Zentrum einer Automorphismengruppe

22.06.2011, 11:43

Kevin-357

Zentrum einer Automorphismengruppe

Meine Frage:
Hallo!

Ich habe hier folgende Aufgabe:

Vor.: V ist ein endlich-dimensionaler K-VR
Beh.: $\begin{eqnarray*} Zent\left(Aut_{K}(V)\right):=\left\{ f\in Aut_{K}(V)|\forall g\in Aut_{K}(V):f(g(x))=g(f(x))\right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Sei $\begin{eqnarray*} f\in Zent(Aut_{K}(V)) \end{eqnarray*}$ beliebig.

(i) z.z.: $\begin{eqnarray*} \forall v\in V: & \left\{ v,f(v)\right\} \end{eqnarray*}$ ist linear unabhängig

(ii) z.z.: $\begin{eqnarray*} \exists \lambda \in K : & f=\lambda id \end{eqnarray*}$

(iii) Die Beh. folgt aus (i) und (ii).

22.06.2011, 12:43

silvio

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RE: Zentrum eines Automorphismus
Hi, ich sitze gerade an der selben Aufgabe.

Es ist allerdings zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} Zent (Aut_{K} (V)) = \{\lambda id_{V} \mid \lambda \in K / \{0\} \} \end{eqnarray*}$ ist. Du hast nur die Definition dieser Menge angegeben.

zu (i): Hier muss es heißen: {v,f(v)} ist linear abhängig.
Annahme: Es gibt ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ , so dass die Menge {v,f(v)} linear unabhängig ist.
Dann ist zu zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} g \in Aut_{K} (V) \end{eqnarray*}$ gibt mit g(v) = v und g(f(v)) = v + f(v). An dieser Stelle hänge ich auch noch.
Dann ist v + f(v) = g(f(v)) = f(g(v)) = f(v).
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v = 0 \end{eqnarray*}$
Dann ist {v,f(v)} natürlich nicht linear unabhängig.

22.06.2011, 14:08

Reksilat

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RE: Zentrum eines Automorphismus

Zitat:

Original von silvio
Dann ist zu zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} g \in Aut_{K} (V) \end{eqnarray*}$ gibt mit g(v) = v und g(f(v)) = v + f(v). An dieser Stelle hänge ich auch noch.

Das $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ kannst Du Dir einfach definieren. Jede lineare Abbildung ist eindeutig durch die Bilder einer Basis definiert. Eine lineare Abbildung ist genau dann ein Isomorphismus, wenn diese Bilder auch wieder eine Basis bilden.
Du musst also nur zeigen, dass es Basen $\begin{eqnarray*} \{v,f(v),b_3,...,b_n\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{v,v+f(v),c_3,...,c_n\} \end{eqnarray*}$ gibt und dann Deine Abbildung $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ damit ganz kanonisch definieren.

Gruß,
Reksilat.

Edit: Ich hab mal den Titel dem Thema angepasst.

22.06.2011, 15:34

silvio

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Da v und f(v) und daher auch v und v + f(v) linear unabhängig sind, lassen sie sich nach dem Basisergänzungssatz durch Vektoren aus V zu den von dir genannten Basen ergänzen. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung g mit den gewünschten Eigenschaften. Da die Elemente aus der Basis $\begin{eqnarray*} \{v,v+f(v),c_{3},...,c_{n}\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, ist g injektiv, und da $\begin{eqnarray*} im \ g = span \{v,v+f(v),c_{3},...,c_{n}\} = V \end{eqnarray*}$ , ist g surjektiv. Also ist g ein Automorphismus.

(ii) Hier sollen wir folgende Behauptung beweisen: Wegen (i) gibt es zu dem jedem $\begin{eqnarray*} v\in V/\{0\} \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} \lambda_{v} \in K/\{0\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(v) = \lambda_{v}v \end{eqnarray*}$ . Angenommen, es existiert $\begin{eqnarray*} \lambda_{v} \neq \lambda_{w} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} v,w \in V/\{0\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(v) = \lambda_{v}v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f (w) = \lambda_{w}w \end{eqnarray*}$ . Dann sind v und w linear unabhängig und es gilt $\begin{eqnarray*} \lambda_{v+w}(v+w) = f (v+w) = f (v) + f (w) = \lambda_{v}v + \lambda_{w}w \end{eqnarray*}$ , woraus ein Widerspruch zur Annahme folgt.

Dass für jedes v dieses $\begin{eqnarray*} \lambda_{v} \end{eqnarray*}$ existiert, ist mir klar. Aber wie zeigt man, dass v und w linear unabhängig sind?

22.06.2011, 15:40

Reksilat

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Wenn $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ linear abhängig wären, dann gäbe es doch ein $\begin{eqnarray*} \alpha\in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w=\alpha\cdot v \end{eqnarray*}$ .
Nun rechne mal $\begin{eqnarray*} f(w) \end{eqnarray*}$ aus. Augenzwinkern

22.06.2011, 15:53

Kevin-357

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Hi!

Erstmal danke Silvio für deine Anmerkung, war eben etwas in Eile.

Nun zu Reksilats letzen Breitrag:

Ann.: v,w linear abhängig => $\begin{eqnarray*} \exists \alpha \in K :v=\alpha\cdot w \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} f(v)=f(\alpha \cdot w)=\alpha \cdot f(w) \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} f(v)=\lambda _{v}v & und & f(w)=\lambda _{w}w \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig => ?

Hier komme ich nicht weiter...

22.06.2011, 15:55

Reksilat

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Dann denke bitte länger darüber nach als 13 Minuten.

22.06.2011, 16:06

silvio

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Man erhält den Widerspruch $\begin{eqnarray*} \lambda_{w}w = f (w) = f (av) = a \cdot f (v) = \lambda_{v}av = \lambda_{v}w \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_{v} = \lambda_{w} \end{eqnarray*}$

22.06.2011, 16:11

Reksilat

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Jep.

22.06.2011, 16:18

Kevin-357

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Und wieso ist dann $\begin{eqnarray*} \lambda _{v+w}(v+w)=f(v+w)=f(v)+f(w)=\lambda _{v}v+\lambda _{w}w \end{eqnarray*}$ ein Widerspruch zur Annahme?

22.06.2011, 16:19

Kevin-357

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Sorry, wenn ich so blöde Fragen stelle, aber ich würde das gerne verstehen...

22.06.2011, 18:41

Reksilat

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$\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig. Wenn ein Vektor als Linearkombination dieser beiden Vektoren darstellbar ist, dann sind die Koeffizienten dieser Linearkombination eindeutig.

23.06.2011, 11:56

silvio

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(iii) $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ folgt direkt aus (ii), und eine Verknüpfung mit der Identität ist natürlich immer kommutativ.

Vielen Dank Reksilat!

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