Quantorenaufgaben

19.06.2011, 19:14

Fish-Guts

Quantorenaufgaben

Hallo Zusammen

In der Vorbereitung für das Vordiplom in meinem Studium bin ich auf einige Quantorenaufgaben gestossen, bei denen ich mir nicht sicher bin, ob ich das richtig verstanden habe.

Aufgabe

Es sei E(x) eine Eigenschaft von natürlich Zahlen. Formalisieren Sie (unabhängig voneinander) folgende Aussagen:

1. Alle Zweierpotenzen haben die Eigenschaft E
2. Es gibt eine natürliche Zahl, sodass alle grösseren natürlichen Zahlen die Eigenschaft E haben.
3. Keine ungerade Zahl die grösser als 1 ist hat die Eigenschaft E.

Lösung:

1. A = { $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N | \end{eqnarray*}$ n ist eine Zweierpotenz } = { $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N | \exists k\in \mathbb N (n = 2^{k}) \end{eqnarray*}$ }

=> $\begin{eqnarray*} \forall n\in A(E(n)) \end{eqnarray*}$

2. A = { $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N | \end{eqnarray*}$ m ist grösser als n } = { $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N | \exists m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (m > n)
=> $\begin{eqnarray*} \exists n \in A(E(n)) \end{eqnarray*}$ }

3. A = { $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N | \end{eqnarray*}$ n ist gerade } = { $\begin{eqnarray*} \exists k\in \mathbb N (n=2k) \end{eqnarray*}$ }
und B = { $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N | n\notin A \end{eqnarray*}$ }
=> ¬ $\begin{eqnarray*} \exists \in B(E(n)) \end{eqnarray*}$

Mich interessiert nun, ob die Lösungen Sinn machen. Danke im Voraus

19.06.2011, 19:38

Pascal95

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Bei 1. würde ich aber sagen: $\begin{eqnarray*} \forall n\in A(E(n)) \end{eqnarray*}$ klingt komisch und ist m.E. falsch.

Wie wärs mit
Edit: Lösung entfernt. Da sollst du mal schön selber rauf kommen, hab schon fast das Boardprinzip vergessen!
Hilfestellung: Wie kann man ausdrücken: "Für alle x aus A gilt", erst mal nur so weit...
?

19.06.2011, 19:49

Fish-Guts

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Hallo Pascal

Ist schon okay, dass du die Lösung entfernt hast, es nützt mir nix, wenn ichs nicht verstehe smile

Also wir haben auch ein Beispiel, in dem es heisst

Alle geraden Zahlen haben die Eigenschaftr E und die Lösung ist:

"Definiere: G = { $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N | \end{eqnarray*}$ n ist gerade } = { $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N | \exists k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (n = 2k) }

=> $\begin{eqnarray*} \forall n\in G \end{eqnarray*}$ (E(n))

Gemäss unserem Prof.

Was also in meiner Lösung heissen soll:

Für alle n aus A gilt die Eigenschaft E.

Grüsse

19.06.2011, 19:55

Pascal95

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Das ist mir so nicht klar, vielleicht weiß ein anderer, was damit gemeint ist.

$\begin{eqnarray*} E(x) \end{eqnarray*}$ ist eine Aussageform und liefert eine Aussage, also einen Wahrheitswert, wahr oder falsch.

Man kann also z.B. die Menge definieren, [edit]mit den Elementen, [/edit] die diese Eigenschaft erfüllen: $\begin{eqnarray*} M:=\{ x \in G \ |\ E(x) \} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ die Grundmenge ist.

Anmerkung zur Notation:
Ich kenne diese Notation nicht, aber ich vermute, es ist folgendes gemeint:
$\begin{eqnarray*} \{ n \in \mathbb N | \exists k \in \mathbb N (n = 2k) \} \end{eqnarray*}$
ist dann
$\begin{eqnarray*} \{ n \in \mathbb N | \exists k \in \mathbb N : n = 2k \} \end{eqnarray*}$

(der Doppelpunkt heißt "sodass", es scheint so, als ob ihr dafür die Klammer benutzt, sehe ich das richtig?)

19.06.2011, 20:09

Fish-Guts

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Also ich interpretiere das so

Es existiert ein k aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ für das gilt: n = 2k.

Würde m.E auch Sinn machen, weil dann in der Lösung für alle 2k = n gilt, und somit nur vielfache von 2 in der Lösung berücksichtigt werden.

Wenn das einer anders sieht, bitte melden :-)

19.06.2011, 20:22

Pascal95

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Ja, das ist mir klar, dass so die geraden Zahlen konstruiert werden.

Ich wollte nur feststellen, ob ich deine Notation, die für mich neu war, richtig interpretiert habe... Offensichtlich habe ich das.

Nun unter Berücksichtigung dieser Notation zur ersten Aufgabe:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} E(x) \end{eqnarray*}$ eine Eigenschaft von natürlich Zahlen. Formalisieren Sie (unabhängig voneinander) folgende Aussagen:
* Alle Zweierpotenzen haben die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ .

Ich fasse nun zusammen, was du schon gemacht hast:
Die Menge der "Zweierpotenzen" A:
$\begin{eqnarray*} A = \{ n \in \mathbb N\ |\ n\text{ ist eine Zweierpotenz}\} = \left\{ n \in \mathbb N \ |\ \exists k\in \mathbb N\ \left(n = 2^{k}\right) \right\} \end{eqnarray*}$
...oder unter der mir bekannten Schreibweise:
$\begin{eqnarray*} A = \{ n \in \mathbb N\ |\ n\text{ ist eine Zweierpotenz}\} = \left\{ n \in \mathbb N \ |\ \exists k\in \mathbb N:\ n = 2^{k} \right\} \end{eqnarray*}$

Nun haben alle Zweierpotenzen die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \forall n\in A\ (E(n)) \end{eqnarray*}$ , oder eben $\begin{eqnarray*} \forall n\in A: E(n) \end{eqnarray*}$ .

Also hast du alles richtig gemacht smile

19.06.2011, 21:05

Fish-Guts

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Danke

Bei den anderen zwei Aufgaben ebenfalls richtig? Vor allem die Zweite bereitet mir ein bisschen Kopfweh...

Danke und Gruss

19.06.2011, 22:19

Pascal95

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Bin wieder da!

Zitat:

* Es gibt eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , sodass alle grösseren natürlichen Zahlen die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ haben.

Das ist leider falsch, was du zu dieser Aufgabe im Eingangspost geschrieben hast.
Sagen wir mal, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ diese natürliche Zahl ist (habe das zur Afg hinzugefügt), sodass alle größeren natürlichen Zahlen die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ besitzen. Nun, wie sieht eine Menge aus, die alle natürlichen Zahlen größer als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ beinhaltet ?

19.06.2011, 22:42

Fish-Guts

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Hm, möglicherweise sehe ich meinen Denkfehler.

Wie sieht denn das aus:

$\begin{eqnarray*} A := { n\in \mathbb N | \forall m \in \mathbb N | m > n } \end{eqnarray*}$

Für die Definition alle m sind grösser als n.

Dann auf die Aufgabe übertragen:

$\begin{eqnarray*} \exists n \in A(E(n)) \end{eqnarray*}$ .

Ist das besser?

24.06.2011, 14:57

Pascal95

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Moin,

Zitat:

Original von Fish-Guts
Wie sieht denn das aus:
$\begin{eqnarray*} A := \{ n\in \mathbb N\ |\ \forall m \in \mathbb N : m > n \} \end{eqnarray*}$
Für die Definition alle m sind grösser als n.

... würde soviel wie
"A ist definiert als die Menge aller natürlichen Zahlen, sodass alle anderen natürlichen Zahlen größer als sie sind."
bedeuten.

Die Aufgabe war doch:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} E(x) \end{eqnarray*}$ eine Eigenschaft von natürlich Zahlen. Formalisieren Sie (unabhängig voneinander) folgende Aussagen:
* Es gibt eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , sodass alle grösseren natürlichen Zahlen die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ haben.

Dann müsstest du aber eine Menge definieren, die alle Zahlen enthält, die größer als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sind.

Danach formalisierst du, dass es eine Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt, sodass alle Zahlen, die größer als sie sind, die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ haben.

Die Idee ist ja, dass du eine Menge definierst, und sagst, dass alle Elemente dieser Menge die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ erfüllen (so verstehe ich das).

$\begin{eqnarray*} \exists n \in A(E(n)) \end{eqnarray*}$ passt hier m.E. nicht. (n muss keineswegs in A sein)

25.06.2011, 16:34

Fish-Guts

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Okay, ich glaub nun hab ichs (ich glaube es stimmt, kann mich aber auch täuschen:

Wir definieren folgende Aussage:

"Es gibt ein n für welches gilt, dass alle m die grösser sind als n die Eigenschaft E haben"-

$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb N (\forall m \in \mathbb N (m>n) \Rightarrow E(m)) \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?

Gruss

FG

25.06.2011, 23:06

Pascal95

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Ich denke, so könnte man das machen.

Alternativ definiert man eine Menge aller natürlichen Zahlen größer als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} A:=\left\{ m\in\mathbb N\ | \ m>n \right\} \end{eqnarray*}$ .

Nun sagt man, dass es ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, sodass alle Elemente der Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , die ja von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängt, die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ haben:
$\begin{eqnarray*} \exists n\in\mathbb N:\forall x\in A:E(x) \end{eqnarray*}$ .

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