Maximales Dreieck im Kreis |
| 25.06.2004, 13:33 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| Maximales Dreieck im Kreis Wie sind die Punkte A, B, C auf einem Kreis zu wählen, sodass der Flächeninhalt des Dreiecks ABC am größten wird? Also mit Ableitungen ist da eher wenig, weil ich keine Nebenfunktioen finde. Deswegen habe ichs erstmal in Geometrie gestellt. Wenn jemand eine analytische Lösung hat, ist auch sehr erwünscht. Zu meinem Ansatz: Am logischsten wäre ein gleichseitiges Dreieck. Dann habe ich mir folgendes überlegt: Man zeichne eine Sehne mit den Endpunkten AB. Diese ist als eine Seite eines Dreiecks zu betrachten. Der dritte Punkt C liegt auf dem Kreis. Die Sehne AB ist vorerst fest gegeben. Dann ist der Flächeninhalt dann am größten, wenn die Höhe maximal wird. Dies ist der Fall, wenn AC=BC und wenn der Kreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks liegt. Nun hat man das flächengrößte Dreieck für die Grundseite AB. Man wiederholt diesen Vorgang, allerdings wird nun ein Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks als feste Grundseite angenommen. Wieder ist das Dreieck mit maximaler Fläche mit dieser festen Grundseite gleichschenklig. Nun wiederholt man diesen Vorgang wieder mit einem Schenkel des eben entstandenen Dreiecks. Dann wiederholt man ihn wieder. usw. Wenn man diesen Vorgang unendlich oft wiederholt, geht das ganze gegen ein gleichseitiges Dreieck. Das wär mein Ansatz. Allerdings reicht mir das noch nich so ganz. Kann man das vielleicht mit lim noch genauer bzw. mathematisch korrekter machen?? Hat jemand noch ne andere Idee?? Danke für eure Antworten! 
|
||||||||||||
| 25.06.2004, 14:59 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Betrachte ein dem Kreis einbeschriebenes Dreieck, welches nicht gleichschenklig ist. a sei eine seiner Seiten. Jetzt errichte über dieser Seite das gleichschenklige Dreieck mit Spitze auf dem Kreis. Dieses gleichschenklige Dreieck hat dieselbe Grundseite wie das ursprüngliche, aber eine größere Höhe und damit einen größeren Flächeninhalt. Zu jedem nicht-gleichschenkligen Dreieck gibt es also ein gleichschenkliges mit größerem Flächeninhalt. Der maximale Inhalt wird also bei einem gleichschenkligen Dreieck angenommen. Betrachte also nun ein gleichschenkliges, aber nicht gleichseitiges Dreieck. a sei einer der Schenkel. Du kannst wie eben über a ein gleichschenkliges Dreieck mit größerem Flächeninhalt errichten. Das dem Kreis einbeschriebene Dreieck mit größtmöglichem Flächeninhalt ist also das gleichseitige. |
||||||||||||
| 25.06.2004, 15:09 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Maximales Dreieck im Kreis
Das reicht noch nicht ganz ist richtig, ist ein ähnliches Problem wie das was an anderer Stelle nun schon 2x vorhanden ist ... ... obwohl ich ja denke es müsste doch reichen, mal unterstellt es ist strenge Monotonie gezeigt für alle Dreiecke ungleich dem gleichschenkligen. Im Prinzip hast du das eigentlich schon ausgeführt. Nun fehlt nur noch die Existenz einer oberen Schranke und der 'Beweis', dass anderes als gleichschenklig wegfällt und das ist eigentlich auch schon vollbracht wenn auch nicht 'ganz formal' 
|
||||||||||||
| 25.06.2004, 15:10 | alpha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Gern geschehen
Aber nun zur Aufgabe: Wie du schon ganz recht festgestellt hast, muss es ein gleichschenkliges Dreieck sein. Da nicht festgelegt ist, von welcher Seite aus dies gilt, muss es von allen Seiten gelten und wir erhalten ein gleichseitiges Dreieck. Aber ich denke du möchtest einen anderen Weg haben. Bitte: Nach dem du das Dreieck auf ein gleichschenkliges begrentzt hast können wir nun auch in die Analysis gehen: Die Funktion eines Kreises ist sqrt(r^2-x^2). Nun suchen wir auf dem Kreis einen Punkt mit der folgenden Eigenschaft: (x+r)*sqrt(r^2-x^2) soll maximal sein. Deshalb bilden wir von dieser Funktion die Ableitung: sqrt(r^2-x^2)-x*(x+r)/sqrt(r^2-x^2) Und rechnen die Nullstelle aus und erhalten die Lösungen x=r/2 und x=-r. Da wir ein Dreieck mit maximalem Flächeninhalt suchen können wir x=-r getrost fallen lassen und erhalten die Lösung, dass die Höhe des Dreiecks 3/4 mal dem Umkreisradius sein muss. Das erfüllt nur ein gleichseitiges Dreieck und damit hätten wir deine Lösung bestätigt. Wenn dir ein Schritt nicht klar ist, frag einfach nach... |
||||||||||||
| 25.06.2004, 16:52 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Dann frag ich nach:
Wie kommst du darauf, dass du die Grundseite ausdrücken kannst als (x+r) mit der dazugehörigen Höhe sqrt(r^2-x^2) ??? PS: Wurzeln ableiten ist oft beschwerlich. Wenn es sich nur um positive x-Werte handelt, dann kannst du auch quadrieren und dann ableiten! PS Nr.2 (*g*): Ich denke, dass du das eigentlich weißt, aber ich möchts nochmal klar stellen: Der Kreis ist keine Funktion! Allen x-Werte mit x<r werden zwei y-Werte zugeordnet!! Daraus folgt, der Kreis ist keine Funktion! |
||||||||||||
| 25.06.2004, 17:30 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
@Mathespezialschüler, was hast'n hier für 'ne Blockade :-oo Die Formel ist für's gleichschenkliges Dreieck mit Höhe 'x + Radius' und der Grundlinie AB = 2 * (sqrt(Radius² - x²). {Pythagoras im Dreieck A AB_mitte M}
|
||||||||||||
| Anzeige | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
| 25.06.2004, 17:57 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das habe ich mich vorhin auch gefragt und jetzt frag ichs mich noch mehr. *schäm* :P edit:
Das geht doch jetzt aber wirklich nich. Dann wäre die Höhe ja kürzer als der Radius! Dann läge der Umkreismittelpunkt nichtmal im Dreieck. Der erhaltene x-Wert war doch x=r/2 und die Höhe war h=x+r=r/2+r=(3/2)*r. Sagt mir bitte bloß nicht, dass ich mich schon wieder blamiert hab 
:P |
||||||||||||
| 25.06.2004, 19:52 | alpha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das triffts so ziemlich auf den Kopf, auch wenns nicht nett klingt... Ich hab ein wenig vereinfacht, was die Lösung aber nicht verändert und du machst so nen Terz...
Die wirkliche "Funktion" für den Kreis ist: (f(x))^2=r^2-x^2, aber da wir nur einen Halbkreis brauchen, kann man das getrost zu f(x)=sqrt(r^2-x^2) umändern.
Ist von mir aus beschwerlich, aber was willst du mir damit sagen? Ich hab dir die Ableitung ja schon "vor die Füße geworfen".
Sorry, ich hab einfach das falsche Wort benutzt :P Es soll Umkreisdurchschnitt sein, also 2*Radius...
Poff hat das ja schon ganz gut erklärt, ich liefere dazu nochmal die Zeichnung... (Wobei ich mich halt nur auf die eine Hälfte des Dreiecks beziehe. |
||||||||||||
| 25.06.2004, 20:09 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das sollte nur ein Tipp sein. Wer weiß, was du mal für Wurzelfunktionen siehst, die du ableiten sollst und wenn du dann ainfach quadrieren darfst, dann erleichtert das sehr oft.
Du meinst wohl Umkreisdurchmesser.
Ich hab auch manchmal solche Aussetzer, dass mir das Wort nich einfallen will. (Manchmal sogar den gleichen, da denke ich dann "ne, das kann nich durchschnitt heißen, aber wie sonst" und dann fällt mir irgendwann auch noch der Durchmesser ein.)
War ja auch schon verständlich wie Poff es erklärt hat, aber du musst dir das Bild um 90° gedreht vorstellen! So war es in meinem Kopf. Und dann wäre y ja die Höhe gewesen. :P @alpha PS: Wenn die Probezeit für Euklid abgelaufen ist, was machst du dann bzw. was hast du gemacht? Lizenz gekauft? |
||||||||||||
| 25.06.2004, 20:36 | alpha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Frech wie ich bin, bin ich zur Schule gelaufen und habe denen gesagt, dass mich Euklid mathematisch sehr fördert und hab verlangt, dass sie mir eine Lizenz abtreten... Haben die dann auch gleich gemacht. (Wer sind denn die?- Die gelben Engel!; Ne sorry, leider net
) |
||||||||||||
| 25.06.2004, 20:57 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wie teuer ist denn diese Lizenz?? |
||||||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
| Die Neuesten » |
|
