Relationen - Überlegungen

19.06.2011, 22:04

Fish-Guts

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Relationen - Überlegungen

Hallo

Eine weitere Frage:

Ich habe eine Relation fRg : <=> $\begin{eqnarray*} (\exists n \in \mathbb N)(\forall m > n) ( f(m) \leq g(m)) \end{eqnarray*}$

Ich muss nun überprüfen, ob die Relation eine Halbordnung, eine Ordnung oder keines von beiden ist, und ich muss meine Behauptung beweisen.

Nun habe ich ein bisschen Schwierigkeiten, diese Relation zu verstehen. Sehe ich das richtig, dass das etwa so ist:

Es existiert ein n für welches gilt, wenn alle m grösser sind als n ist der Funktionswert von f(m) kleiner oder gleich g(m).

Ich weiss, dass eine Relation dann eine Halbordnung ist, wenn die transitiv und reflexiv ist, sowie wenn aus aRb und bRa stets a=b folgt. Wenn zusätzlich gilt aRb v bRa, dann ist die Relation eine Ordnung auf R.

Ist es nun am einfachsten, wenn ich einfach mal Zahlen einsetze? Eine Relation in der Form habe ich noch nie gesehen und im Script ist auch nix....

Danke für jeden Denkanstoss smile

smile

20.06.2011, 01:23

Mazze

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Zitat:

Ist es nun am einfachsten, wenn ich einfach mal Zahlen einsetze?

Wenn ich Behaupte, dass alle Vögel fliegen können, und ich dir einen fliegenden Adler zeige, hab ich die Aussage dann gezeigt? Nein, Zahlen einsetzen reicht nicht.

Reflexivität :

Gibt es eine natürliche Zahl n, so dass für alle m > n $\begin{eqnarray*} f(m) \leq f(m) \end{eqnarray*}$ ist?

20.06.2011, 01:34

Fish-Guts

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Ich meinte mit dem Zahlen einsetzen nicht den Beweis, der Beweis erfolgt doch einfach, indem ich entweder behaupte, dass die Relation eine Halbordnung oder Ordnung auf R ist, und dann entsprechend zeige, dass die Bedingungen erfüllt sind.

Mein Problem ist, dass ich jeweils etwas Mühe hab, festzustellen, ob eine Relation reflexiv ist, wenn ich zwei Elemente habe. Deshalb wollte ich Zahlen einsetzen, um das zu prüfen.

Gibt es eine natürliche Zahl n, so dass für alle m > n $\begin{eqnarray*} f(m) \leq f(m) \end{eqnarray*}$ ist?

Ja das gibt es. Für alle natürlichen Zahlen m > 1 ist dies erfüllt. >1 deshalb, weil $\begin{eqnarray*} n\ in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.

Transitivität: Wenn für eine Zahl n gilt, so dass für alle m > n $\begin{eqnarray*} f(m) \leq f(m) \end{eqnarray*}$ ist, dann gibt es auch eine Zahl m > b für die $\begin{eqnarray*} f(m) \leq f(m) \end{eqnarray*}$ ist, somit ist die Relation transitiv.

Ist das korrekt?

20.06.2011, 10:05

Mazze

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Zitat:

Ist das korrekt?

Nein, die Transitivität hast Du so nicht gezeigt.

So gehts :

Es seien $\begin{eqnarray*} f,g,h \end{eqnarray*}$ Funktionen mit $\begin{eqnarray*} fRg \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} gRh \end{eqnarray*}$ , dann ist zu zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} fRh \end{eqnarray*}$ gilt. Schreib mal exakt auf was das bedeutet !

20.06.2011, 11:42

Fish-Guts

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So wie ich das verstehe, bedeuetet das zum Beispiel:

Ich habe folgende Funktionswerte (nur ein Beispiel)

$\begin{eqnarray*} fRg = (1R4) ; gRh = (4R9) => fRh (1R9) \end{eqnarray*}$

Nur, wie krieg ich das jetz auf meine Relation aus der Übung übertragen.

Muss ich nun wenn ich $\begin{eqnarray*} f(m) \leq g(m) \end{eqnarray*}$ habe eine "Zwischenfunktion" annehmen, dass das z.B. so aussehen könnte $\begin{eqnarray*} f(m) \leq t(m) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t(m) \leq g(m) => f(m) \leq g(m) \end{eqnarray*}$ ?

20.06.2011, 11:44

Mazze

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Zitat:

Muss ich nun wenn ich $\begin{eqnarray*} f(m) \leq g(m) \end{eqnarray*}$ habe eine "Zwischenfunktion" annehmen,

Nein, der erste Schritt ist mathematisch exakt aufzuschreiben was

Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} f,g,h \end{eqnarray*}$ Funktionen mit $\begin{eqnarray*} fRg \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} gRh \end{eqnarray*}$

heißt. Dann sieht man nämlich sofort wie der Beweis zu funktionieren hat.

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20.06.2011, 12:14

Fish-Guts

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Hm ich verstehe nicht ganz, was du meinst.

Mathematisch korrekt auf meine Relation bezogen oder generell?

20.06.2011, 12:21

Mazze

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Auf deine Relation bezogen. Und es ist grundsätzlich immer eine gute Praxis vorher ordentlich zu formulieren was eigentlich zu tun ist. Denn sehr oft (gerade am Anfang) sieht man dann schon wohin es geht.

20.06.2011, 13:01

Fish-Guts

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Jetzt steh ich komplett auf dem Schlauch verwirrt

verwirrt

Wie komm ich denn jetzt auf h? In meiner Aufgabe steht davon nichts. Ich habe leider auch keine Vergleichbaren Aufgaben im Script...

Im Prinzip gilt ja

fRg : <=> $\begin{eqnarray*} (\exists n \in \mathbb N)(\forall m > n) ( f(m) \leq g(m)) \end{eqnarray*}$

Kann ich daraus folgendes schliessen?

gRh : <=> $\begin{eqnarray*} (\exists n \in \mathbb N)(\forall m > n) ( g(m) \leq h(m)) \end{eqnarray*}$

und dann

fRh : <=> $\begin{eqnarray*} (\exists n \in \mathbb N)(\forall m > n) ( f(m) \leq h(m)) \end{eqnarray*}$

20.06.2011, 13:16

Mazze

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Zitat:

Wie komm ich denn jetzt auf h?

Du willst die Transitivität zeigen. Dafür braucht man 3 unterscheidbare (nicht notwendigerweise verschieden, aber beliebig) Elemente der Grundmenge und muss für diese dann die Bedingung nachweisen. Hier sind die Elemente der Grundmenge Funktionen, und ich habe sie f,g,h genannt. Man hätte sie auch Hinz,Kunz und Alibaba nennen können. Aber f,g,h schreiben sich einfach schneller.

Die Transitvität sagt aus :

Voraussetzung : Wenn f und g in Relation stehen, und g und h in Relation stehen

Folgerung : dann stehen auch f und h in Relation.

Als Beispiel : Die Relation $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ auf den reellen Zahlen ist transitiv, wenn

$\begin{eqnarray*} x \leq y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \leq z \end{eqnarray*}$ dann ist natürlich auch $\begin{eqnarray*} x \leq z \end{eqnarray*}$

Zu dem was Du formulierst hast :

Zitat:

Kann ich daraus folgendes schliessen?

Nein kannst Du nicht, Du setzt es voraus, da es Voraussetzungen für die Transitivtät sind.

Und jetzt die exakte Formulierung. Es seien f,g,h Funktionen mit f R g und g R h, dann gilt also nach Defintion von R :

$\begin{eqnarray*} \exists n_1 \in \mathbb{N} ~ \forall m > n_1 ~ f(m) \leq g(m) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \exists n_2 \in \mathbb{N} ~ \forall m > n_2 ~ g(m) \leq h(m) \end{eqnarray*}$

Jetzt ist zu zeigen , dass es eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n_3 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass für alle $\begin{eqnarray*} m > n_3~ f(m) \leq h(m) \end{eqnarray*}$ ist.

Mach Dir zunächst klar, warum wir $\begin{eqnarray*} n_1,...,n_3 \end{eqnarray*}$ unterscheiden müssen.

TIP : $\begin{eqnarray*} n_3 \end{eqnarray*}$ hat irgendwas mit $\begin{eqnarray*} n_1,n_2 \end{eqnarray*}$ zu tun.

20.06.2011, 16:02

Fish-Guts

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Wie soll das gehen? Ich hab überhaupt keine Vergleichmöglichkeiten um irgendwelche Schlüsse zu ziehen.

Ich kann ja nicht sagen, dass

wenn für $\begin{eqnarray*} m > n_1 \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} ( f(m) \leq g(m)) \end{eqnarray*}$
und wenn für $\begin{eqnarray*} m > n_2 \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} ( g(m) \leq h(m)) \end{eqnarray*}$

dann wenn für $\begin{eqnarray*} m > n_3 \end{eqnarray*}$ gilt, $\begin{eqnarray*} ( f(m) \leq h(m)) \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Ich habe ja nur m in den Funktionen, die kann ich nicht verändern, wie soll ich also einen transitiven Schluss draus ziehen? Ich kapiers echt nicht Hammer

Hammer

20.06.2011, 16:03

Mazze

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Versuch mal genau zu beschreiben was Du nicht verstehst.

20.06.2011, 16:14

Fish-Guts

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Ich habe gelernt, dass wenn ich eine Relation aRb und bRc habe, und daraus aRc folgt, die Relation R transitiv ist.

In dieser Aufgabe habe ich Funktiionen, und m und n. Das irgendwie zusammenzuführen verwirrt mich. Ich sehe nirgends einen Anhaltspunkt um feststellen zu können, ob diese Relation nun transitiv ist oder nicht.

m bleibt unverändert, da wir ein n suchen. Wenn wir also ein $\begin{eqnarray*} n_1, n_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_3 \end{eqnarray*}$ haben, kann ich damit nichts anfangen. Ich kann diese einsetzen aber das hilft mir nicht weiter.

Nehmen wir das ganz mal auseinander.
$\begin{eqnarray*} (\exists n \in \mathbb N) (\forall m > n) f(m) \leq g(m) \end{eqnarray*}$ heisst, "Es existiert ein n für welches gilt, dass wenn m grösser ist $\begin{eqnarray*} f(m) \end{eqnarray*}$ kleiner oder gleich $\begin{eqnarray*} g(m) \end{eqnarray*}$ ist. Korrekt?

Im Prinzip müsste das doch heissen, wenn $\begin{eqnarray*} f(m) \leq g(m) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(m) \leq h(m) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} f(m) \leq h(m) \end{eqnarray*}$ gilt. Korrekt?

Aber kann ich denn einfach behaupten $\begin{eqnarray*} g(m) \leq h(m) \end{eqnarray*}$ ? Denn h ist nirgends in der Aufgabe definiert... Das verstehe ich nicht.

20.06.2011, 16:29

Mazze

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Zitat:

"Es existiert ein n für welches gilt, dass wenn m grösser ist $\begin{eqnarray*} f(m) \end{eqnarray*}$ kleiner oder gleich $\begin{eqnarray*} g(m) \end{eqnarray*}$ ist. Korrekt?

In meinen Worten : Ab einer bestimmen Zahl wird die Funktion g stets größer sein als die Funktion f.

Transitivität in Worten : Ab einer Zahl $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion f stets kleiner als g. Ab einer Zahl $\begin{eqnarray*} n_2 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion g stets kleiner als die Funktion h.

Wenn jetzt also f irgendwann immer kleiner als g ist, und g irgendwann immer klein als h ist, ist f dann irgendwann immer klein als h ? Und wenn ja, ab welchem irgendwann gilt das?

Zitat:

Aber kann ich denn einfach behaupten $\begin{eqnarray*} g(m) \leq h(m) \end{eqnarray*}$ ?

Das behauptest Du nicht, das nimmst Du an. Für die Transitivität nimmst Du 2 Aussagen an. Du nimsmt an dass f mit g in Relation steht, und Du nimmst an dass g mit h in Relation steht. Das sind die Annahmen. Die Relation R ist jetzt transitiv, wenn dann auch f und h in Relation stehen. Das f und h in Relation stehen ist zu zeigen.
Wir müssen also ein $\begin{eqnarray*} n_3 \end{eqnarray*}$ finden, so dass für alle $\begin{eqnarray*} m > n_3 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} f(m) \leq h(m) \end{eqnarray*}$ ist. Das ist die Aufgabe.

20.06.2011, 17:38

Fish-Guts

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Okay, das leuchtet ein.

Ich sehe sofort, dass dies zutrifft, weil $\begin{eqnarray*} f(m) \leq g(m) \end{eqnarray*}$ immer erfüllt ist, wenn $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist. Geht das so?

20.06.2011, 18:34

Mazze

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Zitat:

Geht das so?

Nein, das ist falsch. Das n hängt entschieden von der Funktion ab. Betrachte zum Beispiel :

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0.5 *x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g(x) = 2x - 4 \end{eqnarray*}$

Dann ist erst für n = 2 für alle x > n wirklich $\begin{eqnarray*} f(x) \leq g(x) \end{eqnarray*}$

Wir wissen nur dass es ein n gibt dass die Bedingung erfüllt.

20.06.2011, 22:33

Fish-Guts

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okay, aber in der Aufgabe ist nur verlangt, dass ich zeigen soll, ob die Relation eine Halbordnung oder eine Ordnung, oder keines von beidem ist.

Ist es wirklich notwendig, die Gleichung dafür aufzulösen?

20.06.2011, 22:53

Mazze

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Die Transitivität wirst Du schon zeigen müssen.

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