Vektorgeometrie: Ebene

21.06.2011, 16:53

Fredy

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Vektorgeometrie: Ebene

Ich hab ein paar Probleme bei der Vektorgeometrie in der Ebene

Ich weiss wie man das Skalarprodukt berechnet.
Ich weiss wie man das Vektorprodukt berechnet.

Jedoch weiss ich nicht den Nutzen der beiden Berechnungen.

Ausserdem weiss ich nicht wie man die Normale berechnet.

Normalform in Normalenform und dann in Hessische Normalenform umwandeln kann ich.

Die Parameterform kann ich auch aufstellen. Aber dazwischen herrscht eine Lücke.
Ich hoffe da kann mir jemand Klarheit schaffen

21.06.2011, 22:29

Gualtiero

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
Das Ergebnis zweier Vektoren, die durch das Vektorprodukt miteinander verknüpft werden, ist ein Vektor, der zu den beiden erstgenannten Vektoren normal ist.

Das Ergebnis eines Skalarprodukts ist eine Zahl, in der der Cosinus des Winkels, den die beiden Vektoren einschließen, als Faktor enthalten ist.

Wo man diese beiden mathematischen Operationen überall anwenden kann, läßt sich denke ich gar nicht vollständig aufzählen. Am besten lernst Du das durch das Bearbeiten praktischer Beispiele.

Und das ist auch der springende Punkt bei allen Anfragen hier bei uns: Hilfe bei praktischen Rechenbeispielen ist unser erstes Ziel. Theoretische Erklärungen findest Du schon vorgefertigt im Lehrbuch oder auf entsprechenden Internetseiten.

21.06.2011, 22:53

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
ok dann stelle ich ein beispiel
eine Ebene ist durch 3 Punkte gegeben
$\begin{eqnarray*} P\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}<br /> Q\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix}<br /> R\begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Ebenengleichung erstellen
Parameterform habe ich
$\begin{eqnarray*} E= \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Abstand Von den Punkten $\begin{eqnarray*} A\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} <br /> B\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und der Ebene

Dafür brauche ich die hessische Normalengleichung.

$\begin{eqnarray*} E: d =[\vec{x} -\vec{a} ]*\frac{\vec{n} }{| \vec{n} | } \end{eqnarray*}$

für x nehme ich den Punkt A

$\begin{eqnarray*} E: d = \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} \right] * \frac{\vec{n} }{| \vec{n} | } \end{eqnarray*}$
und nun fehlt mir da der normalvektor.

und da ist das grosse chaos mit VP, SKaP und berechung von Normalvektor beginnt

21.06.2011, 23:01

Gualtiero

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
Der Normalvektor einer Ebene steht natürlich auch normal auf die beiden Spannvektoren dieser Ebene. Wie bekommst Du diesen Vektor?

Lies Dir nur die ersten beiden Sätze meines Beitrages durch.

21.06.2011, 23:06

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
also ist das Vp für der normalvektor?
und dafür nehme ich also parameter s und t

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ -25 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

21.06.2011, 23:09

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
und die Gleiochung oben löse ich mit dem skalarprodukt?

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21.06.2011, 23:10

Gualtiero

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
Richtig gerechnet.
Aber das hat nichts mit den Parametern zu tun, sondern nur mit den beiden Spannvektoren der Ebene.

21.06.2011, 23:15

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
ok undobe ist es dann

$\begin{eqnarray*} d= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{50}{29} \\ \frac{125}{29} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

multiplikation mit 1 $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wegstreichen?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{50}{29} \\ \frac{125}{29} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
daovn noch der betrag?

21.06.2011, 23:16

Gualtiero

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RE: Vektorgeometrie: Ebene

Zitat:

Original von Fredy
und die Gleiochung oben löse ich mit dem skalarprodukt?

Kann man so sagen.
Du verbindest den Vektor in der eckigen Klammer mit dem Normalvektor per Skalarprodukt und teilst durch den Betrag des Normalvektors.

21.06.2011, 23:21

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
-15
und das andere ist schwachsinn?

21.06.2011, 23:21

Gualtiero

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
Bitte schreibe Deine Korrekturen als neuen Beitrag, sonst ist das verwirrend.

Wie kommst Du auf 29 im Nenner? Das ist nicht der Betrag des Normalvektors.

21.06.2011, 23:25

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ -25 \end{pmatrix} <br /> | \vec{n} | = \frac{5}{29} \end{eqnarray*}$

21.06.2011, 23:26

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
und das zusammengefasst ergibt dann diesen vektor. So habe wir es irgendwie gemacht

21.06.2011, 23:27

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
sry ist falsch ich habe zähler und Nenner nicht getausch

21.06.2011, 23:30

Gualtiero

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
Da ist irgendwo der Wurm drin.

Der Betrag eines Vektors ist die Wurzel der Summe der Quadrate der Koordinaten. So - oder besser formuliert - solltest Du es irgenwo stehen haben.

21.06.2011, 23:31

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
so?
$\begin{eqnarray*} d= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 0 \\ 58 \\ 125\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
183?

ich habe den überblick verloren

21.06.2011, 23:33

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene

Zitat:

Original von Fredy
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ -25 \end{pmatrix} <br /> | \vec{n} | = \frac{5}{29} \end{eqnarray*}$

wäre das soweit richtig?

21.06.2011, 23:37

Gualtiero

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
Das wird ja immer toller. Bitte vermeide auch die Mehrfachposts, das ist verwirrend.

Das Ergebnis des Skalarprodukts ist -15, das war schon richtig. Aber Du musst es durch den Betrag des Normalvektors teilen. Aus meinem vorigen Beitrag sollte hervorgehen, wie Du dazu kommst.

Mach genau, was ich gesagt habe.

21.06.2011, 23:39

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
-87 gibt es dann

21.06.2011, 23:44

Gualtiero

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
$\begin{eqnarray*} d=\left| \frac{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ -25\end{pmatrix}}{\sqrt{0^2+10^2+(-25)^2}}\right| \end{eqnarray*}$

Rechne das aus.

Da die Länge eines Vektors immer positiv ist, musst Du auch Betragsstriche setzen.

21.06.2011, 23:47

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene

Zitat:

Original von Gualtiero
$\begin{eqnarray*} d=\left| \frac{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ -25\end{pmatrix}}{\sqrt{0^2+10^2+(-25)^2}}\right| \end{eqnarray*}$

Rechne das aus.

Da die Länge eines Vektors immer positiv ist, musst Du auch Betragsstriche setzen.

$\begin{eqnarray*} | \frac{-15}{5\sqrt{29} } | \end{eqnarray*}$

21.06.2011, 23:49

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
16.15549

21.06.2011, 23:50

Gualtiero

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
Sollte stimmen.

Ich hoffe, der Rechenweg ist Dir auch klar.

21.06.2011, 23:52

Gualtiero

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RE: Vektorgeometrie: Ebene

Zitat:

16.15549

Das hatte ich übersehen, und das ist falsch! unglücklich

unglücklich

21.06.2011, 23:54

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene

Zitat:

Original von Gualtiero

Zitat:

16.15549

Das hatte ich übersehen, und das ist falsch! unglücklich

unglücklich

wäre es als rundung richtig?

denn das zeigt mein rechner an

21.06.2011, 23:56

Gualtiero

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
Dann hast Du Dich geirrt.
Den Bruch kannst Du schon mal durch 5 kürzen. Dann sieht man auf einen Blick, dass der Wert kleiner als 1 sein muss.

21.06.2011, 23:58

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
0.557 es ist spät am abend

22.06.2011, 00:01

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
die Fläche von P Q R geht mit Vp oder skaP?

22.06.2011, 00:01

Gualtiero

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RE: Vektorgeometrie: Ebene
Freude

Freude

Gewöhne Dir möglichst an, zuerst auf Genauigkeit zu achten, und dann erst auf Geschwindigkeit.

Ich muss dann OFF gehen. Wink

Wink

22.06.2011, 00:07

Fredy

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RE: Vektorgeometrie: Ebene

Zitat:

Original von Gualtiero
Freude

Freude

Gewöhne Dir möglichst an, zuerst auf Genauigkeit zu achten, und dann erst auf Geschwindigkeit.

Ich muss dann OFF gehen. Wink

Wink

ok danke schonmal für die klarheit die du mir gebracht hast.
Ich verstehe ja normalerweise mathematik recht schnell ,aber nicht bei diesem Lehrer

22.06.2011, 15:56

Gualtiero

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Hatte das gestern nicht gesehen:

Zitat:

die Fläche von P Q R geht mit Vp oder skaP?

Mit beiden. Versuche es mal mit Deinem Wissen über das Vektorprodukt, und schaue Dir eventuell noch diesen Beitrag an (obwohl das Problem dort nichts mit Deiner Frage zu tun hat).

Mit dem Skalarprodukt geht es auch, ist aber mMn. etwas umständlicher.

25.06.2011, 14:01

Fredy

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mit VP
$\begin{eqnarray*} A= \frac{| \vec{n} |}{2} =13.46291 \end{eqnarray*}$

mit skaP A=39.5

25.06.2011, 14:40

Gualtiero

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Erstes Ergebnis mit Vektorprodukt ist richtig. Daher muss das zweite falsch sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel in einem Dreieck kann man auch die Fläche berechnen - das ist der Ansatz für die Berechnung mit dem Skalarprodukt.

Du hast zwei Vektoren, kannst damit über das SP den Winkel und die Beträge der Vektoren errechnen und hast alles für die Flächenformel.

25.06.2011, 14:56

Fredy

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das heist ich könnte weiter mit der "normalen Geometrie" rechnen (ohne Vektoren)?

25.06.2011, 15:02

Gualtiero

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Ja.
Zumindest ich kenne keine andere Lösung mit dem Skalarprodukt.

25.06.2011, 15:33

Fredy

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ok vielen Dank
wenn es beim Aufgaben lösen weitere Problem gibt melde ich mich wieder

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