Summe Lagrange-Grundpolynome

14.12.2006, 16:42	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe Lagrange-Grundpolynome Hallo, kann mir jemand sagen, wie ich an folgenden Beweis rangehen soll? Für Stützstellen $\begin{eqnarray} x_0 < x_1 < ... < x_n \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^n L_i(x) = 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Ich muss ja schon sagen, ich finde diese Tatsache ziemlich faszinierend, aber ich habe wirklich keine Ahnung, warum dass so ist.
14.12.2006, 16:56	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe Lagrange-Grundpolynome Mmh, also mir käme da Idee das auf den Satz, dass ein Polynom vom Grad n mit n+1 Nullstellen dass Nullpolynom ist, zurückzuführen. $\begin{eqnarray} P_n= \sum_{i=0}^n L_i(x) =\sum_{i=0}^n L_i(x)\cdot 1 \end{eqnarray}$ Dann ließe sich $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ als IP durch $\begin{eqnarray} (x_i,1) \end{eqnarray}$ interpretieren. Dann hätte $\begin{eqnarray} P -1 = \sum_{i=0}^n L_i(x)\cdot 1 - 1 \end{eqnarray}$ n+1 Nullstellen Was hälst Du davon
14.12.2006, 17:38	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, tut mir leid, das raff' ich nich. Deine Folgerung in der letzten Zeile verstehe ich nicht ganz, und auch nicht, warum es mir weiterhelfen könnte, dass zu zeigen.
14.12.2006, 17:42	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also du willst zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^n L_i(x) =1 \end{eqnarray}$ Auf der Linken Seite steht die Summe der Lagrange-Polynome. Diese soll also gleich der konstanten Funktion 1 sein. Ich sage nun, dann kann man auch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^n L_i(x) -1 = 0 \end{eqnarray}$ die Nullfunktion ist. So weit klar?
14.12.2006, 17:49	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ok, das hab ich nun verstanden. Aber wenn ich diese Eigenschaft für alle x in R zeigen soll, bringt es mir doch nichts, zu zeigen, dass das Polynom n+1 Nullstellen hat? Ich meine, muss ich nicht zeigen, dass das Polynom 0 wird für ALLE möglichen x?
14.12.2006, 17:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Möglichkeit das IP durch n+1 Knoten zu bestimmen ist die mittels das Lagrange IP, das schreibt sich allgemein:# $\begin{eqnarray} IP_n(x) = \sum_{i=0}^n L_i(x)\cdot y_i \end{eqnarray}$ Nun wähle ich für alle i $\begin{eqnarray} y_i = 1 \end{eqnarray}$ und erhalte: $\begin{eqnarray} IP_n(x) = \sum_{i=0}^n L_i(x)\cdot 1 = \sum_{i=0}^n L_i(x) \end{eqnarray}$ Dann weiß ich, dass $\begin{eqnarray} IP_n \end{eqnarray}$ (n+1) - "Einsstellen" hat. Wie viele solcher Poylome gibt es??? Weiß ich so nicht. Nun verschiebe ich die Funktion horizontal um 1 nach unten. Betrachte also $\begin{eqnarray} P_n(x) = IP_n(x) - 1 \end{eqnarray}$ Dieses Polynom ist von Grad n und hat n+1 Nullstellen. Folglich ist es das Nullspolynom. Folglich ist $\begin{eqnarray} IP_n \end{eqnarray}$ das konstante Polynom 1, und $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^n L_i(x) = 1 \end{eqnarray}$
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14.12.2006, 18:09	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich habe mal versucht, mir das geographisch vorzustellen und verstehe nun, was du meinst. Wenn man im Kopf behält, was $\begin{eqnarray} y_i \end{eqnarray}$ eigentlich ist, nämlich der Funktionswert, und wie das Polynom dann unter den gegebenen Bedingungen grafisch aussieht, ist dein Lösungsweg nun mehr als einleuchtend. Vielen Dank.
16.03.2007, 17:54	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
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