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25.06.2004, 15:33	John Cena	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen 1. Bestimmen Sie alle Untergruppen und alle erzeugenden Elemente von (–7^.) 2. Berechnen Sie phi(1000) und benützen Sie dies, um 3^810(mod1000) mit Hilfe des Eulerschen Satzes zu berechnen. 3. Sei (G,) eine Gruppe. Zeigen Sie (a* b)^-1= b^-1* a^-1 für alle a, b element G. 4. Sei M eine Menge. Zeigen Sie, dass (P(M), ”, )) ein Ring ist. Ist der Ring sogar ein Körper?? Könnt ihr mir helfen die Aufgaben zu lösen? Denn solche Aufgaben kommen in der Prüfung dran und ich weiß nicht wie ich sie lösen soll. Könnt ihr mir das bitte mal erklären.
25.06.2004, 15:44	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn (?7^*.)? Ist das die multiplikative Gruppe von Z/7Z? Bezueglich was soll P(M) ein Ring sein? Soll die "Addition" die Schnittmengenbildung sein und die "Multiplikation" die Vereinigung?
25.06.2004, 15:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \varphi(n) \ = \ n \cdot \Bigpr_{p\|n}^{}~$1-\frac{1}{p}$ \end{align}$ wobei das Produkt über alle Primteiler von n zu erstrecken ist. Für n=1000 = 2³·5³ heißt das $\begin{align} \varphi(1000) \ = \ 1000 \cdot $1-\frac{1}{2}$ \cdot $1-\frac{1}{5}$ \ = \ 1000 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \ = \ 400 \end{align}$
25.06.2004, 16:10	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 2) 810 = 4002 + 10. Lies dir jetzt nochmal den Satz von Euler durch. Wie vereinfacht sich also deine Potenz? Zu 3) Die Aufgabenstellung waere aequivalent zu Zeige, dass b^(-1)a^(-1) das Inverse zu ab ist fuer alle Elemente a,b aus G.
25.06.2004, 16:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau! Multipliziere einfach b^(-1)·a^(-1) mit a·b und vereinfache nach den Axiomen der Gruppenrechnung!
26.06.2004, 10:52	John Cena	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Irrlicht, Kannst du mir bitte mal erklären wie du auf dich lösung der zweiten und dritten aufgabe kommst?
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26.06.2004, 11:04	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Nagut, ein wenig erkläre ich es dir: 2) Berechnen Sie phi(1000) und benützen Sie dies, um 3^810(mod1000) mit Hilfe des Eulerschen Satzes zu berechnen. Es ist phi(1000) = phi(2^3)phi(5^3) = 2^2 5^2 * 4 = 400 Nach dem Satz von Euler gilt für alle zu 1000 teilerfremden Zahlen x (das schliesst die 3 ein) $\begin{align} x^{\varphi(1000)}\equiv 1 \, \rm{mod} 1000 \end{align}$ Also ist $\begin{align} 3^{810} = (3^{400})^2 \cdot 3^{10} \equiv ...\rm{mod} 1000 \end{align}$ Den Rest musst du selbst können. 3) Das hat Leopold schon geschrieben. x^(-1) ist die Schreibweise für das Inverse von x. Das ist das Element mit der Eigenschaft, dass xx^{-1} = 1 = x^{-1}x
26.06.2004, 21:39	john cena	Auf diesen Beitrag antworten »
Hä??? Ahnung wie du auf die Lösung vn der dritten aufgabe kommst aber ich sehe da echt keinen roten faden geht es vielleicht nicht doch noch ein bissel ausführlicher??? Wäre echt nett! Danke
26.06.2004, 21:58	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ausführlicher wäre nur die Lösung. Schau dir nochmal die Gruppenaxiome an bis du sie wirklich auswendig kannst. Dann lies dir die Aufgabe nochmal durch und unsere Lösungshinweise. Es sollte dir dann eigentlich klar sein. Zur Erklärung kann ich dir nur noch sagen, dass (ab)^(-1) nur eine Kurzschreibweise für "das inverse Element von ab" ist. b^(-1)*a^(-1) ist das Produkt des inversen Elements von b mit dem inversen Elements von a. In Worten heisst also deine Aufgabe "Das Inverse eines Produkts ist das vertauschte (umgekehrte) Produkt der Inversen." Ist es jetzt vielleicht klarer? Und nun musst du nur noch die Definition des Inversen von ab prüfen.
28.06.2004, 15:57	FightingHamster	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage dazu... Ich bin auch gerade fleißig dabei Ordnungen zu berechnen... Nun stellt sich mir aber die Frage, ob es nicht vielleicht einen Trick gibt die eulersche funktion zu berechnen bzw. zu sehen in welche Primpotenzen sich die Zahl zerlegen läßt... z.Bsp. $\begin{align} \varphi \end{align}$ (75) = ?
28.06.2004, 17:49	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du einen "Trick" findest, mit denen du die Primfaktoren einer beliebig vorgegebenen Zahl angeben kannst, lass ihn mich wissen. Jedenfalls, wenn er deutlich besser ist als die bisher bekannten Faktorisierungsverfahren. Für die Zahlen, mit denen man es in Zahlentheorie-Vorlesungen zu tun hat, sollte aber die aus der Schule bekannte Probedivision ausreichen.

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