Eigenwerte bestimmen

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18.06.2011, 10:43	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte bestimmen Meine Frage: Guten morgen, ich hab folgendes Problem und sehe einfach die Lösung nicht. Wahrscheinlich brauch ich nur einen kleinen Tipp - aber mal sehen: Also ich habe eine Matrix $\begin{eqnarray} A\in Mat(n,C) \end{eqnarray}$ für die folgendes definiert ist $\begin{eqnarray} A^{}:= \bar{A}^{T}=\lambda A \end{eqnarray}$ Ich möchte jetzt die Eigenwerte von A bestimmen. Meine Ideen:* Mit der üblichen Berechnung über das ch. Polynom braucht man hier ja gar nicht anfangen. Ich denke also man kann die EW ablesen (und das kann man ja nur bei einer oberen Dreiecksmatrix, die ich ja hier aber nicht zwangesweise habe). Darf ich z.B. Gauß auf die Matrix anwenden bis ich eine obere Dreiecksmatrix hab oder veränder ich dann die EW? Vielen Dank! Gruß
18.06.2011, 19:52	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte bestimmen Hallo FAUPhy, Was ist denn $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ? Irgendeine beliebige komplexe Zahl? Wie lautet die genaue Aufgabenstellung? Mit Gauß wirst Du nichts anfangen können, da Du ja wohl keine konkrete Matrix gegeben hast. Außerdem würde das die EW verändern. Gruß, Reksilat.
18.06.2011, 22:41	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte bestimmen Guten Abend, also $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist eine beliebige von Null verschiedene komplexe Zahl. Mit $\begin{eqnarray} A^{} \end{eqnarray}$ ist wohl die Adjungierte gemeint, was ja auch von der Definition her Sinn machen würde. Die konkrete Aufgabenstellung lautet, dass ich zeigen soll dass die EW von A auf einer Ursprungsgeraden in C (komplexe Zahlen) liegt. => Ursprungsgerade in C hat ja die Form $\begin{eqnarray} {k \cdot c : k\in \mathbb R, c \in C} \end{eqnarray*}$ Ich dachte nur mit dem Gauß würde vllt schon funktioniern, da es sich ja nicht um eine beliebige Matrix handelt, sondern die Transponiert konjungierte ist ja gleich der ursprünglichen Matrix. Da kann man sich dann schon was drunter vorstellen. Aber wenn das sowieso die EW verändert, dann wird das wohl nichts. Aber dann muss man sie ja ablesen können?! Danke schon mal! Viele Grüße
19.06.2011, 13:22	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte bestimmen Hat denn keiner ne gute Idee, oder wenigestens einen Tipp?
19.06.2011, 19:20	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte bestimmen ... ich eile ja schon. Sorry, aber ich war den ganzen Tag offline. Also mit den Angaben ist die Aufgabenstellung schon sinnvoll. Schau Dir doch mal den Ausdruck $\begin{eqnarray} \langle Av,v\rangle \end{eqnarray}$ für einen Eigenvektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ an. (Also $\begin{eqnarray} Av=\alpha\cdot v \end{eqnarray}$ für einen Eigenwert $\begin{eqnarray} \alpha\in\mathbb{C} \end{eqnarray}$ .) Wenn Du diesen Ausdruck ein wenig umformst, wirst Du eine Gleichung in $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ bekommen. Diese gilt dann natürlich auch für einen beliebigen anderen Eigenwert $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ und damit kann man dann zeigen, dass immer $\begin{eqnarray} \frac{\alpha}{\beta}\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist, was die Behauptung liefert. Gruß, Reksilat.
19.06.2011, 21:36	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte bestimmen Erstmal danke. Und kein Ding, ich dachte nur, vllt wäre Dir auch keine Lösung eingefallen. Aber jetzt zur Aufgabe: Wie kommt man denn darauf, hier jetzt das Skalarprodukt anzuwenden. Also ich meine, was hat den das SKP mit dem Eigenwertproblem zu tun? Aber wenn ich dir mal folge, dann würde ich jetzt mal ansetzen $\begin{eqnarray} <Av, v> = <\alpha v,v> = \alpha <v,v> = \alpha \sum\limits_{k=1}^n v_{k} \end{eqnarray}$ Irgendwie steh ich noch auf dem Schlauch. Was bringt mir denn diese Umformung. Ich weiß auch nicht, wie ich in eine Gleichung in $\begin{eqnarray} \alpha bzw. \lambda \end{eqnarray}$ sind doch beides EW? Gruß
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19.06.2011, 21:53	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte bestimmen Ja, das ist eine Art, die Gleichung umzuformen, allerdings solltest Du beachten, dass ein Skalar nur in einer Komponente so rausgezogen werden kann und in der anderen dann als konjugiert komplexes rausgezogen wird. Andererseits ist aber auch $\begin{eqnarray} \langle Av,v\rangle=\langle v,A^v\rangle \end{eqnarray}$ und da kann man nun die Voraussetzung anwenden. (Auf diese Weise wird normalerweise die Adjungierte definiert - man sieht diese Identität aber beim Standardskalarprodukt in $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^n \end{eqnarray}$ auch so recht schnell: $\begin{eqnarray} \langle Av,v\rangle=(Av)^T\overline v=v^TA^T\overline v=v^T\overline{(\overline A^Tv)}=\langle v,A^v\rangle \end{eqnarray}$ ). Übrigens ist $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ kein Eigenwert.
20.06.2011, 19:20	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte bestimmen Oke, also dann schaut das doch so aus: $\begin{eqnarray} <Av,v> = <v,A^{}v>=<v,\lambda Av>=\bar{\lambda }<v,Av>=\bar{\lambda }<v,v\alpha >=\bar{\lambda }\bar{\alpha }<v,v> \end{eqnarray}$ Du sagtest jetzt, dass ich das in Verbindung setzen soll zu einem anderen EW $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ . Aber dann ändert sich ja auch der Eigenvektor?! Wie stell ich denn dann die Gleichung dafür auf, um die dann irgendwie mit dieser gleichzusetzen um nach $\begin{eqnarray} \alpha/ \beta \end{eqnarray}$ aufzulösen? Weil dann müsste ich ja sehen, dass auf der anderen Seite der Gleichung $\begin{eqnarray} \alpha /\beta \end{eqnarray*}$ = ... <= reelle Zahl. Und dann wäre ich ja fertig. Danke & viele Grüße
21.06.2011, 11:32	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte bestimmen Na Du hast doch oben gezeigt, dass $\begin{eqnarray} <Av, v> = ... = \alpha <v,v> \end{eqnarray}$ ist. Jetzt ist noch $\begin{eqnarray} <Av,v> = ...=\bar{\lambda }\bar{\alpha }<v,v> \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} v\neq 0 \end{eqnarray}$ ist (Eigenvektor), ist $\begin{eqnarray} \langle v,v\rangle\neq 0 \end{eqnarray}$ und Du kannst das rauskürzen und erhältst $\begin{eqnarray} \alpha=\overline \alpha\cdot \overline \lambda \end{eqnarray}$ . Diese Gleichung gilt für jeden beliebigen Eigenwert, den Du für $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ einsetzt.
21.06.2011, 15:05	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte bestimmen tausend Dank. Das hat mir wirklich sehr geholfen!!!

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