Lineare Unabhängigkeit |
| 22.06.2011, 20:28 | xschlumpfinex | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Lineare Unabhängigkeit Sei V der Vektorraum der Polynome vom Grade 3 mit reellen Koeffizienten. Zeigen sie das {2, 3x+5, 2x²+3x+2, x³+1} Basis von V ist Meine Ideen: Wen {2, 3x+5, 2x²+3x+2, x³+1} Basis sein soll muss (a)die Anzahl der Basiselemente=3=dim v sein (was es offensichtlich ist) (b)sie müssen linear unabhängig sein Angenommen es wäre abhängig müsste es für alle x ein a,b,c,d(alle ungleich 0) so dass gilt a(2)+b(3x+5)+c(2x²+3x+2)+d(x³+1)=0 Dan zeigt man einfach das für vie selbst gewählte x diese Annahme nicht gilt es also unlinear abhängig sein muss. ( mit den vier x-en kann man dan ein Gleichungssystem aufstelllen und dan so lange mit raumspielen bis a=b=c=d=0 rauskommt). Es geht mir hier nur drum ob die Idee stimmt, das ausrechnen will ich dan alleine probieren. Kann man das so machen oder ist da ein Fehler drinnen? |
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| 22.06.2011, 21:26 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, also, irgendwie ist deine Argumentation ein wenig schief. Deine Gleichung stimmt. Was du jetzt machen musst: Zeige, dass a =b=c=d=0 gelten muss. Setze für x nichts ein, das macht man in der Linearen Algebra nicht. Polynome sind abstrakte Dinge, mit denen man nicht rechnet. |
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| 22.06.2011, 22:16 | xschlumpfinex | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hm ok, dan hab ich aber nur eine Gleichung mit 5 unbekannten (a,b,c,d,x) und die kann man soweit ich weiß nicht lösen |
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| 22.06.2011, 23:31 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
x ist keine Unbekannte. x ist in der linearen Algebra ein abstraktes Symbol. Vergiss alles, was du darüber aus der Analysis weißt. Aus der Vorlesung solltest du wissen, dass 0*x = 0. Das definiert man. Multipliziere deine Gleichung aus und sortiere nach Potenzen von x. Es sollte also nachcher so etwas wie (...)*x³ + (...)*x² + (...)*x + (...) da stehen. Und dann soll das also gleich Null sein, also müssen alle Klammern Null sein. |
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| 23.06.2011, 09:15 | xschlumpfinex | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank für die Antwort. Also wen man es ausmultipliziert steht da 2a+3bx+5b+2x²c+3xc+2c+x³d+d = Bis hierher ist mir noch alles klar.Nur wie du dan daraus folgerst das a=b=c=d Null sein muss versteh ich noch nicht ganz. Machst du das dan über folgendes Gleichungssytem? I. 2a+5b+2c+d=0 II. 3b+3c=0 III. 2c=0 IV. d=0 |
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| 23.06.2011, 12:27 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau. Das LGS muss man nutzen und damit folgt ja sofort, dass alles Null ist. 
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| 23.06.2011, 14:15 | xschlumpfinex | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank für die Antwort. Aber kannst du mir nochma genau erklären warum man für x nichts einsetzen darf? |
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| 23.06.2011, 17:20 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nun, wenn du was einsetzt, dann steht da ja kein Polynom mehr, sondern eine reelle Zahl. Das x ist ein abstraktes Symbol, man rechnet damit nur mit den schon bekannten Rechenregeln. Alles, was du natürlicherweise mit Polynomen machen würdest, darfst du machen. Aber einsetzen ist nicht. Das ist ein wenig verwirrend, aber eben nur, weil man bereits früher mit Polynomen und mit einer anderen Sicht arbeitet. |
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