Trigonalisierbare,Kommutierende Matrizen

20.06.2011, 20:31	Beelzebub	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonalisierbare,Kommutierende Matrizen Meine Frage: Hi, ich hänge grade an dieser Aufgabe und habe teilweise Probleme meine Gedanken zu dieser mathematisch-korrekt aufzuschreiben. Hier die Aufgabe: Es sei K ein Körper und $\begin{eqnarray} A,B\in K^{nxn} \end{eqnarray}$ mit AB=BA. Zeigen Sie: Sind A und B trigonalisierbar, dann existiert eine Matrix $\begin{eqnarray} T\in GL_n (K) \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} T^{-1}AT \ und \ T^{-1}BT \end{eqnarray}$ obere Dreiecksmatrizen sind. Hinweise: Orientieren Sie sich am Beweis für eine einzelne Matrix. Überlegen Sie zuerst, das es genügt zu zeigen, dass A und B einen gemeinsamen Eigenvektor besitzen. Einen solchen finden Sie folgendermaßen: Es sei v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert a. dann ist $\begin{eqnarray} E_a (A) \end{eqnarray}$ invariant unter B, d.h. $\begin{eqnarray} Bw\in E_a(A) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} w\in E_A (A) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Seien A,B trigonalisierbar, also ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix C bzw. D mit den Diagonalelementen $\begin{eqnarray} c_1,c_2,...,c_n \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} d_1,d_2,...,d_n \end{eqnarray}$ . Laut Kästchensatz gilt dann also: $\begin{eqnarray} X_A =X_C=(X-c_1)...(X-c_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_B =X_D=(X-d_1)...(X-d_n) \end{eqnarray}$ . Wobei $\begin{eqnarray} c_n \ bzw. \ d_n \end{eqnarray}$ die Diagonaleinträge von C bzw. D sind und gleichzeitig die Eigenwerte von A bzw. B. Per Induktion: Der Induktionsanfang n=1 ist trivial. Betrachten wir nun n>1 und die Aussage für n-1 bereits bewiesen. Wegen A trigonalisierbar, zerfällt dessen char. Polynom vollständig in Linearfaktoren. Da $\begin{eqnarray} X_A (c_1)=0 \end{eqnarray}$ ist dieser ein Eigenwert von A. Wir wählen nun einen Eigenvektor $\begin{eqnarray} v_1 \in K^n \end{eqnarray}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray} c_1 \end{eqnarray}$ und ergänzen ihn zu einer geordneten Basis $\begin{eqnarray} B=(v_1,...,v_n) \ von \ K^n \end{eqnarray}$ . Dann hat die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray} M^{B}_{\varphi_{A}} \end{eqnarray}$ die folgende Form: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}c_{1} & \vline & \\ \hline 0 & \vline & D\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} D \in K^{(n-1)x(n-1)} \end{eqnarray}$ . Es gilt also $\begin{eqnarray} X_A = X_{M^{B}_{\varphi_{A}}}=(X-c_1)X_D \end{eqnarray*}$ . Hier fängt es an zu haken. Ich schaff es nicht die Induktion zuende durchzuführen. Ausserdem bin ich mir nicht sicher ob es reicht zu zeigen das wenn A ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist, es auch analog für B gilt(da diese Kommutieren und somit einen gemeinsamen Eigenvektor besitzen). Bin für jede Hilfe dankbar. Viele Grüße Beelzebub
21.06.2011, 12:47	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonalisierbare,Kommutierende Matrizen Hallo Beelzebub, Warum gehst Du denn nicht mal dem Hinweis nach? Wenn Du gezeigt hast, dass $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ einen gemeinsamen Eigenvektor haben, dann ist das auch ein EV zu $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ (zum EW $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ ) und Du kannst $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ schreiben als $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}f_1&\\0&X\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dann Induktion. Gruß, Reksilat. PS: Die Bezeichnung $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray*}$ für die Basis ist hier ungünstig.

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