Positiv definite Matrizen

22.06.2011, 19:48

steviehawk

Positiv definite Matrizen

Meine Frage:
Hallo leute,

Sein $\begin{eqnarray*} A = (a_{ij}) \in \mathbb R^{nxn} \end{eqnarray*}$ positiv definit, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} a_{ii} > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
So, also wenn A positiv definit ist dann gilt im reellen Fall:

$\begin{eqnarray*} x^T A x > 0 \end{eqnarray*}$ ich muss nun mit dieser Bedingung zeigen, dass die Diagonalelemente der Matrix A größer Null sind...

wenn ich das nun aber ausführlich auf schreibe, dann fällt mir "noch" nichts an den Diagonalelementen auf!!!

kann mir einer helfen?

Danke

23.06.2011, 07:40

Mazze

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Die Bedingung

$\begin{eqnarray*} x^TAx > 0 \end{eqnarray*}$

gilt für alle (!) Vektoren x. Insbesondere gilt diese Bedingung für spezielle Vektoren. Wähle dir spezielle Vektoren , dann steht es sofort da. Denk mal an kanonischen Einheitsvektoren.

23.06.2011, 11:17

steviehawk

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okay also wenn ich mir jetzt mein x als einen kanonisches Einheitsvektor definiere, dann steht, da:

$\begin{eqnarray*} x = e_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_i^T A e_i a_ii \end{eqnarray*}$ , denn der line Vektor "pickt" aus A die erste Zeile herraus und der rechte dann das erste Element aus der übergebliebenen Zeile (jeweils). Nun steht es ja schon da, da die linke Seite größer Null ist und diese gleich wie die rechte, ist dann auch die linke größer Null...

Aber jetzt habe ich es ja nur für die kan. Einheitsvektoren gezeigt... Gilt es jetzt automatisch für alle???

Danke...

23.06.2011, 11:19

Mazze

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Zitat:

Aber jetzt habe ich es ja nur für die kan. Einheitsvektoren gezeigt... Gilt es jetzt automatisch für alle???

Erstaunlich, Du hast den Beweis vor dir und erkennst nicht, dass Du fertig bist.

$\begin{eqnarray*} 0 < e_i^TAe_i = a_{ii} \end{eqnarray*}$

und Du sollst doch $\begin{eqnarray*} a_{ii} > 0 \end{eqnarray*}$ zeigen Augenzwinkern

23.06.2011, 11:25

steviehawk

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Ich mag keine Aufgaben, die so einfach sind, dass ich sie schon nicht mehr raffe!!1 Hammer

Jetzt ist es aber klar, danke für die Hilfe Wink

24.06.2011, 14:55

steviehawk

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So ich muss auch zeigen, dass der betragsmäßig größte Eintrag von A auf der Diagonalen von A liegt...

Kann ich da ähnlich wie vorher vorgehen???

Steh da nämlich noch auf dem Schlauch smile

24.06.2011, 15:26

Mazze

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Mach für eine andere Aufgabe mal auch ein eigenes Thema auf.

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