Poissonprozess? |
17.06.2011, 17:21 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Poissonprozess? Ein Ambulanzwagen fahrt eine Strecke der Lange L = 10 km mehrfach ab. Angenommen es passiert ein Unfall auf dieser Strecke und zwar an jeder Stelle mit gleicher Wahrscheinlichkeit (d.h. der Punkt des Unfalls ist zufallig und gleichverteilt auf dieser Strecke). Wenn auch die Position des Ambulanzwagens zur Zeit des Unfalls auf der Strecke gleichverteilt ist, was ist die Dichtefunktion der Verteilung des Abstands zwischen Ambulanzwagen und Unfall im Moment des Unfalls? Meine Ideen: Irgendwie klingt das für mich nach einem Poissonprozess. Aber wie man das modellieren kann, weiß ich leider nicht. Kann mir jemand Tipps geben? Edit: Erstmal würde ich die Strecke von 10 km in 1-Meter-Intervalle aufteilen, also in 10.000 Abschnitte. Dann wäre wohl die Wahrscheinlichkeit, dass der Unfall an der Stelle U passiert 1/10.000. Und dass der Rettungswagen zum Unfallzeitpunkt t am Punkt A ist, ist ebenfalls 1/10.000. |
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17.06.2011, 18:33 | Schlumpf90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, sitze auch gerade an dieser Aufgabe. Könnte man hier mit einer Faltung rechnen? Hätte die Formal parat, wüsste allerdings nicht genau, wie man hier die einzelnen Bedingungen einbaut. Kann uns irgendjemand helfen? Vielen Dank im Voraus |
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17.06.2011, 18:58 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Geometrische Wahrscheinlichkeit! |
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17.06.2011, 19:32 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ginge es evtl., dass Du das etwas erläuterst? Auch das ist wieder ein Begriff, der so in der Vorlesung nicht behandelt wurde. |
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17.06.2011, 19:48 | Schlumpf90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Habe die Formel in dem Buch gefunden, die der Dozent oft zitiert: F(k)=p(1-p)^k. Ist das die richtige Formel und wie kann man damit weiterarbeiten? Kann man p=1/10.000 setzen? Was könnte k sein? Danke für genauere Erläuterungen... Werde aus dem Buch einfach nicht schlau |
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17.06.2011, 19:54 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Male ein Quadrat mit der Seitenlänge 10 km. (Lass das Gebiet polizeilich absperren!) Schreibe an eine Seite des Quadrats X, an die dazu senkrechte Seite Y. Interpretiere X als Position des Unfalls, Y als Position des Krankenwagens. Komme nach heftigem Nachdenken zu dem Schluss, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Zufallsvektor (X, Y) sich innerhalb einer Teilfläche F des Quadrats befindet, proportional zur Größe von F ist. Wenn es dir Spaß macht, kannst du statt der Größe von F auch das Lebesgue-Maß von F oder so einen Pi-pa-po benutzen. Male die Fläche ein, die dem Bereich entspricht. Interpretiere Z als den Abstand zwischen Krankenwagen und Unfallort. Krame den Schulgeometriewissen zusammen und berechne die Größe dieser Fläche als Funktion von z. Hege die dumpfe Hoffnung, dass sie dem Lebesgue-Maß der Fläche entspricht. |
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18.06.2011, 10:15 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So richtig schlau bin ich noch nicht draus geworden. Aber vllt. kommt ja noch der Geistesblitz... Irgendwie will dieser Lösungsansatz so gar nicht zum Vorlesungsinhalt passen (Unabhängigkeit, Faltung, Poissonprozess). |
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18.06.2011, 10:50 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na, ich hoffe mal, in der Vorlesung wurde euch das Denken nicht verboten. Es geht doch einfach um folgendes: Der Abstand zwischen X und Y ist Nun ist die Verteilungsfunktion von Z gegeben durch wobei du dir nur das passende Integrationsgebiet suchen musst. Das kann man formelmäßig aus der Definition von Z machen. Einfacher ist es aber, sich das an einer Skizze zu veranschaulichen. Das Integrationsgebiet ist für gegebenes z ein Teil des Quadrats. Und da f(x) und g(y) konstant sind, kann man sie aus dem Integral ziehen. Das verbleibende Integral ist die Fläche des Gebiets. |
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18.06.2011, 11:38 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Denken ist sogar ausdrücklich erwünscht, nehme ich an. Trotzdem ist das für den Nicht-Profi nicht immer so einfach, eine Verbindung zwischen eigenen Ansätzen und behandeltem Vorlesungsstoff herzustellen. Danke für die nochmalige Erklärung, ich werde nun versuchen, das zu verstehen und umzusetzen. Eventuelle Fragen stelle ich dann hier. |
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18.06.2011, 11:56 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich muss wohl leider doch bei Null anfangen zu fragen. Ich habe nun dieses Quadrat gezeichnet und an die Seite unten X, an die rechte Seite Y geschrieben. Das ist mir - ehrlich gesagt - schon suspekt. Auf der Seite unten legt man jetzt einen Unfallort fest. Auf der rechten Seite legt man den Ort des Ambulanzwagens zum Zeitpunkt des Unfalls fest. Irgendwie versteh ich nicht, wieso man das so machen kann... Tut mir leid, wenn die Frage vllt. zu blöd ist für Dich. |
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18.06.2011, 12:12 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, nochmal eine andere Frage: Was genau meinst Du mit "geometrische Wahrscheinlichkeit"? Mir scheint, das hatten wir nie besprochen. Mir ist nur "geometrische Verteilung" ein Begriff und ich habe gelesen, dass das wohl was Anderes meint? |
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18.06.2011, 13:02 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ergibt sich dann nicht jeweils ein Dreieck, dessen Fläche man dann teilen muss durch die Gesamtfläche des Quadrats? |
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18.06.2011, 13:07 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das müsst ihr auch nicht besprochen haben. Unter geometrischer Wahrscheinlichkeit kann man sehr allgemein die Visualisierung 2- bzw. 3- dimensionaler Wahrscheinlichkeitsprobleme durch entsprechende 2- bzw. 3- dimensionale Abbildungen verstehen und in spezieller Form diejenigen Probleme, bei denen Gleichverteilungen vorliegen. In letzerem Fall sind dann die Wahrscheinlichkeiten proportional zu den Flächen- oder Volumeninhalten. Im allgemeinen Fall bekommt man zumindest einen leichteren Überblick, über welche Flächen oder Volumina zu integrieren ist. Wenn du nun fragst, darf ich mir denn entsprechende Zeichungen anfertigen, so lässt mixch das ratlos zurück. Ist es euch denn verboten worden, Dinge zeichnerisch darzustellen? Benutzt euer Professor nie Zeichnungen? Hast du auch in der Schule gefragt, ob es denn erlaubt sei, eine Funktion y = f(x) durch ihren Graphen in einem x-y-Diagramm darzustellen? Ist es euch verboten worden, im Internet nach Informationen zu suchen? Hast du mal nach geometrischer Wahrscheinlichkeit gegoogelt? Und falls du eine Phobie gegenüber Zeichnungen hast, dann mach es halt rein formelmäßig. Den Integrationsbereich für Z bekommt man auch so. Es ist nur eun wenig umständlicher. |
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18.06.2011, 13:12 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Gebiet, das erfüllt, ist kein Dreieck. Aber das Restgebiet, also sein Komplement bezüglich des Quadrats, besteht aus 2 Dreiecken. |
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18.06.2011, 13:14 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mir war halt einfach nicht klar, was "geometrische Wahrscheinlichkeit" bedeutet. Jetzt weiß ich es. Ich schaue mal, ob ichs jetzt kapiere, |
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18.06.2011, 13:17 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das verstehe ich nicht so ganz. Z ist doch die Verbindungslinie zwischen den Punkte X und Y - - oder? Mit anderen Worten: Ich verstehe nicht, welcher Fläche entspricht. |
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18.06.2011, 13:33 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie kommst du denn auf diese Schnapsidee? Es ist . Damit also gilt , muss gelten Wenn man sich x vorgibt, bedeutet das Der Bereich für liegt also zwischen den beiden Parallelen im Abstand z zu der Diagonalen y = x in dem Quadrat. Und das Restgebiet sind dann 2 rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke mit den Katheten 10 - z. |
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18.06.2011, 13:55 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also: Ich markiere zum Beispiel auf der unteren Seite den Punkt x=6. Und ich wähle als z=1. Dann muss ich den Punkt y auf der linken Seite irgendwo (von unten aus gesehen) zwischen 5 und 7 einzeichnen? Und dann hat man so einen "Streifen". Ich sehe aber nicht, dass der Rest dann zwei Dreiecke sind. Unten rechts bleibt ein Dreieck. Aber oben links? |
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18.06.2011, 14:06 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es nützt nichts, auf der linken Seite etwas einzuzeichnen. Da ist ja x = 0 und nicht x = 6. Du musst den zu x = 6 gehörenden Bereich von y natürlich senkrecht über x = 6 eintragen. Die untere Grenze ist also der Punkt (6, 5) und die obere Grenze der Punkt (6, 7).
Wenn du es nicht siehst, dann mach dasselbe für x = 0, 1, ..., 10. Und beachte, die untere Grenze kann nicht kleiner werden als y = 0, die obere nicht größer als y = 10. Es muss ja alles in dem Quadrat bleiben. |
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18.06.2011, 14:25 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke!! Das habe ich nun aufgemalt und verstanden. So, nun ist ja die Dichtefunktion von Z gesucht. Dazu muss ich erst die Verteilungsfunktion von Z ausrechnen und daraus kann ich dann die gesuchte Dichte bestimmen. Du hattest oben schon hierzu geschrieben: Und Du hast auch schon geschrieben, dass ich mir nun die passenden Integrationsgrenzen bestimmen muss. Finde ich gar nicht so einfach. Muss man wahrscheinlich jetzt irgendwie so machen, dass am Ende die Fläche des Streifens, dividiert durch die des Quadrats herauskommt, also . |
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18.06.2011, 14:33 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Prinzip ja. Aber die Fläche des Streifens ist ja die Fläche des Quadrats minus der Fläche der beiden Restdreiecke. Und so kann man das elementargeometrisch ohne Integration lösen. @Edit Dein Edit stimmt. |
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18.06.2011, 14:34 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hehe, habe ich gerade gemacht. Stimmt das Ergebnis? Dann könnte man daraus jetzt die Dichte berechnen, oder? Ableiten? |
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18.06.2011, 14:37 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zweimal ja! |
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18.06.2011, 14:42 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann erhalte ich . Ist dies die Lösung der Aufgabe? Falls ja, wo brauchte man dann, dass Unfallort und Ort des Ambulanzwagens gleichverteilt sind? |
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18.06.2011, 14:50 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das stimmt. Na, die Gleichverteilung brauchte man, als man sagte, die Wahrscheinlichkeiten sind proportional den Flächen. Das gilt nur bei einer zweidimensionalen Gleichverteilung. Stell dir vor, es passieren fast nur Unfälle im Bereich x < 5. Dann würde der Bereich x > 5 fast nichts zur Wahrscheinlichkeit beitragen. |
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18.06.2011, 14:53 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah! Ja, das leuchtet mir ein! Ich bin Dir sehr, sehr dankbar. Durch Dich weiß ich nun, was man mit "geometrischer Wahrscheinlichkeit" meint. Dennoch muss ich sagen, dass ich diese Aufgabe im Kontext meiner Stochastikvorlesung schon sehr befremdlich und schwierig finde. Natürlich stimmt's, dass man selbst nachdenken soll und muss. Aber der Kontrast zwischen dem Vorlesungsinhalt und den gestellten Aufgaben ist schon sehr groß. Naja, nochmals: DANKE! |
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18.06.2011, 15:10 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Grunde macht man hier dasselbe, wie bei der Bestimmung der Verteilung oder der Dichte von Z = X + Y für unabhängige X und Y. Da erhält man als Ergebnis das bekannte Faltungsintegral, welches natürlich auch beträchtlich einfacher wird, wenn man für X und Y Gleichverteilungen hat. Hier war zu betrachten, was etwas schwieriger aussieht, aber bei Gleichverteilungen auch ziemlich trivial ist. Es gibt übrigens keinen Grund, mir zu danken, eher im Gegenteil. Du magst jetzt den Eindruck haben, du hast wieder etwas gelernt und wahrscheinlich hast du das auch. Aber dabei musste ich dir Dinge im Detail vorbeten, die ein mittelmäßig begabter Schüler in der 9. oder 10. Klasse ohne Hilfe könnte, z. B. sich den Bereich zu erarbeiten. Und das kann einfach nicht sein, wenn man sich mit Stochastik auf Hochschulniveau, holomorphen Funktionen etc. beschäftigt. |
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18.06.2011, 15:22 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielleicht zu meiner "Rechtfertigung": Im Grunde war mir schon klar, was ist. Ich habe nur Probleme, diese bekannten Dinge jeweils in dem Kontext einer Aufgabe wiederzuerkennen bzw. zur Anwendung zu bringen. Ich möchte nichts beschönigen. Meine Probleme sind vorhanden und nicht wegzureden. Wie soll jemand wie ich, der ohnehin nicht mathematisch begabt ist, auf die Idee kommen, dass man die Zufallsvariablen zweidimensional zu einem Quadrat anordnet und so weiter. Mir war "geometrische W." absolut kein Begriff, geschweige denn, dass das jemals behandelt wurde. Und im Kontext solcher Aufgaben sind wohl die elementaren Dinge, die ein Schüler Deiner Meinung nach besser könnte als ich, anders zu bewerten, als wenn man sie ganz elementar und nur für sich betrachtet. Naja, diese Kommentare gehen halt nicht an mir vorbei. Sie sind aber im Grunde nichts Neues für mich und ich finde es ein bisschen schade, dass jede Aufgabe, die ich stelle, mit einer "Zurechtweisung" enden muss. Es ist nicht nötig, dass man mir ständig sagt, was ich alles nicht kann. Das sehe ich ja selbst, sonst müsste ich ja nicht so viel fragen. Ich stelle neutrale, höfliche Fragen und lebe sehr gerne mit sachlicher, höflicher Kritik. In diesem Fall war die Kritik auch okay. Dennoch muss man mir das nicht jedes Mal sagen. Edit: Und wieso sollte ich Dir nicht danken? Du hast mich zur Lösung der Aufgabe geführt, wenn dabei auch meine eigenen Mängel klar geworden sind. Und wieso "geht es nicht", dass man solche Fehler macht, wenn man sich eigentlich schon mit viel schwierigeren Themen (holomorphe Funktionen) usw. beschäftigt? Wenn man sich nunmal im Rahmen des Studiums mit "höherer Mathematik" (holomorphe Funktionen usw.) beschäftigen muss und gleichzeitig elementare mathematische Probleme hat, so kommt es zu sowas. Mir wäre es auch lieber, ich könnte erstmal die elementaren Dinge begreifen und dann erst weitergehen. Ich suche mir das aber auch nicht aus. |
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18.06.2011, 15:34 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich kann verstehen, dass dich das nervt. Und meine recht sarkastische Antwort ganz zu Anfang hat mir schnell Leid getan. Deshalb habe ich bis kurz vor Schluss auch versucht, keine weiteren Anmerkungen dieser Art zu machen. Aber du musst auch den Frust der Helfer verstehen, wenn sie immer wieder den Eindruck gewinnen, dass ihre Bemühungen vergeblich sind. |
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18.06.2011, 15:36 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe immer gesagt, dass ich das nachvollziehen kann. |
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28.06.2011, 21:54 | nachfrage | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
faltung hallo. kann man diese aufgabe auch mit der faltung rechnen? Z=|Y-X| sieht für moich aus als könnte man die faltung benutzen, aber wie?.. |
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28.06.2011, 22:26 | nachfrage | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
idee vielleicht so: X-Y<0 falls X<Y X-Y=0 falls X=Y X-Y>0 falls X>Y Und jetzt so: P(X-Y<0)=P(X+(-Y)<0) Jetzt die die Verteilungsfunktion für die Faltung ausrechnen. Dann kann man das ausrechnen. meine frage: X und Y sollen doch auf der strecke 10 kn gleichverteilt sein. ist doch diskret oder? aber wie ist dann die dichte? 1/10? Oder wie macht man das? |
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01.07.2011, 13:16 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: idee Du suchst ja . Also kannst Du das über die Faltung ausrechnen, ja. Indem Du die Dichte für ausrechnest. |
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