Konvergent oder divergent

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Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergent oder divergent
Hallo,

ich soll folgende Reihe auf Konvergenz oder Divergenz prüfen:




Meine Idee:

Vielleichtmit dem Quotientenkriterium ? (habe es schon versucht aber kein Ergebnis erhalten)

Kommt man mit diesem Kriterium überhaupt weiter ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, damit kommst du nicht weiter. Mit Quotienten- oder Wurzelkriterium kommt man bei gebrochenrationalen Ausdrücken nie weiter. Das sollte doch bekannt sein.
 
 
Auli Auf diesen Beitrag antworten »

aber vielleicht findest du ja eine konvergente Majorante?
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich es mit dem Vergleichskriterium lösen.


Hier habe ich nur das Problem das ich das nicht so richtig verstanden habe.


Ich muss jetzt den Ausdruck:



Vergleichen.

Nur mit was ? verwirrt

Ich hab mir schon mal ein paar Beispiele angeschaut und dabei versteh ich nie wo die auf einmal den zu vergleichenden Ausdruck herbekommen.
Der steht dann da einfach immer so ohne größere Erklärung.


Ich schau mir das nochmal an vielleicht versteh ich es dann.

Aber wäre trozdem gut, wenn mir jemand ein paar Tips dazu geben könnte smile
Godric Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ihr in der Vorlesung oder in der Übung eine Reihe, die konvergiert, und zudem deine Reihe kleiner als diese Reihe ist, dann konvergiert auch deine Reihe. Umgekehrt gilt dies für bestimmte Divergenz. Viel Erfolg!
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier habe ich nochmal eine schöne Aufgabe auf Matheboard gefunden, wo ich nicht verstehe wo der zu vergleichende Ausdruck herkommt.


matheboard.de/archive/28817/thread.html



vielleicht kann mir jemand erklären wo der zu vergleichende Ausdruck herkommt.

Wär echt super smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Konvergenzverhalten der Reihen sollte gewissermaßen Grundwissen sein:

Für divergent, für konvergent.

Wenn du's bis jetzt nicht gewusst hast, jetzt weißt du es (Nachweis z.B. mit Verdichtungskriterium).


Und genau eine solche Reihe bietet sich auch hier als Vergleichsreihe an: Welcher Exponent wird da wohl passen? verwirrt
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000

Und genau eine solche Reihe bietet sich auch hier als Vergleichsreihe an: Welcher Exponent wird da wohl passen? verwirrt




Sorry, ich weiß jetzt nicht so genau ob du von:

sprichst oder von meiner gestellten Aufgabe.

Zu
hast du doch gesagt wenn alpha größer als 1 ist konvergirt es und wenn alpha kleiner 1 ist divergiert es.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe bitte meinen Beitrag als Ergänzung zu

Zitat:
Original von Godric
Wenn ihr in der Vorlesung oder in der Übung eine Reihe, die konvergiert, und zudem deine Reihe kleiner als diese Reihe ist, dann konvergiert auch deine Reihe. Umgekehrt gilt dies für bestimmte Divergenz.

was die Beschreibung zum Majoranten- bzw. Minorantenkriterium ist.
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Verstehe bitte meinen Beitrag als Ergänzung zu

Zitat:
Original von Godric
Wenn ihr in der Vorlesung oder in der Übung eine Reihe, die konvergiert, und zudem deine Reihe kleiner als diese Reihe ist, dann konvergiert auch deine Reihe. Umgekehrt gilt dies für bestimmte Divergenz.

was die Beschreibung zum Majoranten- bzw. Minorantenkriterium ist.


Hm, hoffentlich habe ich dich jetzt richtig verstanden.

Da es sich um eine Nullfolge handelt ist die Reihe konvergent. Man verwendet das Majorantenkriterium.



Ist das schon ein Beweis oder braucht man da noch mehr ?
Godric Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abschätzung ist falsch. Wenn du den Nenner verminderst erhöhst du das Verhältnis von Zähler und Nenner. Du bist aber nah dran!

PS:
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Godric
Die Abschätzung ist falsch. Wenn du den Nenner verminderst erhöhst du das Verhältnis von Zähler und Nenner. Du bist aber nah dran!

PS:



Versteh ich nicht unglücklich
Ich habe mal versucht deinen Hinweis einzubauen.

René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Godric, du liegst falsch: Die Abschätzung ist sehr wohl richtig. Und es ist auch genau die Abschätzung, die man für die Anwendung des Majorantenkriteriums braucht. Freude
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von René Gruber
Godric, du liegst falsch: Die Abschätzung ist sehr wohl richtig. Und es ist auch genau die Abschätzung, die man für die Anwendung des Majorantenkriteriums braucht. Freude


Gut smile


Wie sieht man eigentlich ob man das Majorantenkriterium oder das Minorantenkriterium verwendet ?

Ich hab vorher schon mal geschrieben dass man bei einer Nullfolge das Majorantenkriterium verwendet.

Jetzt bin ich wieder verunsichert. Ich habe gelesen das, dass nur die halbe Miete ist. Im Falle einer Nullfolge ist eine Konvergenz möglich aber nicht zwingend vorhanden.

Anders sieht es aus, wenn es sich um keine Nullfolge handelt. Daraus folgt aber automatisch, dass die Reihe divergiert.
Anders gesagt müsste das Minorantenkriterium eigentlich überflüssig sein.

Nochmal die Hauptfrage:
Stimmt das so alles bzw. wie sieht man ober man das Majorantenkriterium oder das Minorantenkriterium verwendet ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast1_2_3_4
Anders gesagt müsste das Minorantenkriterium eigentlich überflüssig sein.

Da hast du wohl was missverstanden. Mal ein Beispiel: In der Reihe



bilden die Reihenglieder sehr wohl eine Nullfolge. Dennoch ist diese Reihe divergent, was sich mit dem Minorantenkriterium nachweisen lässt, eine passende Minorante ist z.B. .


Zitat:
Original von Gast1_2_3_4
wie sieht man ober man das Majorantenkriterium oder das Minorantenkriterium verwendet ?

Es besteht einfach keine Verwechslungsgefahr: Im Fall einer tatsächlich konvergenten Reihe wirst du keine divergente Minorante finden, und im Fall einer divergenten Reihe keine konvergente Majorante. smile

Was nicht ausschließt, dass du bei der entsprechenden Suche mal Fehlschläge einstecken musst, wie etwa divergente Majoranten oder konvergente Minoranten, die dann leider nicht zu gebrauchen sind.
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000



bilden die Reihenglieder sehr wohl eine Nullfolge. Dennoch ist diese Reihe divergent, was sich mit dem Minorantenkriterium nachweisen lässt, eine passende Minorante ist z.B. .


Bei mir sieht das irgendwie anders aus verwirrt

Und bei mir hats auch irgendwie mit dem Majorantenkriterium und nicht so wie bei dir mit dem Minorantenkriterium funktioniert (ob das stimmt ist eine andere Frage )









Da
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast1_2_3_4

Das ist genau das, wovon ich gerade gesprochen habe, aber du hast wohl nicht wirklich zugehört:

Mit dieser deiner Abschätzung hast du eine divergente Majorante gefunden. Entschuldige das offene Wort: Diese Abschätzung hat in Hinblick auf die Entscheidung "Konvergenz/Divergenz" nicht den geringsten Wert. unglücklich

Die Ausgangsreihe ist divergent, also brauchst du die Abschätzung in der anderen Richtung, für die ich oben eine mögliche angegeben habe.
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Gast1_2_3_4

Das ist genau das, wovon ich gerade gesprochen habe, aber du hast wohl nicht wirklich zugehört:

Mit dieser deiner Abschätzung hast du eine divergente Majorante gefunden. Entschuldige das offene Wort: Diese Abschätzung hat in Hinblick auf die Entscheidung "Konvergenz/Divergenz" nicht den geringsten Wert. unglücklich

Die Ausgangsreihe ist divergent, also brauchst du die Abschätzung in der anderen Richtung, für die ich oben eine mögliche angegeben habe.



Das muss ich jetzt mal Schritt für Schritt durch gehen.
Ich fang ersmal hiermit an:

Zitat:

Die Ausgangsreihe ist divergent, also brauchst du die Abschätzung in der anderen Richtung, für die ich oben eine mögliche angegeben habe.




Ich dachte wir wissen nur das es sich um eine Nullfolge handelt die sowohl konvergieren als auch divergieren kann.



Zitat:
Original von Gast1_2_3_4
wie sieht man ober man das Majorantenkriterium oder das Minorantenkriterium verwendet ?

Zitat:
Es besteht einfach keine Verwechslungsgefahr: Im Fall einer tatsächlich konvergenten Reihe wirst du keine divergente Minorante finden, und im Fall einer divergenten Reihe keine konvergente Majorante. smile



Ich habe aber eine divergente Majorante gefunden.
Ah ok ich habe also einen Fall überprüft den es gar nicht gibt bzw. total unwichtig ist.

Also muss ich zur Überprüfung der Divergenz/Konvergenz folgende Fälle untersuchen:

Konvergenzprüfung:
Schauen ob es eine divergente Minorante gibt (eine konvergente Minorante scheint hier nicht von Bedeutung zu sein)

Liegt keine divergente Minorante vor, so ist die Reihe konvergent.


Divergenzprüfung:
Schauen ob es eine konvergente Majorante gibt. Liegt keine vor, so divergiert die Reihe.


Daraus folgt, wenn einer dieser Fälle auftritt musss es das andere sein.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast1_2_3_4
Schauen ob es eine divergente Minorante gibt (eine konvergente Minorante scheint hier nicht von Bedeutung zu sein)

Liegt keine divergente Minorante vor, so ist die Reihe konvergent.

Wie willst du den wissen, dass es KEINE gibt? unglücklich

Diese Kriterien wirken im Erfolgsfall: D.h., wenn du eine divergente Minorante gefunden hast, weißt du sicher, dass die Ausgangsreihe divergiert.

Im Misserfolgsfall, d.h. findest du keine solche divergente Minorante, dann kannst du daraus erstmal gar nichts für das Konvergenzverhalten folgern. Auf gar keinen Fall kannst du dann auf Konvergenz schließen!

Zitat:
Original von Gast1_2_3_4
Schauen ob es eine konvergente Majorante gibt. Liegt keine vor, so divergiert die Reihe.

Dito: Findest du keine konvergente Majorante, dann steht die Entscheidung noch aus.



P.S.: Es gibt keine Erfolgsgarantie, dass entweder Majoranten- oder Minorantenkriterium zum Erfolg führt, wenn du nur eine begrenzte Menge von Vergleichsreihen im Repertoire hast. Beispiel: Wenn du etwa



hinsichtlich Majoranten- oder Minorantenkriterium mit Reihen nur vom Typ vergleichen möchtest, dann wird dir das nicht in brauchbarer Weise gelingen. Da müssen dann andere Kriterien ran.
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Das verwirrt mich alles sehr fast schon zum traurig



Zitat:
Wie willst du den wissen, dass es KEINE gibt?

Diese Kriterien wirken im Erfolgsfall: D.h., wenn du eine divergente Minorante gefunden hast, weißt du sicher, dass die Ausgangsreihe divergiert.

Im Misserfolgsfall, d.h. findest du keine solche divergente Minorante, dann kannst du daraus erstmal gar nichts für das Konvergenzverhalten folgern. Auf gar keinen Fall kannst du dann auf Konvergenz schließen!



Durch probieren oder ?

Ich glaube deine Botschaft soll mir sagen das, wenn ich mit dem Minoranten/Majorantenkriterium keinen Erfolg habe es nicht zwingend heißt das die Reihe konvergiert.

Ja, es gibt noch andere Konvergenzkriterien. Muss ich die dann alle vorher ausprobieren ?
Na gut manche kann man auch ausschließen.
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Zurück zu deinem Beispiel:




Welche Konvergenzkriterien wären hier möglich ?

Ausschließen kann ich schon mal:

Leibnizsches (100%)

Quotientenkriterium könnte man mal ausprobieren wenn eine 1 raus kommt fällt es auch weg (hab hier aber auch schon gehört das es sofort wegfällt bei gebrochenrationalen Ausdrücken)

Wurzelkriterium könnte eine Lösung bringen.

Aber eigentlich wollten wir es ja mit dem Minorantenkriterium lösen.



Minorantenkriterium:










Wenn meine Abschätzung stimmt habe ich eine divergente Minorante gefunden und somit ist die Reihe divergent.

Falls ich das richtig verstanden habe verwirrt

Zitat:
Es besteht einfach keine Verwechslungsgefahr: Im Fall einer tatsächlich konvergenten Reihe wirst du keine divergente Minorante finden, und im Fall einer divergenten Reihe keine konvergente Majorante.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Das Konvergenzverhalten der Reihen sollte gewissermaßen Grundwissen sein:

Für divergent, für konvergent.
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist es konvergent und bringt mir wieder nichts unglücklich



Nach der Regel.

Zitat:
Es besteht einfach keine Verwechslungsgefahr: Im Fall einer tatsächlich konvergenten Reihe wirst du keine divergente Minorante finden, und im Fall einer divergenten Reihe keine konvergente Majorante.



Muss ich also weiter suchen oder ?
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Da hast du wohl was missverstanden. Mal ein Beispiel: In der Reihe



bilden die Reihenglieder sehr wohl eine Nullfolge. Dennoch ist diese Reihe divergent, was sich mit dem Minorantenkriterium nachweisen lässt, eine passende Minorante ist z.B. .


Zitat:
Original von Gast1_2_3_4
wie sieht man ober man das Majorantenkriterium oder das Minorantenkriterium verwendet ?

Es besteht einfach keine Verwechslungsgefahr: Im Fall einer tatsächlich konvergenten Reihe wirst du keine divergente Minorante finden, und im Fall einer divergenten Reihe keine konvergente Majorante. smile

Was nicht ausschließt, dass du bei der entsprechenden Suche mal Fehlschläge einstecken musst, wie etwa divergente Majoranten oder konvergente Minoranten, die dann leider nicht zu gebrauchen sind.


Hm, brauch nochmal hilfe, ist die Reihe wirklich divergent ?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst wohl davon ausgehen, dass HAL da keine Witze macht. Selbst die divergente Minorante hat er dir schon vorgekaut.

Edit: Um doch nicht allzuviel zu verraten: Versuch doch mal, was aus der Wurzel auszuklammern und geeignet abzuschätzen. Bedenke: Wird der Nenner größer, wird der Gesamtausdruck kleiner.
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Regel zum Minorantenkriterium lautet:





Für unseren Fall stellt sich jetzt die Frage:




Also müssen wir doch den Nenner vergrößern oder ?

Weil du hast ja was von ausklammern geschrieben.


Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast1_2_3_4
Die Regel zum Minorantenkriterium lautet:



Ah ja, das soll das vollständig ausformulierte Minorantenkriterium sein?

Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

So steht es jedenfalls hier:

Und die Zahlen dürfen nicht negativ sein

de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium



Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast1_2_3_4
de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium

Ist ja gut, dass du nochmal auf das Majorantenkriterium aufmerksam machst. Ich könnte auch noch einen Link zu Winnetou oder der Enola Gay beisteuern. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Gast1_2_3_4

Interessante Aussage. Für n=1 ergibt sich also

Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »




Ist nicht wirklich das gleiche.





Aber wenn ich da noch eine 1 dran hänge müsste es für n=1 gleich groß sein.


Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab die Wurzel vergessen:

Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Machen wir es doch so:



Jetzt schätze die Wurzel ab. Wie gesagt: HAL hat dir die Abschätzung schon zu 99% vorgekaut.
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt schon wieder nicht. Kann es ja auch gar nicht wenn der Nenner links größer ist als rechts
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Das größte was unter der Wurzel stehen kann ist eine 2
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast1_2_3_4
Das größte was unter der Wurzel stehen kann ist eine 2

Folglich?
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, wird ja immer besser. Also auch .

Edit: Also eventuell klingt das jetzt alles etwas beleidigend, dann sorry dafür, aber bitte reflektiere deine Aussage jetzt auch mal ein wenig, die beinhalten einfach auch ein bisschen Unsinn.

Mit der 2 warst du doch schon auf einer guten Spur.
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich wollte ich nur sagen das n zwischen 0 und 1 ist.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast1_2_3_4
Eigentlich wollte ich nur sagen das n zwischen 0 und 1 ist.

Wieder eine interessante Aussage, wenn man bedenkt, dass n der Laufindex ist und von 1 bis unendlich geht. Also:

eben wegen

Statt 2n kannst du auch fünfhundert Trilliarden n nehmen.
Gast1_2_3_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Und die Wurzel kann man dann einfach so weg lassen.
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