Volumenintegral

22.06.2011, 17:58

5%

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Volumenintegral

Meine Frage:
hi,
ich möchte das Volumen
$\begin{eqnarray*} V=\int_T 1 d(x,y,z) \end{eqnarray*}$
berechnen, wobei
$\begin{eqnarray*} T=\{(x,y,z) \in \mathbb R | (x-\frac{1}{10}z)^2+(y-\frac{1}{10}z)^2\leq 1,0\leq z\leq 10\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich kann momentan leider nichts mit der Parametrisierung anfangen.
Ich weiß nicht, welche Integrationsgrenzen beim Dreifachintegral gewählt werden müssen.
Würde mich über ein wenig Hilfe / Erklärungen freuen. Sobald ich die Integrationsgrenzen habe, sollte alles Weitere eigentlich kein Problem mehr darstellen.

PS: Wir sollen in kartesischen Koordinaten rechnen.
Danke :-)

22.06.2011, 18:09

alex2007

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RE: Volumenintegral
Um die Integrationsgrenzen zu finden musst du deine Einschränkungen nutzen.

Also setzt du erstmal für z, 0 und 10 ein und bekommst dann mit der anderen ungleichung der parametrisierung raus, von wo bis wo x und y laufen. dann haste deine grenzen. die für z haste ja schon, nämlich von 0 bis 10.

22.06.2011, 18:25

5%

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RE: Volumenintegral
Danke für die Antwort!
Ja genau, die Grenzen für z sind bereits gegeben. Somit weiß ich schon, dass das 3-fach-Integral folgende Form hat:
$\begin{eqnarray*} V=\int_?^? ( \int_?^? ( \int_0^{10} dz) dy ) dx \end{eqnarray*}$

Nun setze ich z = 0 und erhalte für die Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$
und für z = 10:
$\begin{eqnarray*} (x-10)^2+(y-10)^2 = x^2-20x+y^2-20y+200 \leq 1 \end{eqnarray*}$

Allerdings hilft mir das leider immer noch nicht weiter...

22.06.2011, 18:34

alex2007

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RE: Volumenintegral
deine formel war nicht ganz richtig!

und für z = 10:
$\begin{eqnarray*} (x-1)^2+(y-1)^2 = x^2-2x+y^2-2y+2 \leq 1 \end{eqnarray*}$

So jetzt hast die beiden Bedingungen. Entweder man sieht sofart, wie das ganze aussehen muss oder man überlegt sich jetzt was, wie man beide Bedingungen zusammenbringen kann. Also schau dir das mal genau an.

Eigentlich sieht man schon an der ersten Bedingung, zwischen welchen Zahlen sich x und y nur bewegen können. Und wenn du das hast musst nur noch eine Sache beachten, damit du nicht nen Fehler drin hast, was aber auch ersichtlich ist.

22.06.2011, 19:00

5%

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RE: Volumenintegral
Danke, stimmt, ich hatte vergessen z durch 10 zu teilen.
Also die Parametrisierung stellt die Fläche eines Kreises mit Radius 1 dar. Richtig?
Hier nur was sagt mir das dann bezüglich meiner Grenzen...

22.06.2011, 20:16

5%

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RE: Volumenintegral
Tut mir Leid, aber ich komme hier einfach nicht weiter.
Würde mich freuen, wenn mir jemand ein Verfahren zur Bestimmung der Integrationsgrenzen erklären könnte.

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22.06.2011, 21:41

5%

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RE: Volumenintegral
Ich will nicht drängen, allerdings brauche ich die Aufgabe noch heute.
Falls sich also jemand kurz ein wenig Zeit nehmen könnte mir hierbei weiterzuhelfen, wäre ich ihm sehr verbunden.

23.06.2011, 12:52

5%

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RE: Volumenintegral
Guten Morgen,
ich bin immer noch an einer Lösung interessiert.

Also fassen wir meinen Stand noch einmal zusammen:
Ich habe folgende Bedingungen:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq z \leq 10 \end{eqnarray*}$

für z = 0 folgt aus der 2. Bedingung:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$
(Das beschreibt ja die Fläche eines Kreises mit Radius 1)

für z = 10 folgt:
$\begin{eqnarray*} (x-1)^2+(y-1)^2 = x^2-2x+y^2-2y+2 \leq 1 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich daraus nun auf die Integrationsgrenzen schließen?
Eine Grenze ist ja bereits gegeben: z bewegt sich zwischn 0 und 10.

23.06.2011, 13:34

alex2007

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RE: Volumenintegral
Wir schauen uns jetzt mal die 1. Bedingung genau an, da steht:

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$

was heißt das nun für unsere beiden Variablen x und y?
Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} n²\leq 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -1 \leq n \leq1 \end{eqnarray*}$ gilt. Nun haben wir ne Summe aus 2 Quadraten, für welche jeweils offensichtlich das selbe gilt. nämlich $\begin{eqnarray*} -1\leq n \leq1 \end{eqnarray*}$ wobei n jetzt x und y sind. Auf deutsch gesagt, um die Bedingung zu erfüllen kann sowohl x als auch y sich nur zwischen -1 und 1 bewegen. Bis jetzt wären das unsere Grenzen, allerdings haben wir ja noch eine 2. Bedingung:

$\begin{eqnarray*} (x-1)²+(y-1)²=x²-2x+1+y²-2y+1\leq 1 \end{eqnarray*}$

nun ordnen wir das ganze etwas um und es folgt:

$\begin{eqnarray*} (x-1)²+(y-1)²=x²+y²-2x-2y+2\leq 1 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} -2x-2y+2\leq 0 \end{eqnarray*}$

umstellen liefert:

$\begin{eqnarray*} x+y \geq 1 \end{eqnarray*}$

da wir nun aus der 1. Bedingung wissen, dass x und y jeweils nicht größer als 1 sein dürfen, weil ja sonst das Quadrat größer 1 wäre und somit die Bedingung nicht erfüllt, folgt, dass x und y auch nicht kleiner als 0 sein dürfen, weil wir eben sonst die 2. Bedingung verletzen. Setz einfach für eines von beiden 1 in die 2. Bedingung ein und du wirst sehen, man darf keine negative Zahl für die andere einsetzen. Somit haben wir unsere Bedingungen zusammen:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq x\leq 1\, ,\, 0\leq y \leq 1\, ,\, 0\leq z\leq 10 \end{eqnarray*}$

23.06.2011, 13:36

alex2007

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RE: Volumenintegral
Nun gibt es nur noch eine Sache zu beachten, und zwar darf es beispielsweise den Fall x=1 und y=1 ja garnicht geben. Dann wäre wieder unsere 1. Bedingung verletzt. Daher würde ich denken man muss eine der Variablen von 0 bis 1 und die andere von 1 bis 0 laufen lassen. Denn wenn x=0, dann folgt ja y=1 und bei y=0 folgt x=1.

Hier würde ich aber um Bestätigung durch einen 3. bitten, da ich mir hier gerade nicht 100% sicher bin. Aber im Prinzip müsste es so sein. Daher bitte noch eine Meinung von jemandem. Danke

23.06.2011, 15:26

5%

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RE: Volumenintegral
Danke für die Antwort, aber da stimmt leider etwas nicht.
Deiner Meinung nach lautet das Integral dann:

$\begin{eqnarray*} V = \int_0^1 \int_1^0 \int_0^{10} dz \ dy \ dx = -10 \end{eqnarray*}$

Das negative Ergebnis ist unrealistisch.
Das Ganze stimmt also noch nicht 100%ig.

Würde mich über weitere Hilfe freuen.

23.06.2011, 15:45

alex2007

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RE: Volumenintegral
Dann versuch mal 0 bis 1, bei x und y. Vielleicht stimmts dann. Aber hab ja gesagt, dass ich mir da nicht sicher bin. Das x und y sich jeweils zwischen 0 und 1 bewegen müssen hab ich ja in der Rechnung belegt.

23.06.2011, 16:00

5%

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RE: Volumenintegral
für x,y zwischen 0 und 1 und z zwischen 0 und 10 würde folgen:

$\begin{eqnarray*} V = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^{10} dz \ dy \ dx = 10 \end{eqnarray*}$

Könnte ein Dritter sich das bitte einmal anschauen & sagen, ob das Ganze so passt ?
Danke

23.06.2011, 16:38

Huggy

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RE: Volumenintegral
Das ist bisher alles ziemlicher Murks. Wenn man, was bei deinen Grenzen erlaubt wäre, x = y =1 wählt und z = 0, so ist doch die erste Ungleichung gar nicht erfüllt. Da hat man dann $\begin{eqnarray*} 1^2+1^2=2>1 \end{eqnarray*}$ .

Bei solchen Integral hängen meistens die Integrationsgrenzen der inneren Integrale von den Integrationsvariablen der äußeren Integrale ab. Man sollte sich also erst mal Gedanken über eine Integrationsreihenfolge machen und die dann bezüglich der Grenzen von außen nach innen abarbeiten. Integriert wird dann in umgekehrter Reihenfolge von innen nach außen.

Man könnte hier von außen nach innen die Reihenfolge z, y, x wählen. Dann liegen die Grenzen des äußeren Integrals fest und man hat:

$\begin{eqnarray*} V=\int_0^{10} ... dz \end{eqnarray*}$

Wie sieht nun bei gegebenem z der zulässige Bereich für y aus? Der ergibt sich aus

$\begin{eqnarray*} (y-\frac{z}{10})^2\leq 1 \end{eqnarray*}$

x kann man dann immer passend wählen, weil man notfalls den Term mit x durch x = z/10 zu Null machen kann. Das führt zu:

$\begin{eqnarray*} y-\frac{z}{10} \in [-1, 1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y \in [-1+\frac{z}{10}, 1+\frac{z}{10}] \end{eqnarray*}$

Damit hat man die Integrationsgrenzen für y:

$\begin{eqnarray*} V=\int_0^{10} \int_{-1+\frac{z}{10}}^{1+\frac{z}{10}}... dydz \end{eqnarray*}$

Nun versuch mal, analog die Grenzen für x bei gegebenem y und z zu bestimmen. Die hängen dann auch von y und z ab.

23.06.2011, 17:26

5%

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RE: Volumenintegral
Hmm jetzt bin ich total verwirrt. Also war alles, was wir uns zuvor überlegt haben falsch...

Ich fasse nochmal zusammen.
Also wir haben jetzt Folgendes:
Wir kennen die Integrationsgrenzen für z:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq z \leq 10 \end{eqnarray*}$

und haben die Integrationsgrenzen für y festgelegt:

$\begin{eqnarray*} -1+\frac{z}{10} \leq y \leq 1+\frac{z}{10} \end{eqnarray*}$

für das Volumen folgt hiermit:

$\begin{eqnarray*} V= \int_0^10 \int_{-1+\frac{z}{10}}^{1+\frac{z}{10}} \int_?^? dx \ dy \ dz \end{eqnarray*}$

Soweit korrekt?

Für x können wir ja genauso argumentieren. Also:
$\begin{eqnarray*} (x-\frac{z}{10})^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$
da der erste Term immer zu 0 gewählt werden kann. Also ergeben sich für x die gleichen Grenzen wie für y.
Ich habe das mal durchgerechnet. Das passt noch nicht. Also muss in meiner Überlegung irgendetwas falsch sein.
Denn für das Volumen sollte 10 Pi rauskommen.

23.06.2011, 17:31

5%

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ups, sehe gerade, dass ich das Integral falsch getecht habe. da sollen die Grenzen von 0 bis 10 gehen. Sorry

23.06.2011, 17:35

Huggy

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RE: Volumenintegral

Zitat:

Original von 5%
Soweit korrekt?

Ja, bis auf die Null in dem Integral. Es wird immer über 1 integriert und die 1 steht ganz innen.

Zitat:

Für x können wir ja genauso argumentieren. Also:
$\begin{eqnarray*} (x-\frac{z}{10})^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$
da der erste Term immer zu 0 gewählt werden kann. Also ergeben sich für x die gleichen Grenzen wie für y.

Nein!
Jetzt sind y und z als gegeben zu betrachten und können nicht mehr an die Wahl von x angepasst werden. Für die Grenzen von x musst du die volle Ungleichung betrachten.

23.06.2011, 17:48

5%

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Tut mir Leid, ich weiß noch immer nicht was ich jetzt machen soll.
Also du sagtest ich sollte z und y als gegeben betrachen und nun die gesammte Ungleichung verwenden.
Ok, also für
$\begin{eqnarray*} y = \pm 1+\frac{z}{10} \end{eqnarray*}$
folgt für die Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} (x-\frac{z}{10})^2+(1+\frac{z}{10}-\frac{z}{10})^2=(x-\frac{z}{10})^2+1 \leq 1 \end{eqnarray*}$
Stimmt das überhaupt soweit? Und falls ja, wie kann ich weiter vorgehen?

23.06.2011, 17:59

Huggy

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Das stimmt nicht. Was du für y angegeben hast, sind doch nur die Grenzen seines Integrationsgebiets. y darf aber auch beliebige Werte darin annehmen. Aus

$\begin{eqnarray*} (x-\frac{z}{10})^2+(y-\frac{z}{10})^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} (x-\frac{z}{10})^2 \leq 1-(y-\frac{z}{10})^2 \end{eqnarray*}$

und daraus

$\begin{eqnarray*} x-\frac{z}{10} \in \left [-\sqrt {1-(y-\frac{z}{10})^2},\sqrt {1-(y-\frac{z}{10})^2}\right ] \end{eqnarray*}$

Jetzt nur noch z/10 von der linken Seite auf die rechte Seite schieben und du hast deine Grenzen für x.

23.06.2011, 18:04

5%

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Ach so war das gemeint. Okay, dann folgt für die Grenzen:

$\begin{eqnarray*} x \in \left [-\sqrt {1-(y-\frac{z}{10})^2}+\frac{z}{10},\sqrt {1-(y-\frac{z}{10})^2}+\frac{z}{10}\right ] \end{eqnarray*}$

Korrekt?!

23.06.2011, 18:07

Huggy

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Ja!

Und jetzt von innen nach außen integrieren. Das Integral über y wird dir dann den Faktor $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bringen. Natürlich nur, wenn du keine Fehler machst.

23.06.2011, 18:10

5%

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Habs gerade durchprobiert. Komme auf 10 Pi.
Nun passt also alles.
Vielen herzlichen Dank !

24.06.2011, 10:05

klarsoweit

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RE: Volumenintegral
Vielleicht kann man sich viel Arbeit ersparen, wenn man mal drüber nachdenkt, was $\begin{eqnarray*} T=\{(x,y,z) \in \mathbb R | (x-\frac{1}{10}z)^2+(y-\frac{1}{10}z)^2\leq 1,0\leq z\leq 10\} \end{eqnarray*}$ eigentlich darstellt. Das ist ein schief liegender Zylinder nach Art des Turm von Pisa mit Radius 1. Wählt man die Substitution

$\begin{eqnarray*} (x,y,z) = f(r, \phi, z') := (\frac{z'}{10} + r \cdot cos(\phi), \frac{z'}{10} + r \cdot sin(\phi), z') \end{eqnarray*}$

dann kommt man auf das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^{2 \pi} \int_0^{10} r dz' d \phi dr \end{eqnarray*}$ , was sich ganz leicht rechnen läßt.

24.06.2011, 10:14

Huggy

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RE: Volumenintegral
So etwas hätte ich auch vorgeschlagen, wäre da nicht das P. S. in der Aufgabenstellung gewesen. Offenbar sollte die Bestimmung von Integrationsgrenzen geübt werden und nicht die möglichst geschickte Berechnung des Integrals.

24.06.2011, 10:23

klarsoweit

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RE: Volumenintegral
Ah, ok, das hatte ich glatt überlesen. Hammer

Hammer

Also mit kartesischen Koordinaten grenzt das fast schon an Tierquälerei. Big Laugh

Big Laugh

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