Bildmenge bestimmen

17.06.2011, 17:10

Pascal95

Bildmenge bestimmen

Hallo,

ich überlege mir, was das Bild von $\begin{eqnarray*} f: [0,1] \to\mathbb R,\ x\mapsto \tan((x-0.5)\pi) \end{eqnarray*}$ ist.

Eigentlich sollte das eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ und ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein.

Aber welchem Wert wird denn $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ zugewiesen?

Ist das nicht eher eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

17.06.2011, 17:14

Math1986

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RE: Bildmenge bestimmen

Zitat:

Original von Pascal95

Ist das nicht eher eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Das ist richtig - allgemein ist der Tangens definiert auf
$\begin{eqnarray*} D=\mathbb R\setminus\left\{k\pi + \frac \pi 2, k\in\mathbb Z\right\} \end{eqnarray*}$

Der Tangens selbst ist definiert durch
$\begin{eqnarray*} \tan x:=\frac{\sin x}{\cos x} \end{eqnarray*}$
d.h. der Nenner darf nicht 0 werden, daher diese Einschränkung

17.06.2011, 17:18

Pascal95

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Ok, danke sehr.

Kennst du denn eine Bijektion $\begin{eqnarray*} [0,1] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

17.06.2011, 22:05

Pascal95

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Wie wärs mit dem sogenannten $\begin{eqnarray*} \operatorname {logsin} \end{eqnarray*}$ , den ich hier gefunden habe?

$\begin{eqnarray*} \operatorname {logsin}(x):= \frac1{1+\operatorname e^{-x}} \end{eqnarray*}$ , umgestellt: $\begin{eqnarray*} \operatorname {logsin}^{-1}(x):= -\ln\left( \frac1x-1 \right) \end{eqnarray*}$ .

Aber was soll hier $\begin{eqnarray*} \operatorname {logsin}^{-1}(0) \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \operatorname {logsin}^{-1}(1) \end{eqnarray*}$ sein?

Kann es dafür überhaupt einen Wert geben?

Es soll ja schließlich eine Bijektion $\begin{eqnarray*} [0,1] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein.

Danke...

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