Eigenwerte einer orthogonalen Matrix

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ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte einer orthogonalen Matrix
Hallo,

ich bin mir noch unsicher bei folgender Aufgabe:

Zitat:

Sei K ein Körper, , eine Matrix mit und ein Eigenwert von P.
Zeigen Sie: für gilt .
Hinweis: Betrachten Sie


Das Problem ist jetzt, dass wir noch nicht beim Thema Skalarprodukte sind, und diese demnach auch noch nicht benutzen dürfen.

Deshalb habe ich es so versucht:

Sei also ein Eigenwert von P mit zugehörigem Eigenvektor .
Dann gilt











und damit wäre dann klar, dass , weil sein muss, da invertierbar ist nach Voraussetzung.

Habe ich diese Aufgabe so richtig gelöst, oder ist hier vielleicht noch ein Fehler drin?

danke schonmal im voraus.
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

edit: hat sich mit dem 2. Post erledigt!
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die antwort, aber würde ich dabei dann nicht benutzen, dass x dann auch ein Eigenvektor von zum Eigenwert a ist?

bisher weiß ich nur, dass und die gleichen Eigenwerte haben, aber müssen sie somit auch die gleichen Eigenvektoren zu jedem Eigenwert haben?

Ich hatte versucht, genau dies in meinem Beweis zu umgehen, indem ich die gesamte Gleichung transponiert habe.
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ja du transponierst sowohl links als auch rechts. Da hast du natürlich recht! Sry!
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, danke, damit wäre die Aufgabe gelöst smile
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