Gleichung mit n und k

21.06.2011, 10:15

wisor1992

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Gleichung mit n und k

Die Aufgabe lautet: Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n-1\\ k-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wobei n und k beliebige natürliche Zahlen sind, für die n>k>0 gilt.

Mein Lösungsvorschlag lautet:
1) Die Gleichung anders anschreiben $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!(n-k)!}= \frac{(n-1)!}{k! (n-1-k)!}+\frac{(n-1)!}{(n-k)! (k-1)!} \end{eqnarray*}$

2) für k=1 und für n=2 eingesetzt, damit ich das Kürzen vermeide

3) Habe dann folgende Gleichung herausbekommen: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{1}= \frac{1}{1}+\frac{1}{1} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 2=2 \end{eqnarray*}$

Jetzt wollte ich Euch fragen, ob es erlaubt ist für n und k beliebige natürliche Zahlen einzusetzen?

21.06.2011, 10:21

Iorek

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Nein, es ist natürlich nicht erlaubt einfach irgendwelche Zahlen einzusetzen, schließlich sollst du es für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n>k \end{eqnarray*}$ zeigen; bisher hast du es für nur $\begin{eqnarray*} n=2>k=1 \end{eqnarray*}$ gezeigt, es gibt aber noch unendlich viele weitere Möglichkeiten für die du das dann so zeigen müsstest.

21.06.2011, 10:28

wisor1992

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ok dann muss ich kürzen!
1)n!=n(n-1)! also kann ich (n-1)!=(n-1)! kürzen oder?
2) k! kann ich mit k! kürzen
3) (n-k)! kann ich ebenfalls kürzen

21.06.2011, 10:30

Iorek

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Dann mach das dochmal und beschreibe es nicht nur.

21.06.2011, 10:33

wisor1992

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ok nachdem dem Kürzen bleibt noch folgende Gleichung stehen: $\begin{eqnarray*} \frac{n}{1}= \frac{1}{(n-1-k)!}+\frac{(n-1)!}{(k-1)!} \end{eqnarray*}$

21.06.2011, 10:36

Iorek

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Hast du jetzt zwischen den Brüchen so gekürzt, wie es dir gerade gepasst hat? geschockt

geschockt

Tipp: bevor du dich in Kürzungsorgien stürzt, fange mit $\begin{eqnarray*} \binom {n-1}k + \binom {n-1}{k-1} \end{eqnarray*}$ an und forme das um bis du auf $\begin{eqnarray*} \binom nk \end{eqnarray*}$ kommst.

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21.06.2011, 10:44

wisor1992

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Zitat:

Original von Iorek
Hast du jetzt zwischen den Brüchen so gekürzt, wie es dir gerade gepasst hat? geschockt

geschockt

Tipp: bevor du dich in Kürzungsorgien stürzt, fange mit $\begin{eqnarray*} \binom {n-1}k + \binom {n-1}{k-1} \end{eqnarray*}$ an und forme das um bis du auf $\begin{eqnarray*} \binom nk \end{eqnarray*}$ kommst.

verstehe nicht wie ich die beiden zusammennehme
Mit einem gemeinsamen Nenner?

21.06.2011, 10:46

Iorek

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Das wäre ein Anfang, ja.

21.06.2011, 10:50

wisor1992

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Dann habe ich die beiden wie folgt zusammengenommen: $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!(n-k)!}= \frac{(n-1)!(n-k)!+ (n-1)! k(n-1-k)!}{k(n-1-k)! (n-k)! (k-1)!} \end{eqnarray*}$

21.06.2011, 10:59

Iorek

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Wo kommt jetzt die linke Seite der Gleichung auf einmal her?

Und deinen Schritt kann ich auch nicht so ganz nachvollziehen:

$\begin{eqnarray*} \binom {n-1}k + \binom{n-1}{k-1}=\frac {(n-1)!}{k!(n-1-k)!}+\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!} \end{eqnarray*}$ , vereinfache zuerst einmal innerhalb der Klammern soweit es geht und suche dann den Hauptnenner.

21.06.2011, 11:05

wisor1992

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also ich habe nun (n-1)! auf beiden Seiten gestrichen
k! habe ich mit (k-1)! gekürzt
(n-k-1)! habe ich mit (n-k)! gekürzt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} + \frac{1}{n-k} \end{eqnarray*}$

21.06.2011, 11:07

Iorek

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Wenn du meine Hilfestellungen nicht annimmst, kann ich dir auch nicht weiterhelfen. unglücklich

unglücklich

Wo willst du hier etwas kürzen? Es gibt hier nichts zu kürzen, stattdessen sollst du den Hauptnenner suchen und dementsprechend die beiden Brüche erweitern.

21.06.2011, 11:08

wisor1992

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also der Hauptnenner ist (n-k)! und k!

21.06.2011, 11:10

Iorek

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Nein, das ist nicht der Hauptnenner.

Zitat:

Original von Iorek
vereinfache zuerst einmal innerhalb der Klammern soweit es geht und suche dann den Hauptnenner.

Edit: Nach deiner Verbesserung sieht es schon besser aus, allerdings ist das Wörtchen "und" in diesem Zusammenhang sehr ungenau. Besser: der Hauptnenner ist $\begin{eqnarray*} (n-k)!\cdot k! \end{eqnarray*}$ . Jetzt passend die beiden Brüche erweitern.

21.06.2011, 11:14

wisor1992

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ich weiß nicht wie man die Fakultäten vereinfacht. Das hat uns die Lehrerin leider nie erklärt

21.06.2011, 11:18

Iorek

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Die Fakultäten brauchst du auch nicht großartig weiter zu vereinfachen, es muss jetzt nur noch erweitert werden.

21.06.2011, 11:18

wisor1992

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Im Nenner bleibt folgendes übrig: (n-1)! (n-k)+(n-1)! k

21.06.2011, 11:19

Iorek

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Meinst du nicht vielmehr den Zähler? Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.06.2011, 11:21

wisor1992

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ja genau.

LOL Hammer

21.06.2011, 11:23

Iorek

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Dann bleibt nur noch ein Schritt übrig, vereinfache den Zähler und schon steht es da. smile

smile

21.06.2011, 11:26

wisor1992

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ok dann hebe ich (n-1)! heraus und es bleibt (n-k+k) übrig

(n-1)!n=n! stimmt also

21.06.2011, 11:31

Iorek

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Genau.

22.06.2011, 12:39

netcrack

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moin moin,

Also ich habe diesen Treat seit gestern verfolgt weil mich die Thematik auch interresiert.
Also habe ich mir seit gestern den Kopf zerbrochen, komme aber einfach nicht drauf wie ihr das jetzt gemacht habt.
Wie habt ihr da denn den Hauptnenner gefunden. wie muss ich da vorgehen ??

Danke schon mal für die Hilfe.

mfg
ich

22.06.2011, 12:40

Iorek

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Wie würdest du allgemein den Hauptnenner zweier Brüche bestimmen?

$\begin{eqnarray*} \frac 16 + \frac 19 \end{eqnarray*}$ , wie lautet hier der Hauptnenner, wie bestimmst du ihn? Bei dieser Aufgabe funktioiniert das nach dem selben Prinzip.

22.06.2011, 12:53

netcrack

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ja ich würde hier erweitern ^^

wie suche ich aber bei:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!} + \frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!} \end{eqnarray*}$

Den Faktor um den ich erweitern muss und wie erweitere ich Fakultäten??
Habe dazu auch schon in Inet gesucht. Ich hab zwar einiges zum vereinfachen von Fakultäten gelernt aber nicht wirklich was gefunden, wo beschrieben wird wie man diese erweitert.

22.06.2011, 13:38

Iorek

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Wie ist die Fakultät denn definiert?

$\begin{eqnarray*} k!:=\prod\limits_{i=1}^k i = 1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4 \cdot \dots \cdot k \end{eqnarray*}$

Wie sieht dann $\begin{eqnarray*} (k-1)! \end{eqnarray*}$ aus, was ist mit $\begin{eqnarray*} (n-1-k)! \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n-k)! \end{eqnarray*}$ ? Welche Faktoren kommen in welchem Bruch vor? Damit kannst du entscheiden, womit du jeweils erweitern musst.

22.06.2011, 14:17

netcrack

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okay...

also ich schreib mal ein bisschen auf was ich mir so aus der Definition der Fakultät herleiten kann ^^

$\begin{eqnarray*} (k-1)!=(k-1)*(k-2)!=(k-1)*(k-2)*...*(k-(k-1))<br /> <br /> (n-1-k)!=(n-1-k)*(n-2-k)!=(n-1-k)*(n-2-k)*...*(n-(n-1)) \end{eqnarray*}$

Nur bin ich anscheinend gerade einfach zu blöde zu sehen was mir das jetzt bringt.

Das einzige was mir gerade einfällt währe:

$\begin{eqnarray*} (n-k)!=(n-k)*(n-1-k)! \end{eqnarray*}$

Da ist das (n-1-k)! auch im ersten Bruch? aber was soll mir das bringen?

22.06.2011, 14:21

Iorek

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Schreib dir die Brüche dann mal mit der Pünktchenschreibweise hin, dann solltest du in jedem Bruch die fehlenden Faktoren bestimmen können.

22.06.2011, 14:55

netcrack

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okay ich habe mir jetzt nur mal die Nenenr so aufgeschriehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)}{(k*(k-1)*...*(k-(k-1)))((n-1-k)*(n-2-k)*...*(n-(n-1)))} + \frac {(n-1)}{((n-k)(n-1-k)*...*(n-(n-1)))(k-1)(k-2)*...*(k-(k-1)))}<br /> \end{eqnarray*}$

also ist sind die beiden Gleich bis auf das eine k im ersten bruch und das eine (n-k) im zweiten.

und was muss ich jetzt machen?? Sorry wenn ich mich ein bisschen blöde anstelle.

22.06.2011, 14:58

Iorek

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Bitte wie meinen? Was hast du wo aufgeschrieben?

22.06.2011, 15:01

netcrack

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Sorry wollte zwischendurch mal auf Vorschau klicken, habe aber ausversehen auf Antwort erstellen geklickt. ^^

22.06.2011, 15:03

Iorek

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Jetzt kannst du beide Brüche erweitern; was fehlt im Nenner des ersten Bruchs, was fehlt im Nenner des zeiten Bruchs? Damit erweiters du jeweils die Brüche und kannst sie dann addieren.

22.06.2011, 15:18

netcrack

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so in etwa??:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)}{k!(n-1-k)!} + \frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)} = \frac{(n-1)!(n-k)+(n-1)!k}{(n-k)!(k-1)!k}<br /> \end{eqnarray*}$

22.06.2011, 15:19

Iorek

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Ganz genau.

Jetzt kannst du Zähler und Nenner noch etwas vereinfachen und dann wars das schon.

22.06.2011, 15:32

netcrack

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hhhmm...
jetzt müsste ich im Zähler ja erst ein mal ausklammern.... Weil:
Aus Summen kürzen nur... usw!
Aber wie mach ich das mit den Fakultäten?

22.06.2011, 15:35

Iorek

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Du klammerst komplett $\begin{eqnarray*} (n-1)! \end{eqnarray*}$ aus. Kürzen musst du hier aber nicht, lediglich ausklammern und Eigenschaften der Fakultät ausnutzen. Was ist z.B. $\begin{eqnarray*} (k-1)!\cdot k \end{eqnarray*}$ ?

22.06.2011, 15:38

netcrack

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Kann ich folgendes machen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!(n-k)+(n-1)!k}{(n-k)!(k-1)!k} = \frac{(n-1)!((n-k)+k)}{(n-k)!(k-1)!k}<br /> \end{eqnarray*}$

Edit:

UPS.... warst wohl schneller

22.06.2011, 15:43

netcrack

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$\begin{eqnarray*} (k-1)!\cdot k=(k-1) \cdot (k-2) \cdot ... \cdot (k-(k-1)) \cdot k \end{eqnarray*}$ ???

22.06.2011, 15:44

Iorek

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Das ist jetzt sehr kompliziert aufgeschrieben...

Kann man das nicht kürzer aufschreiben indem man sich z.B. nochmal an $\begin{eqnarray*} k!=1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (k-1) \cdot k \end{eqnarray*}$ erinnert?

22.06.2011, 15:55

netcrack

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aaaaaaahhhhh ^^ sch***
Darauf muss man auch erst ein mal kommen!!!!!

Dann ist ja:

$\begin{eqnarray*} (k-1)!=1 \cdot 2 \cdot\cdot\cdot (k-2) \cdot (k-1) \end{eqnarray*}$

also ist ja der letzte Faktor (k-1) und wenn ich den dann noch ein mal mit k multibliziere, ist ja:

$\begin{eqnarray*} (k-1)! \cdot k = k! \end{eqnarray*}$

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