Gebietsintegral mit Kugelkoordinaten

16.06.2011, 12:58

sleeper

Gebietsintegral mit Kugelkoordinaten

Meine Frage:
Hallo! Ich habe die Aufgabe das Voumen dieses Körpers auszurechnen:
$\begin{eqnarray*} K = \left\{ \left(x,y,z\right)\in \mathbb R^{3}|x^2+y^2+z^2\leq 4, x^2+y^2\leq z^2 \right\} \end{eqnarray*}$
Einmal in Kugelkoordinaten und einmal in Zylinderkoordinaten. Ich schaffe es aber nicht anständig die Integrationsgrenzen zu formulieren. Kann mir jemand verraten wie man das macht?
(Das Ergebnis soll laut Lösungshilfe $\begin{eqnarray*} \frac{32\pi }{3} \left(1-\frac{1}{\sqrt{2} } \right) \end{eqnarray*}$ sein)

Meine Ideen:
Meine Transformation in Kugelkoordinaten sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} x=r\cos(\phi) \sin(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=r\sin(\phi) \sin(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=r\cos(\theta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<\theta<\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq \phi<2\pi \end{eqnarray*}$
Mit der Funktionaldeterminante: $\begin{eqnarray*} det(...)=r^2sin(\theta) \end{eqnarray*}$
Entsprechend sehen dann meine Bedingungen nach dem Einsetzen und Umformen so aus:
Die erste: $\begin{eqnarray*} r^2\leq 4 \end{eqnarray*}$
Die zweite: $\begin{eqnarray*} sin^2(\theta)\leq cos^2(\theta) \end{eqnarray*}$
Aus der ersten Bedingung entnehme ich $\begin{eqnarray*} r\leq 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$
Aus der zweiten Bedingung entnehme ich $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4}\leq \theta\leq \frac{3\pi }{4} \end{eqnarray*}$
Dann ist mein Integral: $\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{2\pi }{1} \int_\frac{\pi}{4}^\frac{3\pi }{4}\int_0^2 \! r^2sin(\theta) \, dr \! \, d\theta \! \, d\phi \end{eqnarray*}$
Das Ergebnis mit $\begin{eqnarray*} \frac{8\sqrt{2} }{3} \end{eqnarray*}$ passt einfach überhaupt nicht... Ich vermute stark, dass meine Grenzen völlig falsch gewählt sind. Bitte um Hilfe! Danke

16.06.2011, 15:04

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst deinen Körper in 2 Teile zerlegen: Kegel+Kugelkalotte.
Guck' mal unter WIKIPEDIA. Da ist 'ne Abbildung einer Kugelkalotte.

16.06.2011, 19:15

sleeper

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, selbstverständlich kann ich das Big Laugh

Das ist aber nicht gefragt. Das Ziel ist es ja, aus den Rahmenbedingungen die Grenzen der Integrale zu erhalten und somit ein einfaches Dreifachintegral zu lösen. Bei vorherigen Körpern ging alles wunderbar auf und hier kriege ich langsam die Krise...

17.06.2011, 02:27

sleeper

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat denn keiner einen Tipp? Oder ist meine Frage schlecht formuliert? Wäre für jeden Denkanstoß dankbar!

17.06.2011, 03:55

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn von

Zitat:

Die zweite: $\begin{eqnarray*} sin^2(\theta)\leq cos^2(\theta) \end{eqnarray*}$

auf

Zitat:

Aus der zweiten Bedingung entnehme ich $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4}\leq \theta\leq \frac{3\pi }{4} \end{eqnarray*}$

17.06.2011, 12:15

sleeper

Auf diesen Beitrag antworten »

oh... da wäre schon der erste fehler^^ es heißt natürlich
$\begin{eqnarray*} 0<\theta\leq\frac{\pi}{4} \vee \frac{3\pi}{4}\leq\theta<\pi \end{eqnarray*}$
Also habe da auf beiden Seiten cos^2(x) addiert. Dann steht links ne 1 und rechts 2*cos^2(x). Dann geht die Umformung entsprechend weiter. Habe mich da halt schon verschrieben^^
Und ich habe gerade nachgerechnet: Das Ergebnis von dem Integral was ich jetzt habe weicht nur noch um den Faktor 2 von der Musterlösung ab.... Hammer

Und noch etwas: wenn ich r statt von 0 nach 2, von -2 bis 2 integriere, kommt das richtige ergebnis raus, aber ich verstehe nicht warum! die kugelkoordinatentransformation sagt doch, dass r>0 sein soll. Dann fällt doch die Lösung r>=-2 aus der ersten bedingung weg oder?

17.06.2011, 17:37

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Nene, man darf schon nicht einfach das r misshandeln, wenn's nicht stimmt. Mit $\begin{eqnarray*} r\ge 0 \end{eqnarray*}$ hast du schon recht.

Ich glaube aber, dass du dich verrechnet hast, denn Wolframalpha kommt auf das Resultat deiner Musterlösung.

18.06.2011, 01:35

sleeper

Auf diesen Beitrag antworten »

also das mit dem r wähle ich ja nicht beliebig. aus der 1. bedingung erhalte ich ja r^2<=4. Da erhält man ja als lösung -2<=r<=2. ich habe halt zuerst die -2 als lösung weggelassen, weil r ja laut koordinatentransformation echt größer als 0 sein soll. und bei wolfram alpha habe ich es auch rechnen lassen^^ die sache ist nur, dass ich das nette programm in der klausur wahrscheinlich nicht haben werde:P
ich frage mich auch warum so wenige schreiben. habe ich schlecht formuliert wo mein problem ist oder sind hier nicht so viele unterwegs? oder gar falsches forum? bin hier nämlich neu...

18.06.2011, 11:55

sleeper

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gonnabphd
Ich glaube aber, dass du dich verrechnet hast, denn Wolframalpha kommt auf das Resultat deiner Musterlösung.

was genau hast du denn bei wolfram alpha eingegeben?

19.06.2011, 21:34

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

ich frage mich auch warum so wenige schreiben. habe ich schlecht formuliert wo mein problem ist oder sind hier nicht so viele unterwegs? oder gar falsches forum? bin hier nämlich neu...

Weiss auch nicht so genau. Vielleicht ist nicht so viel los, weil viele sich selbst gerade auf die Prüfungen vorbereiten oder Ferien haben. Deine Frage ist jedenfalls klar gestellt, Ideen auch vorhanden. Daran liegt's mal sicher nicht. Freude

Eigentlich gehört das Thema ja in die Analysis - dort bekommt man für gewöhnlich sicher schneller Antworten als unter 'sonstiges'. (Hab das jetzt mal dahin verschoben)

Zur Aufgabe:
Ich weiss jetzt nicht so genau, was du falsch gemacht hast - wahrscheinlich einfach verrechnet...

Ich zeig dir mal die erste Hälfte:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{2\pi }{1} \int_0^\frac{\pi }{4}\int_0^2 \! r^2sin(\theta) \, dr \! \, d\theta \! \, d\phi &=& \int_0^\frac{2\pi }{1} \int_0^\frac{\pi }{4}\!\frac83 sin(\theta) \, dr \! \, d\theta \! \, d\phi \\ &=& \int_0^{2\pi} \frac83\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \, d\phi \\ &=& \frac{16 \pi}3 \left(1-\frac1{\sqrt{2}}\right) \end{eqnarray*}$

Gruss Wink

20.06.2011, 00:05

sleeper

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Jetzt weiß ich wo mein Fehler war! Natürlich kommt da noch der Faktor 2 vor, aufgrund der Symmetrie, dann kommt das genau mit der Musterlösung hin! Jedenfalls geht es mit Zylinderkoordinaten etwas einfacher, wie ich finde!

20.06.2011, 05:50

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem.

Zitat:

Jedenfalls geht es mit Zylinderkoordinaten etwas einfacher, wie ich finde!

Würde ich auch sagen.

Wink

Neue Frage »

Antworten »

Gebietsintegral mit Kugelkoordinaten

Verwandte Themen