{eqnarray*}$ , also für alle n
$\begin{eqnarray*} y_n:=a^{x_n}-1>-1 \mbox{ und } \neq 0\mbox{, ferne strebt }y_n\to 0 \end{eqnarray*}$
(das alles gilt, weil x_n ja !=0 und eine Nullfolge ist, wie in dem zu beweisenden Satz gefordert).
y_n ist damit genau so eine Folge, wie im Ausgangssatz gefordert, es gilt also
$\begin{eqnarray*} \frac{\ln(1+y_n)}{y_n}\to 1 \end{eqnarray*}$
und das kann man jetzt für den Beweis des zu zeigenden Satzes verwenden. Es gilt (immer Definition von y_n im Auge behalten):
$\begin{eqnarray*} \frac{a^{x_n}-1}{x_n}=\frac{y_n}{\ln(1+y_n)}\cdot \ln a \to \frac{1}{1}\cdot \ln a=\ln a \end{eqnarray*}$
Dort, wo das 1/1 erscheint, wurde der Hilfssatz verwendet. Außerdem gilt ja log_a (z)=ln(z)/ln(a), deshalb erscheint dort das ln(a) (löse nämlich mal die Definition von y_n nach x_n auf, da erscheint gerade das).
So, das war's dann mal, ich hoffe, alles ist klar.
Ciao

25.06.2004, 16:21

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Leopold
Wenn man daran glaubt, daß mit einer Funktion auch deren Umkehrfunktion differenzierbar ist (Ausnahme: Nullstellen der Ableitung), dann ist der Beweis mit der Kettenregel voll gültig.

Das "wenn man glaubt", hört sich ja schon wieder so an, als wäre es nicht immer so :P

@Philipp
mit Stetigkeit habe ich mich noch nich beschäftigt. Das, was ich da bis jetzt in meinem ABITUR WISSEN gefunden habe, ist mir sowohl zu trocken und theoretisch, als auch zu hoch.
Wenn ich mir da einfach hintereinander irgendwelche Definitionen und Sätze durchlese, die ziemlich unverständlich dargestellt sind (zumindest für jemanden, der das Thema noch nich kennt), dann hänge ich da voll in den Seilen. Das is ja ähnlich beim Grenzwert. Das grobe verstehe ich ja, aber so wie es in diesem Buch erklärt wird, versteh ich nur Bahnhof und ein gutes Buch hab ich noch nich gefunden, wahrscheinlich aber auch zu wenig gesucht.
Für die Differenzierbarkeit von Funktionen wäre es aber eigentlich dringend mal nötig, ein Wort über Stetigkeit sagen zu können. traurig

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