Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen

20.06.2011, 18:40

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen

Aufgabe: Ich muss bestimmen, ob die Funktion $\begin{eqnarray*} y=(2x-1)^7 (4-2x)^5 \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\leq x\leq 2 \end{eqnarray*}$ ein absolutes Minimum oder Maximum annimmt

Mein Vorschlag: $\begin{eqnarray*} y''=42(2x-1)^5 20 (4-2x)^3 \end{eqnarray*}$

dann habe ich gesehen das y''(2) und y''(1/2) =0 ergab

ich schaute nun, wo $\begin{eqnarray*} 42 (2x-1)^5 \end{eqnarray*}$ positiv bzw negativ ist und dasselbe habe ich für $\begin{eqnarray*} 20(4-2x)^3 \end{eqnarray*}$ gemacht mit folgendem Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} 42(2x-1)^5 x\geq 0,5 \end{eqnarray*}$ ein Maximum
$\begin{eqnarray*} 20(4-2x)^3 x\geq 2 \end{eqnarray*}$ ein Minimum

20.06.2011, 18:47

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
1. Was heißt absolutes Min/Max

2. Warum setzt du die zweite Ableitung gleich 0?

3. Die Produktregel scheint mir nicht korrekt angewendet

4. Wo verwendest du, dass man f nur auf einem kompakten Intervall betrachtet?

20.06.2011, 18:52

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
ok ich rechne nochmal die zweite Ableitung

20.06.2011, 18:54

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

beachte bitte auch meine anderen Fragen.

20.06.2011, 18:54

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
y''= $\begin{eqnarray*} 42(2x-1)^5 (4-2x)^5 + 5(4-2x)^4 7(2x-1)^6 + 5(4-2x)^4 (2x-1)^7 + 7(2x-1)^6 5(4-2x)^4 \end{eqnarray*}$

20.06.2011, 18:55

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
absolutes Minimum bzw Maximum bedeutet, dass die zweite Ableitung >0 (Min) oder <0 (Max) sein muss

Anzeige

20.06.2011, 18:59

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen

Zitat:

Original von wisor1992
absolutes Minimum bzw Maximum bedeutet, dass ich die zweite Ableitung >0 (Min) oder <0 (Max) sein muss

Du musst eine zweite Ableitung sein?

Was ist denn dann ein Beispiel für ein Maximum, aber kein absolutes?

Ich würde die Begriffe, auch den Vergleich mit einem lokalen/relativen Maximum, noch einmal nachschlagen.

20.06.2011, 19:05

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
also die erste Ableitung muss ich auch gleich null setzen und dann in der zweiten Ableitung einsetzen

20.06.2011, 19:06

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
Das ist zwar mehr auf dem richtigen Weg, beantwortet meine Frage nach dem Maximum aber nicht.

20.06.2011, 19:09

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
Maximum bedeutet, dass das Ergebnis der zweiten Ableitung kleiner als 0 ist

20.06.2011, 19:11

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
Jetzt habe ich die erste Ableitung gleich 0 gesetzt und es kommt für x1=2 und für x2=0,5 heraus. Wenn ich das in die zweite Ableitung einsetze bekomme ich 0 heraus

20.06.2011, 19:19

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen

Zitat:

1. Was heißt absolutes Min/Max

...
4. Wo verwendest du, dass man f nur auf einem kompakten Intervall betrachtet?

Gleich habe ich keine Lust mehr. Du hast den entscheidenden Punkt immer noch nicht nachgeschlagen. Es geht um absolute Extremwerte und nicht um relative.

http://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert

Der erste Schritt muss also sein, sich die Fuktionswerte an den Intervallrändern zu notieren. Dann kann man die relativen Extreme bestimmen (1. Ableitung gleich 0 als Kandidaten, Test ggf. mit zweiter Ableitung) und schauen, ob sie im Intervall liegen und dann vergleicht man die Funktionswerte.

20.06.2011, 19:22

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
was meinst du mit "und dann vergleicht man die Funktionswerte" Welche Funktionswerte?

20.06.2011, 19:25

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
Der erste Schritt muss also sein, sich die Fuktionswerte an den Intervallrändern zu notieren. und mit denen vergleicht man die lokalen Extremwerte im Intervall.

20.06.2011, 19:35

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
Was sind die Funktionswerte an den Intervallrändern? ist das nicht x=2 und x=1/2

20.06.2011, 19:38

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
Nun denk bitte aber auch mal nach, bevor du was schreibst.... Die Intervallränder sind x=0.5 und x=2. Aber die Funktionswerte sind wohl f(0.5) und f(2)...

20.06.2011, 19:43

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
ok und wenn ich die Intervallränder in die zweite Ableitung einsetze dann kommt 0 heraus, daher weiß ich nicht ob es ein Maximum oder Minimum ist

20.06.2011, 19:48

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
Du sollst die nicht in eine Ableitung einsetzen. du hast immer noch nicht verstanden, was ein globales/absolutes Extremum ist...

20.06.2011, 19:52

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
ein globales Maximum ist, wenn f(x0) >= f(X) gilt.
also soll ich die Intervallränder in der Funktion einsetzen: also f(0,5) und f(2)

20.06.2011, 19:55

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen

Zitat:

Der erste Schritt muss also sein, sich die Fuktionswerte an den Intervallrändern zu notieren.

Es sollte mit diesem Satz doch klar sein, was zu tun ist.

Zitat:

also soll ich die Intervallränder in der Funktion einsetzen: also f(0,5) und f(2)

ja.

20.06.2011, 19:58

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
$\begin{eqnarray*} (2x-1)^7 (4-2x)^5 \geq 0 \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} (2x-1)^7 \geq 0 \end{eqnarray*}$ und das stimmt

20.06.2011, 20:07

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
Warum sollten diese Bedingungen gleichwertig sein?

edit: Bitte arbeite einfach mal die Punkte, die ich genannt habe ab. Sie führen direkt zur Lösung.

Ich bin nun off.

20.06.2011, 20:08

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
stimmt das nicht?
Was soll ich dann machen?

20.06.2011, 21:48

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
könnte mir jemand bitte weiterhelfen

20.06.2011, 21:50

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

1. Was heißt absolutes Min/Max

...
4. Wo verwendest du, dass man f nur auf einem kompakten Intervall betrachtet?

Gleich habe ich keine Lust mehr. Du hast den entscheidenden Punkt immer noch nicht nachgeschlagen. Es geht um absolute Extremwerte und nicht um relative.

http://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert

Der erste Schritt muss also sein, sich die Fuktionswerte an den Intervallrändern zu notieren. Dann kann man die relativen Extreme bestimmen (1. Ableitung gleich 0 als Kandidaten, Test ggf. mit zweiter Ableitung) und schauen, ob sie im Intervall liegen und dann vergleicht man die Funktionswerte.

Ich habe dir hier doch klar und deutlich gesagt, was deine nächsten Schritte sein sollen. Kannst du das nicht einfach mal machen und die Ergebnisse präsentieren? Dann können wir sie auswerten.

20.06.2011, 21:55

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen

Zitat:

Original von wisor1992
$\begin{eqnarray*} (2x-1)^7 (4-2x)^5 \geq 0 \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} (2x-1)^7 \geq 0 \end{eqnarray*}$ und das stimmt

Bei mir kommt nur das heraus wenn ich f(2) und f(1/2) einsetze

20.06.2011, 22:06

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
Ich glaube,dass ich für diese Rechnung viel zu blöd bin! Aber ich werde doch Recht haben, dass f(2) =0 und f(1/2)=0 ergibt.

20.06.2011, 22:08

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
Mein Auftrag war klar und deutlich. f(2) ist eine konkrete Zahl. Die wollte ich notiert wissen. Mir unverständlich, was an

$\begin{eqnarray*} f(0.5)=(2\cdot 0.5-1)^7 (4-2\cdot 0.5)^5 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(2)=(2\cdot 2-1)^7 (4-2\cdot 2)^5 = 0 \end{eqnarray*}$

nun so lange dauert. Dein letzter Post ist mal wieder kryptisch und ich habe kein Interesse, das zu interpretieren. Das wir generell kein Interesse an solcher Kommunikation haben, wurde die auch schon hier gesagt.

edit:
Nicht zuhören hat nichts mit zu blöd zu tun. Eher mit Ignoranz.

Offen ist noch:

Zitat:

Dann kann man die relativen Extreme bestimmen (1. Ableitung gleich 0 als Kandidaten, Test ggf. mit zweiter Ableitung) und schauen, ob sie im Intervall liegen und dann vergleicht man die Funktionswerte.

Entweder es kommt nun eine vernünftig formulierte Antwort [was tue ich wie und warum], oder ich bin hier raus.

20.06.2011, 22:19

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
Also wenn ich nun in der zweiten Ableitung die Intervalle einsetze: $\begin{eqnarray*} y''(1/2)=42(1-1)^5 (4-1)^5 + 5(41)^4 7(1-1)^6 + 5(4-1)^4 (1-1)^7 + 7(1-1)^6 5(4-1)^4 \end{eqnarray*}$ dann kommt 0 heraus
Auch bei $\begin{eqnarray*} y''(2) \end{eqnarray*}$ kommt 0 heraus

Wie Du sagtest, soll ich die Funktionswerte miteinander vergleichen und ich sehe, dass beide Funktionswerte 0 ergeben

20.06.2011, 22:25

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
Ich mag mich nicht mehr wiederholen. Seid dem ersten Post sage ich dir, dass du - was auch immer du mit der zweiten Ableitung treibst - sein lassen sollst.

Du sollst nun lokale Extremstellen ermitteln.

Zitat:

Dann kann man die relativen Extreme bestimmen (1. Ableitung gleich 0 als Kandidaten, Test ggf. mit zweiter Ableitung)

Wo steht da was zu? Das war der Auftrag.

20.06.2011, 22:31

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
-- falsche Ableitung --

20.06.2011, 22:38

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen

Wir sehen, dass es auch im Intervall eine Nullstelle der Ableitung geben muss... unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} f(x)=(2x-1)^7 (4-2x)^5 \end{eqnarray*}$

Wir sehen, dass bei $\begin{eqnarray*} x=0.5 \end{eqnarray*}$ eine 7-fache Nullstelle und bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ eine 5-fache Nullstelle vorliegt. Folglich sind auch die erste und zweite Ableitung dort 0.

$\begin{eqnarray*} f'(x)&&=7\cdot 2(2x-1)^6(4-2x)^5 + 5\cdot (-2)(2x-1)^7 (4-2x)^4<br /> &&= (2x-1)^6(4-2x)^4\Bigl(14(4-2x) -10(2x-1) \Bigr) \end{eqnarray*}$

Deine Klammerung stimmt also nicht. Noch mal.

20.06.2011, 22:55

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
Also dann setze ich nochmals mit der richtigen Klammerung die erste Ableitung gleich null
$\begin{eqnarray*} 7(4-2x)+5(2x-1)=0 <br /> 28-14x+10x-5=0<br /> 23-4x=0<br /> 23=4x <br /> x=5,75 \end{eqnarray*}$

Dieses Ergebnis befindet sich nicht im Intervall.
Dann kann ich dieses Ergebnis in die zweite Ableitung einsetzen und schauen, ob es ein MAX oder MIN ist

P.S.: Es tut mir aufrichtlich leid, dass es zu großen Komplikationen kam, aber leider blöd wie ich bin, habe ich die erste Ableitung falsch berechnet und daher kamen die beiden Ergebnisse heraus, die dann zum Missverständnis führten. Ich hoffe, dass Du mir verzeihst. Es tut mir wirklich sehr leid

20.06.2011, 23:31

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
$\begin{eqnarray*} 0=14(4-2x) -10(2x-1)=66-48x \end{eqnarray*}$

Also [l]x=1.375[/] als weitere Nullstelle der Ableitung.

21.06.2011, 06:08

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
Also diese Nullstelle x=1,375 befindet sich innerhalb des Intervalls 0,5<x<2. Dann setze ich diese Nullstelle in die zweite Ableitung:
$\begin{eqnarray*} y''=14\left[(6*2)(2x-1)^5 (4-2x)^5 + 5 (-2) (4-2x)^4(2x-1)^6\right]12 -10 \left[7(2x-1)^6 (4-2x)^4+ 4 (-2) (4-2x)^3 (2x-1)^7 \right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''=14\left[(12) 1,75^5 1,25^5 -(10) 1,25^4 1,75^6\right] -10 \left[(14) 1,75^6 1,25^4 -(8) 1,25^3 1,75^7\right] \leq 0 \end{eqnarray*}$ und ist daher ein MAX.

21.06.2011, 06:12

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
Hast du dir die Grafki mal angesehen? Sieht es da wie ein Minimum aus.... verwirrt

verwirrt

21.06.2011, 06:18

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen
Nein ist ein Maximum habe vergessen beim Subtrahieren die Hochzahlen anzuschauen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »