Beweis zu einer surjektiven Abbildung

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17.06.2011, 12:04	gadreel	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zu einer surjektiven Abbildung Es seien K ein Körper, V und W endlich-erzeugte Vektorräume über K und $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ : V -> W eine K-lineare Abbildung. Sind b1 und b2 in V und ist (b1 , b2 ) linear unabhängig und $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ surjektiv, dann ist ( $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ (b1 ), $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ (b2 )) linear unabhängig. Kann mir jemand bitte einen Tip geben, wie man das beweist? Ich hab das über einen WIderspruch versucht, also dass ( $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ (b1 ), $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ (b2 )) linear abhängig ist, kam dann aber nicht weiter.
17.06.2011, 12:47	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfe doch bitte einmal die Aufgabenstellung, die Aussage sieht für mich falsch aus (bzw. so wie sie da steht ist sie falsch).
17.06.2011, 12:50	Cosinuspihalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu einer surjektiven Abbildung wenn du genauer aufschreibst, woran du hängen bleibst, dann kann man besser beim verstehen helfen. ich find den ansatz gut. würde meinen beweis auch so machen. schau dir nochmal die definition von linearen abbildungen an und das kriterium für lineare abängigkeit. stichwort: skalare multiplikation.
17.06.2011, 13:08	Cosinuspihalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu einer surjektiven Abbildung kein edit nach 15 min mehr möglich? gnaa... Iorek hat wohl recht. mit surjektivität und projektionen kann man recht schnell gegenbeispiele finden.
17.06.2011, 13:09	gadreel	Auf diesen Beitrag antworten »
ah sorry, ich hab mich verkuckt, die MC aufgabe ist in er tat falsch. ich probiers später noch mal aus, muss noch kurz im garten arbeiten! ;-)
17.06.2011, 14:02	gadreel	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mein Ansatz war: Sei ( $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ (b1), $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ (b2)) linear unabhängig. -> $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ (b1)= $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ (ab1) <-> $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ (b1)=a $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ (b1) Dann weis ich nicht mehr, was ich mit surjektivität argumentieren könnte, oder soll ich es einfach zu a=1 -> wahre aussage umformen?
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17.06.2011, 14:41	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sollte deine erste Folgerung richtig sein? Und: welche Aussage willst du da beweisen? Die Aussage die in deinem ersten Post steht ist falsch.
17.06.2011, 14:52	gadreel	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, ich hab mich vertippt, ich meinte linear abhängig. kann ich dann nicht mit dem widerspruchsbeweis, beweisen dass die aussage falsch ist, wenn ich keinen widerspruch bekomme?
17.06.2011, 14:56	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst es gerne versuchen, allerdings gibt es auch durchaus Fälle, wo diese Aussage zutrifft (sie ist aber eben nicht allgemeingültig). Hier lässt sich ein einfaches Gegenbeispiel konstruieren.
17.06.2011, 16:02	gadreel	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} v1=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, v2=\begin{pmatrix} -1\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}<br /> <br /> \varphi:\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}x \end{eqnarray}$ Bei surjektivität muss ich doch beachten, dass der Rang = anzahl der zeilen ist? Ergebnisse sind: $\begin{eqnarray} \varphi(v1)=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \varphi(v2)=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Da ich 0 mit v1 darstellen kann, sind sie nicht mehr linear unabhängig. Stimmt das so?
17.06.2011, 16:20	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zeilenanzahl deiner Bildvektoren stimmt nicht, außerdem solltest du (jenachdem wie streng dein Tutor das sieht) die Surjektivität der Abbildung nachweisen. Es gibt aber auch noch einfachere Gegenbeispiele, betrachte z.B. mal den $\begin{eqnarray} \mathbb K^n \end{eqnarray}$ und die Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi: \mathbb K^n\rightarrow \{0\} \end{eqnarray}$ .
17.06.2011, 16:29	gadreel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah verdammt, ich sollte nen Kaffee trinken! ^^ Auf meinem Schmierzettel hatte ich zwei Zeilen. Es ist ne Multiple Choice Aufgabe, aber in ner Klausur müsste ich das wahrscheinlich nachweisen. Stimmt, ich könnte ja alles auf den Nullvektor abbilden. Danke! ;-)
17.06.2011, 16:31	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, die einzig mögliche Abbildung wäre es, alles auf den Nullvektor zu schicken; und damit hat man die Aussage widerlegt.

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