Eigenschwingung einer eingespannten Saite (DGL + Eigenwertproblem)

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8000mark Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschwingung einer eingespannten Saite (DGL + Eigenwertproblem)
Meine Frage:
Die Differentialgleichung
[latex] \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}u(x,t) =  \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}u(x,t) \text{ mit } u(0,t)=0 \text{ und } u(\pi,t)=0 \text{ (1)}[/latex]
und Anfangswerten [latex] u(x,0) [/latex] beschreibt das Bewegungsverhalten einer eingespannten Saite im Intervall [latex] [0,\pi] [/latex]. Schwingungen sind Lösungen, die bezüglich der Zeit periodisch sind. Jede Schwingung ist die Reihe über Basisschwingungen der Gestalt [latex] u(x,t) = a \sin nt \text{ und } u(x,t) = b \cos nt, n \in \mathbb N [/latex]. Setzt man dieses zur Lösung von Gl. (1) an, so erhält man das Eigenwertproblem
U''(x) + \lambda U(x) = 0 \text{ mit } U(0) = 0 \text{ und } U(\pi) = 0 \text{ (2)}
Bei der numerischen Lösung solcher Probleme diskretisiert man Gl. (2) und erhält ein Eigenwertproblem für Matrizen. Die Eigenvektoren sind die Diskretisierungen der Eigenlösung von Gl. (2). Eine Lösung von Gl. (4) erhält man, indem man eine solche Linearkombination von Eigenlösungen wählt, die den Anfangsbedingungen genügt.

a) Bestimmen Sie analytisch die Eigenwerte und Eigenlösungen der Gleichung (2)! Diskretisieren Sie diese Gleichung.
b) Implementieren Sie ein Verfahren zur numerischen Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren des diskretisierten Problems. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit denen aus Teil a).

Meine Ideen:
Ich habe in Gleichung (1) [latex] u(x,t) = a \sin nt \text{ und } u(x,t) = b \cos nt[/latex] eingesetzt. Dabei kommt [latex]0 = -a n ^{2} \sin nt \text{ und } 0 = -b n^{2} \cos nt[/latex] raus.
Außerdem habe ich die Differentialgleichung (2) gelöst, wobei
[latex]U(x) = e^{\sqrt{-\lambda} x} \text{ und } U(x) = e^{-\sqrt{-\lambda} x}[/latex]
also die Sinus und Cosinus Gleichungen rauskommen.

Wie bekomme ich jetzt den Zusammenhang zwischen DGL und Eigenwertproblem? Also wo bekomme ich die Matrix her, für die ich die Eigenlösungen bestimmen kann?
Das Verfahren habe ich bereits implementiert.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Aufgabe ist nicht eindeutig lösbar, denn man benötigt zur Zeit t=0 nicht nur die anfängliche Auslenkung [latex]u(x,0)[/latex] der Saite, sondern zusätzlich deren anfängliche Geschwindigkeit [latex]\dot u(x,0)[/latex]. Wenn diese bekannt ist, kann man die Lösung formelmäßig darstellen und muss nicht numerisch rechnen!

Ich zeig' dir mal, wie das geht. Zu lösen ist

[latex]u''=\ddot u[/latex]

Randbedingung: [latex]u(0,t)=u(\pi,t)=0[/latex]
Anfangsbedingung: [latex]u(x,0)=u_0; \dot u(x,0)=\dot u_0[/latex]

Zuerst löst man das zugehörige Eigenwertproblem (warum wird später klar):

[latex]u''_n=-\lambda_n u_n[/latex]

Mit den obigen Randbedingungen führt das auf folgende Eigenwerte und auf 1 normierte Eigenfunktionen

[latex]\lambda_n=n^2=1, 4, 9, 16, ...[/latex]
[latex]u_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \sin(nx)[/latex]

Aufgrund der allgemeinen Theorie kann man damit jede Funktion im Intervall [0;pi], welche die Randbedingungen erfüllt, in einer Fourrierreihe entwickeln. Das gilt auch für die gesuchte Lösung u(x,t). Da diese Lösung aber zeitabhängig ist, muss man auch die Fourrierkoeffizienten als zeitabhängig betrachten. Das motiviert den Reihenansatz

[latex]u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty C_n(t)\cdot \underbrace{\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \sin(nx)}_{u_n(x)} [/latex]________(*)

Dies setzt man in die Dgl. ein und erhält

[latex]\sum\limits_{n=1}^\infty C_n(t)u''_n=\sum\limits_{n=1}^\infty \ddot C_n(t)u_n[/latex]

Darin substituiert man [latex]u''_n=-\lambda_n u_n[/latex] und beseitigt so die 2.Ableitung auf der linken Seite. (Das ist die Motivation der Eigenwertgleichung!)

[latex]\sum\limits_{n=1}^\infty -C_n(t)\lambda_n u_n=\sum\limits_{n=1}^\infty \ddot C_n(t)u_n[/latex]

Koeffizientenvergleich liefert eine gewöhnlich Differenzialgleichung für die zeitabhängigen Fourrierkoeffizienten [latex]C_n(t)[/latex]

[latex]\ddot C_n+\lambda_nC_n=0[/latex] mit den Eigenwerten [latex]\lambda_n=n^2[/latex]

Daraus folgt [latex]C_n(t)=A_n\cdot \sin(nt)+B_n\cdot \cos(nt)[/latex]. Einsetzen in unseren Ansatz (*) liefert

[latex]u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty \underbrace{[A_n\cdot \sin(nt)+B_n\cdot \cos(nt)]}_{C_n(t)}\cdot \underbrace{\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \sin(nx)}_{u_n(x)} [/latex]__________(**)

Die Konstanten [latex]A_n, B_n[/latex] bestimmt man aus den Anfangsbedingungen. Demnach soll unsere Lösung (**) für t=0 folgendes ergeben

[latex]u(x,0)=u_0=\sum\limits_{n=1}^\infty B_n\cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \sin(nx) [/latex]

[latex]\dot u(x,0)=\dot u_0=\sum\limits_{n=1}^\infty nA_n\cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \sin(nx) [/latex]

Damit kann man die Koeffizienten [latex]A_n, B_n[/latex] auf bekannte Weise als Integrale darstellen und hat somit die endgültige Lösung (**)
 
 
8000mark Auf diesen Beitrag antworten »

Vorab: Danke für die schnelle Antwort!

Zitat:
Original von Ehos
Deine Aufgabe ist nicht eindeutig lösbar, denn man benötigt zur Zeit t=0 nicht nur die anfängliche Auslenkung [latex]u(x,0)[/latex] der Saite, sondern zusätzlich deren anfängliche Geschwindigkeit [latex]\dot u(x,0)[/latex]. Wenn diese bekannt ist, kann man die Lösung formelmäßig darstellen und muss nicht numerisch rechnen!


Die Aufgabe ist für mein numerisches Praktikum. Ich denke, es geht hierbei vor alle um die Teilaufgabe b, also das Implementieren eines Eigenwert-Algorithmus.

Zitat:

Ich zeig' dir mal, wie das geht. Zu lösen ist

[latex]u''=\ddot u[/latex]



Ich dachte immer [latex]u''=\ddot u[/latex] bezeichnet das gleiche.

Zitat:


Randbedingung: [latex]u(0,t)=u(\pi,t)=0[/latex]
Anfangsbedingung: [latex]u(x,0)=u_0; \dot u(x,0)=\dot u_0[/latex]

Zuerst löst man das zugehörige Eigenwertproblem (warum wird später klar):

[latex]u''_n=-\lambda_n u_n[/latex]

Mit den obigen Randbedingungen führt das auf folgende Eigenwerte und auf 1 normierte Eigenfunktionen

[latex]\lambda_n=n^2=1, 4, 9, 16, ...[/latex]
[latex]u_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \sin(nx)[/latex]



Das hab ich jetzt nicht verstanden. Ist [latex]u''_n[/latex] die Hessematrix? Und wie bekommt man dann die Eigenwerte?

Zitat:


Aufgrund der allgemeinen Theorie kann man damit jede Funktion im Intervall [0;pi], welche die Randbedingungen erfüllt, in einer Fourrierreihe entwickeln. Das gilt auch für die gesuchte Lösung u(x,t). Da diese Lösung aber zeitabhängig ist, muss man auch die Fourrierkoeffizienten als zeitabhängig betrachten. Das motiviert den Reihenansatz

[latex]u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty C_n(t)\cdot \underbrace{\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \sin(nx)}_{u_n(x)} [/latex]________(*)

Dies setzt man in die Dgl. ein und erhält

[latex]\sum\limits_{n=1}^\infty C_n(t)u''_n=\sum\limits_{n=1}^\infty \ddot C_n(t)u_n[/latex]

Darin substituiert man [latex]u''_n=-\lambda_n u_n[/latex] und beseitigt so die 2.Ableitung auf der linken Seite. (Das ist die Motivation der Eigenwertgleichung!)

[latex]\sum\limits_{n=1}^\infty -C_n(t)\lambda_n u_n=\sum\limits_{n=1}^\infty \ddot C_n(t)u_n[/latex]

Koeffizientenvergleich liefert eine gewöhnlich Differenzialgleichung für die zeitabhängigen Fourrierkoeffizienten [latex]C_n(t)[/latex]

[latex]\ddot C_n+\lambda_nC_n=0[/latex] mit den Eigenwerten [latex]\lambda_n=n^2[/latex]

Daraus folgt [latex]C_n(t)=A_n\cdot \sin(nt)+B_n\cdot \cos(nt)[/latex]. Einsetzen in unseren Ansatz (*) liefert

[latex]u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty \underbrace{[A_n\cdot \sin(nt)+B_n\cdot \cos(nt)]}_{C_n(t)}\cdot \underbrace{\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \sin(nx)}_{u_n(x)} [/latex]__________(**)

Die Konstanten [latex]A_n, B_n[/latex] bestimmt man aus den Anfangsbedingungen. Demnach soll unsere Lösung (**) für t=0 folgendes ergeben

[latex]u(x,0)=u_0=\sum\limits_{n=1}^\infty B_n\cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \sin(nx) [/latex]

[latex]\dot u(x,0)=\dot u_0=\sum\limits_{n=1}^\infty nA_n\cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \sin(nx) [/latex]

Damit kann man die Koeffizienten [latex]A_n, B_n[/latex] auf bekannte Weise als Integrale darstellen und hat somit die endgültige Lösung (**)


Nun steht ja auch in der Aufgabe etwas von Diskretisieren. Heißt das ich überlege mir Werte und rechne damit ein bisschen herum? (Im übertragenen Sinn)
Schließlich brauch ich ja auch eine Matrix, auf die ich meinen Algorithmus loslassen kann.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ableitungen nach der Zeit kennzeichnet man oft durch einen Punkt und Ortsableitungen durch einen Strich, also [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\ddot u[/latex] und [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=u''[/latex].

Mir ist jetzt nicht ganz klar, warum du die Eigenwerte [latex]\lambda_n=n^2=1, 2^2, 3^2,4^2,...[/latex] und Eigenfunktionen [latex]u_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \sin(n\cdot x)[/latex] mit n=1,2,3,... numerisch bestimmen willst, wenn man beide formelmäßig kennt. Es gibt natürlich für komplizierte Probleme numerische Verfahren. Darauf kann ich aber hier nicht eingehen.

Du solltest dich vielleicht vorher mit den grundsätzlichen Begriffen vertraut machen.
8000mark Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist ja, die Gleichung zum Einen auf dem Papier zu lösen und zum Anderen die Lösung mithilfe eines Verfahrens am Computer zu bestimmen. Für den zweiten Teil hab ich das QR-Verfahren implementiert. Zum Lösen brauch ich allerdings noch eine Matrix, die das Eigenwertproblem beschreibt. Oder irre ich mich?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wüsste nicht, wie und warum man im Zusammenhang mit der schwingenden Saite ein Eigenwertproblem für eine Matrix formulieren sollte. Natürlich gibt es in anderem Zusammenhang Eigenwertproblem für Matrizen, aber nicht hierbei. Ich vermute, du bringst da etwas durcheinander.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nur eine kurze Wortmeldung. Aber das Nennen von "Saite und Eigenwert" im Zusammenhang ist nicht ungewöhnlich. Wurde in Numerik gerne als praktische Einleitungsbeispiel gemacht.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/muel...08ShtZ_0407.pdf
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Tigerbiene
Es ist schon klar, dass die Begriffe "Saite" und "Eigenwerte" zusammen gehören. Aber der Fragesteller will ja irgendeine Matrix aufstellen. Und da weiß ich ehrlich gesagt nicht, was er meint. In deiner Literaturangabe kommen ebenfalls keine Matrizen vor. Dort wird alles formelmäßig gelöst, wie ich es auch erklärt hatte.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das LGS entsteht imho bei der Diskretisierung der zugehörigen Differentialgleichung. Sorry, wenn das im Link nicht raus kommt. Z.B. in "Numerische Mathematik für Anfänger, G. Opfer" ist die Saite ein Einführungsbeispiel im Kapitel "Eigenwerte"
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