Telegraphenprozess

18.06.2011, 19:44	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Telegraphenprozess Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} (N_t)_{t\geq 0} \end{eqnarray}$ ein Poissonprozess zur Intensität $\begin{eqnarray} \alpha>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Z_t=(-1)^{N_t} \end{eqnarray}$ . Man zeige: $\begin{eqnarray} P(Z_s=Z_t)=(1+e^{-2\alpha (t-s)})/2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0\leq s<t \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: $\begin{eqnarray} P(Z_s=Z_t)=P(Z_s-Z_t=0)=P((-1)^{N_s}-(-1)^{N_t}=0) \end{eqnarray}$ Mag mir jemand einen Tipp geben, wie es weitergehen kann?
18.06.2011, 22:17	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonprozess Ich denke, dass ich die Aufgabe alleine hinbekommen habe: Zunächst gilt: $\begin{eqnarray} \left\{Z_s=Z_t\right\}=\left\{N_t-N_s\text{ist gerade}\right\}=\bigcup_{k=0}^{\infty}\left\{N_t-N_s=2k\right\} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} P(Z_s=Z_t)=P\left(\bigcup_{k=0}^{\infty}(N_t-N_s=2k)\right)=P(N_t-N_s=0)+P(N_t-N_s=2)+P(N_t-N_s=4)+\hdots \end{eqnarray}$ Hier habe ich die $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ - Additivität des W.-Maßes ausgenutzt. Nun sind ja die Differenzen poissonverteilt zum Parameter $\begin{eqnarray} \alpha (t-s) \end{eqnarray}$ , d.h. es folgt: $\begin{eqnarray} = e^{-\alpha (t-s)}+\frac{(\alpha (t-s))^2}{2!}\cdot e^{-\alpha (t-s)}+\frac{(\alpha (t-s))^4}{4!}\cdot e^{-\alpha (t-s)}+\hdots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = e^{-\alpha (t-s)}\cdot \underbrace{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha (t-s))^{2n}}{(2n)!}}_{=\cosh(\alpha (t-s))} \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} \cosh(\alpha (t-s))=\frac{1}{2}\cdot \left(e^{\alpha (t-s)}+e^{-\alpha (t-s)}\right) \end{eqnarray}$ geht's dann weiter mit: $\begin{eqnarray} = e^{-\alpha (t-s)}\cdot \left(\frac{e^{\alpha (t-s)}+e^{-\alpha (t-s)}}{2}\right) \end{eqnarray}$ Ausklammern liefert dann die Behauptung: $\begin{eqnarray} = \frac{1+e^{-2\alpha (t-s)}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Box \end{eqnarray}$
19.06.2011, 00:17	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Trotz allem würde ich mich natürlich über ein Feedback freuen.

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