Dualräume Basis und kern

21.06.2011, 15:01

El Rey

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Dualräume Basis und kern

Meine Frage:
hallo liebes forum Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich sitze grade etwas ratlos vor folgender aufgabe

aufg:

es sei $\begin{eqnarray*} V=\mathbb K[t]_{\leq 2} \end{eqnarray*}$ . weiter seien $\begin{eqnarray*} f_1 , f_2 , f_3\in V^* \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f_1(p)=\int_0^1 \! p(t) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2(p)=\int_0^2 \! p(t) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_3(p)=\int_0^{-1} \! p(t) \, dt \end{eqnarray*}$

a) zeige, das $\begin{eqnarray*} f_1 , f_2 , f_3 \end{eqnarray*}$ eine basis von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ ist. finde dazu eine basis $\begin{eqnarray*} v_1 , v_2 , v_3 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sodass gilt $\begin{eqnarray*} f_i(v_j)=\delta_{ij} \end{eqnarray*}$

b) sei $\begin{eqnarray*} D: V ->V \end{eqnarray*}$ der formale ableitungsoperator. bestimme $\begin{eqnarray*} Kern(D^*) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich denke mal bei b) gilt $\begin{eqnarray*} Kern(D)=Kern(D^*) \end{eqnarray*}$ also alle konstanten polynome und das nullpolynom

bei a) die integrale sehen einfach aus aber soll man das jez konkret für i-was ausrechnen oder allgemein wenn ja wie ??

kann mir da bitte schnell wer helfen ??

21.06.2011, 16:44

pseudo-nym

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RE: Dualräume Basis und kern
Ich nehme an, dass in $\begin{eqnarray*} V=\mathbb K[t]_{\leq 2} \end{eqnarray*}$ nur Polynome mit Grad kleiner gleich 2 enthalten sind und das $\begin{eqnarray*} D^* \end{eqnarray*}$ die zu D duale Abbildung bezeichnet.

Zitat:

Original von El Rey
ich denke mal bei b) gilt $\begin{eqnarray*} Kern(D)=Kern(D^*) \end{eqnarray*}$ also alle konstanten polynome und das nullpolynom

$\begin{eqnarray*} \ker(D^*) \end{eqnarray*}$ ist eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ , aber konstante Abbildungen sind i.A. nicht linear. Deswegen können konstante Abbildungen ungleich null nicht im Kern einer dualen Abbildung vorkommen.

Zitat:

Original von El Rey
bei a) die integrale sehen einfach aus aber soll man das jez konkret für i-was ausrechnen oder allgemein wenn ja wie ??

Du musst die Aufgabenstellung nochmal lesen. Da steht was du machen sollst und wie du es machen sollst.

21.06.2011, 17:13

Leopold

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Ich glaube, die Probleme sind viel grundsätzlicher: El Rey hat die Wirkungsweise einer Abbildung $\begin{eqnarray*} f \in V^{*} \end{eqnarray*}$ noch nicht verstanden.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wirkt auf den Elementen von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , also auf (reellen? $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ?) Polynomen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ von einem Grad $\begin{eqnarray*} \leq 2 \end{eqnarray*}$ und liefert eine Zahl zurück.

Betrachten wir etwa $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p(t) = -3t^2 + 2t + 2 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f_1(p) = \int_0^1 p(t)~\dd t = 2 \, , \ \ \ f_2(p) = \int_0^2 p(t)~\dd t = 0 \, , \ \ \ f_3(p) = \int_0^{-1} p(t)~\dd t = 0 \end{eqnarray*}$

In a) ist nun die lineare Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} f_1,f_2,f_3 \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Nimm dazu Skalare $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \end{eqnarray*}$ und gehe von einer Beziehung

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2 + \lambda_3 f_3 = 0 \end{eqnarray*}$

aus. Die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite ist hier die $\begin{eqnarray*} 0 \in V^{*} \end{eqnarray*}$ , also diejenige Abbildung, die jedem $\begin{eqnarray*} p \in V \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ zuordnet, ausführlich: $\begin{eqnarray*} 0(p) = 0 \end{eqnarray*}$ . Hier steht jetzt links die $\begin{eqnarray*} 0 \in V^{*} \end{eqnarray*}$ und rechts die $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ . Jetzt setze in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ speziell mein $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ von oben ein. Vielleicht siehst du, warum ich gerade dieses $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gewählt habe ...

21.06.2011, 17:16

El Rey

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naja bei der abbildung $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ weis ich nich ob wir das gleiche denken deswegen schreib ich sie hier mal vernünftig in ihrer vollen schönheit auf

$\begin{eqnarray*} D: \sum\limits_{j=0}^n a_jt^j -> \sum\limits_{j=0}^{n-1} (j+1)a_{j+1}t^j \end{eqnarray*}$

bei a) soll man ja eine basis bestimmen und nachher noch eine ONB finden wenn ich das richtig sehe
aber wie soll man ansetzen ??

21.06.2011, 17:20

El Rey

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Zitat:

Original von Leopold

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wirkt auf den Elementen von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , also auf (reellen? $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ?) Polynomen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ von einem Grad $\begin{eqnarray*} \leq 2 \end{eqnarray*}$ und liefert eine Zahl zurück.

Betrachten wir etwa $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p(t) = -3t^2 + 2t + 2 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f_1(p) = \int_0^1 p(t)~\dd t = 2 \, , \ \ \ f_2(p) = \int_0^2 p(t)~\dd t = 0 \, , \ \ \ f_3(p) = \int_0^{-1} p(t)~\dd t = 0 \end{eqnarray*}$

aber kann man sich denn einfach i-ein polynom vom grad kleiner gleich 2 nehmen ??

21.06.2011, 17:26

Leopold

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Würdest du, wenn dir jemand die Funktion

$\begin{eqnarray*} f: \, [0,\infty) \to \mathbb{R} \, , \ \ f(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

gibt, auch fragen: Kann man da einfach $\begin{eqnarray*} 25 \end{eqnarray*}$ einsetzen: $\begin{eqnarray*} f(25) = 5 \end{eqnarray*}$ ?

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21.06.2011, 17:31

El Rey

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hihi der war gut Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich eben noch en bischen unsicher mit dualen abbildungen sind die ersten aufgaben zu dem thema Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber kann man das denn jez machen ??

21.06.2011, 17:35

Leopold

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Kann man was machen? verwirrt

verwirrt

21.06.2011, 17:57

El Rey

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ja könnt ich jez einfach $\begin{eqnarray*} p(t)=x^2 \end{eqnarray*}$ setzen weil das hat ja grad kleiner gleich 2 dann das integral ausrechnen und zeigen das dies eine basis is ??

21.06.2011, 18:07

pseudo-nym

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Nein, in der Aufgabenstellung heißt es, dass du eine dreielementige Basis finden sollst.

21.06.2011, 18:09

Leopold

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Du meinst sicher $\begin{eqnarray*} p(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ .

Du kannst in jede Abbildung Elemente des Definitionsbereichs einsetzen.

Du kannst z.B. bei der Abbildung $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=25 \end{eqnarray*}$ einsetzen, dagegen nicht $\begin{eqnarray*} x=-25 \end{eqnarray*}$ . Denn diese Funktion nimmt nichtnegative Zahlen entgegen und antwortet mit einer Zahl.

Dagegen nimmt das $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ der Aufgabe Polynome von einem Grad $\begin{eqnarray*} \leq 2 \end{eqnarray*}$ entgegen und antwortet mit einer Zahl. Wenn du also $\begin{eqnarray*} p(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ nimmst, lautet die Antwort:

$\begin{eqnarray*} f(p) = \int_0^1 t^2~\dd t = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

21.06.2011, 18:11

El Rey

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und wie soll man das machen i-wie verstehe ich das nich wie ich das angegebne ausnutzen kann
kannste mir das erklärn ??

21.06.2011, 18:22

Leopold

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Jetzt bleiben wir einmal bei der Aufgabe a). Wenn du zeigst, daß die Elemente $\begin{eqnarray*} f_1,f_2,f_3 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, dann müssen sie von alleine eine Basis von $\begin{eqnarray*} V^{*} \end{eqnarray*}$ bilden (wieso?).

Und wie zeigt man lineare Unabhängigkeit? Indem man von einer Beziehung

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2 + \lambda_3 f_3 = 0 \end{eqnarray*}$

ausgeht und zeigt, daß daraus zwangsläufig $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$ folgt. Was dabei die verschiedenen Nullen bedeuten, habe ich oben schon erklärt. Und in die Gleichung kannst du jetzt beliebige Polynome einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \left( \lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2 + \lambda_3 f_3 \right)(p) = 0(p) \end{eqnarray*}$

Gemäß Definition der Addition von linearen Abbildungen und der Multiplikation einer linearen Abbildung mit einem Skalar kannst du links umformen

$\begin{eqnarray*} \left( \lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2 + \lambda_3 f_3 \right)(p) = \lambda_1 \cdot f_1(p) + \lambda_2 \cdot f_2(p) + \lambda_3 \cdot f_3(p) \end{eqnarray*}$

Und jetzt darfst du ganz konkrete $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ einsetzen. Am besten machst du durch einen Index deutlich, daß $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ jetzt nicht mehr eine Variable für ein Polynom ist, sondern ein konkretes Polynom, z.B. definierst du

$\begin{eqnarray*} p_1(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p_2(t) = 1000t^2 - 501t +291 \end{eqnarray*}$ oder ...

Und wenn du es einmal mit $\begin{eqnarray*} p_{2011}(t) = -3t^2 + 2t + 2 \end{eqnarray*}$ versuchst, was erhältst du dann?

21.06.2011, 18:34

El Rey

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das mit der linearen unabhängigkeit is ja so wie bei den basen dich wir bisher immer hatten das is mir ja auch klar wie das funktioniert

wenn ich deine formel jez mal nehme

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 f_1(p) +\lambda_2 f_2(p)+\lambda_3 f_3(p) =0 \end{eqnarray*}$

so und jez setze ich also $\begin{eqnarray*} p(t)=t^2 \end{eqnarray*}$

dann berechne ich die verschiedenen $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$

also dann die integrale

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! t^2 \, dt = \frac{1}{3} (1)^3 = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! t^2 \, dt = \frac{1}{3} (2)^3 = \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^{-1} \! t^2 \, dt = \frac{1}{3} (-1)^3 = -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

dann in die gleichung von dir eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \frac{1}{3} +\lambda_2 \frac{8}{3}+\lambda_3 \frac{-1}{3} =0 \end{eqnarray*}$

aber sind die nich linear abhängig ??
weil das sind ja alles vielfache vom ersten $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ??

21.06.2011, 18:44

Leopold

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Die Gleichung stimmt. Mit $\begin{eqnarray*} p_1(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ hast du jetzt eine Beziehung zwischen $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$ erhalten, die sich aus dem Ansatz

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2 + \lambda_3 f_3 = 0 \end{eqnarray*}$

zwangsläufig ergibt. Jetzt kannst du noch weitere Beziehungen erhalten, indem du andere $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ einsetzt, z.B. $\begin{eqnarray*} p_2(t) = t \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p_3(t) = 1 \end{eqnarray*}$

Und wenn du drei solche Beziehungen für $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \end{eqnarray*}$ hast?

Ach! Es ist doch immer dasselbe in der Linearen Algebra: Am Schluß landet man bei einem linearen Gleichungssystem ...

21.06.2011, 20:14

El Rey

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oki ich versuchs nochmal

ich schreib jez mal die integrale nichmehr mit auf Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \frac{1}{3}+\lambda_2 \frac{8}{3}+\lambda_3 \frac{-1}{3} =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \frac{1}{2}+\lambda_2 2+\lambda_3 \frac{1}{2} =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 +\lambda_2 2-\lambda_3 =0 \end{eqnarray*}$

aber i-wie komm ich damit jez immer noch nich so recht weiter, weil ich seh i-wie nich wie nun meine basis aussieht traurig

traurig

21.06.2011, 22:39

El Rey

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ich hab mir noch was anderes überlegt, also man nimmt wieder deine gleichung aber man geht von einem allgemeinem polynom aus

$\begin{eqnarray*} p=\sum\limits_{j=0}^n a_jt^j \end{eqnarray*}$ dann setzt man $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$

dann hat man $\begin{eqnarray*} p=\sum\limits_{j=0}^2 a_jt^j=a_0+a_1t+a_2t^2 \end{eqnarray*}$

dann führt man die integrale aus

$\begin{eqnarray*} \int \! a_0+a_1t+a_2t^2 \, dt = a_0t+\frac{1}{2}a_1t^2+\frac{1}{3}a_2t^3 \end{eqnarray*}$
dann setzt man überall die grenzen ein

und kommt dann auf die 3 vektoren

$\begin{eqnarray*} p_1=a_0+\frac{1}{2}a_1+\frac{1}{3} a_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_2=2a_0+2a_1+\frac{8}{3} a_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_3=-a_0+\frac{1}{2}a_1-\frac{1}{3} a_2 \end{eqnarray*}$

und das setz ich dann in deine gleichung ein

$\begin{eqnarray*} \lambda_1(a_0+\frac{1}{2}a_1+\frac{1}{3} a_2)+ \lambda_2(2a_0+2a_1+\frac{8}{3} a_2)+ \lambda_3(-a_0+\frac{1}{2}a_1-\frac{1}{3} a_2) = 0 \end{eqnarray*}$

ich weis nich ob man das so machen kann aber wie mach ich jez weiter ??
darf man voraussetzen das alle $\begin{eqnarray*} a_i\neq 0 \end{eqnarray*}$ sind ??

22.06.2011, 12:32

Leopold

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Zitat:

Original von El Rey
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \frac{1}{3}+\lambda_2 \frac{8}{3}+\lambda_3 \frac{-1}{3} =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \frac{1}{2}+\lambda_2 2+\lambda_3 \frac{1}{2} =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 +\lambda_2 2-\lambda_3 =0 \end{eqnarray*}$

Irgendwie scheinst du noch nicht verstanden zu haben, was lineare Unabhängigkeit bedeutet. Es geht nicht um die lineare Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \end{eqnarray*}$ oder so, sondern um die lineare Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} f_1, f_2, f_3 \end{eqnarray*}$ , denn das sind hier unsere "Vektoren" als Elemente des Vektorraums $\begin{eqnarray*} V^{*} \end{eqnarray*}$ . Ich habe das eigentlich schon erklärt:

Zitat:

Original von Leopold
Und wie zeigt man lineare Unabhängigkeit? Indem man von einer Beziehung

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2 + \lambda_3 f_3 = 0 \end{eqnarray*}$

ausgeht und zeigt, daß daraus zwangsläufig $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$ folgt.

Und warum löst du jetzt nicht einfach das lineare 3×3-Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \end{eqnarray*}$ ? Es würde hier sogar genügen, die Determinante des Gleichungssystems zu berechnen. Warum?

22.06.2011, 12:46

El Rey

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oki wenn ich die lineare unabhängigkeit hab wie mach ich dann weiter also mit der deltabedingugn mein ich jez
kann ich als die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ meine polynome vom ersten teil nehmen ??

weil dann wäre das ja ganz einfach Big Laugh

Big Laugh

22.06.2011, 16:15

Leopold

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Nun, so ein $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ habe ich dir im Prinzip längst genannt, nämlich $\begin{eqnarray*} v_1 = \frac{1}{2} p \end{eqnarray*}$ mit diesem $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ :

Zitat:

Original von Leopold
Betrachten wir etwa $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p(t) = -3t^2 + 2t + 2 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f_1(p) = \int_0^1 p(t)~\dd t = 2 \, , \ \ \ f_2(p) = \int_0^2 p(t)~\dd t = 0 \, , \ \ \ f_3(p) = \int_0^{-1} p(t)~\dd t = 0 \end{eqnarray*}$

Wie ich darauf gekommen bin, verrate ich dir nicht. Denn du kannst das selber herausfinden und dann entsprechend auch $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

23.06.2011, 14:54

El Rey

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wie kommt man denn auf die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ weil so wie ich das machen will klappt das nich

ich hab mir erst allgemeine polynome genommen

$\begin{eqnarray*} p1(t)=a_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p2(t)=a_0+a_1t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p3(t)=a_0+a_1t+a_2t^2 \end{eqnarray*}$

dann hab ich in die $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ ein gesetzt und dann folgendes fest gelegt:

$\begin{eqnarray*} f_1(p_1) =1,f_1(p_2) =0,f_1(p_3) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2(p_1) =0,f_2(p_2) =1,f_2(p_3) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_3(p_1) =0,f_3(p_2) =0,f_3(p_3) =1 \end{eqnarray*}$

dann kommt man zwar auch auf vektoren nach dem die koeffizienten bestimmt hat aber die erfüllen dann das delta nur für ein f

wo liegt da mein fehler ??

23.06.2011, 15:35

Macks

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Hey,

wenn du nun deine Basis A von V^* hast, dann sollte doch die Basis zu V gleich der invertierten und transponierten von A sein, oder?

Gruß

23.06.2011, 16:13

El Rey

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ja aber das heißt nich das die die delta bedingung erfüllt

23.06.2011, 19:40

Leopold

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Du mußt doch für ein festes (!) Polynom $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ die Bedingungen

$\begin{eqnarray*} f_1(p) = 0 \, , \ \ f_2(p) =1 \, , \ \ f_3(p) = 0 \end{eqnarray*}$

erfüllen. Wenn du $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gefunden hast, ist dieses dein $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ . (Und dann später noch $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ .)

Jetzt mache den Ansatz

$\begin{eqnarray*} p(t) = a_0 + a_1 t +a_2 t^2 \end{eqnarray*}$

und setze dieses $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ in die obigen drei Bedingungen ein. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} a_0,a_1,a_2 \end{eqnarray*}$ .

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