Linearkombination

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23.06.2011, 14:50	condemned	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearkombination Hallo, die Frage lautet: Lasst sich der Vektor--> $\begin{eqnarray} \vec{a} =\begin{pmatrix} e^{pi}\\ 27 \\ 172! \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als Linearkombination von den Vektoren: $\begin{eqnarray} \vec{b}=\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \vec{c}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\vec{d}=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ darstellen? Meine Idee: 3 Gleichungen: $\begin{eqnarray} x-y+2z=e^{pi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -3x+2y+0=27 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0+5y+0=172! \end{eqnarray}$ Jetzt löse ich die Gleichungen auf. $\begin{eqnarray} y=\frac{172!}{5} \end{eqnarray}$ Nun setze ich y in die 2. Gleichung ein. $\begin{eqnarray} -3x+\frac{172!}{2,5}=27 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{172!}{2,5}-27=3x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=\frac{172!}{7,5}-9 \end{eqnarray}$ Nun setze ich x und y in die 1. Gleichung ein. $\begin{eqnarray} \frac{172!}{7,5}-9-\frac{172!}{5}+2z=e^{pi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{172!}{7,5}-9-\frac{172!}{5}-e^{pi}=-2z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=(\frac{172!}{7,5}-9-\frac{172!}{5}-e^{pi})/-2 \end{eqnarray}$ Wie komme ich meinem Ziel jetzt näher bzw. wann weiß ich jetzt ob sicher dieser $\begin{eqnarray} \vec {a} \end{eqnarray}$ als Linearkombination von den anderen darstellen lässt?
23.06.2011, 14:52	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist dir der Begriff der Basis bzw. der Begriff des Erzeugendensystems bekannt? So wie du die Aufgabe angehst ist das eine sehr hässliche Rechnerei, wenn du die nötigen Begriffe kennst geht das um einiges einfacher.
23.06.2011, 15:00	condemned	Auf diesen Beitrag antworten »
Also im Rn sind n unabhängige Vektoren eine Basis, aber könntest du evtl. ein bisschen genauer werden?
23.06.2011, 15:21	condemned	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du vl. das und zwar wenn wir einen 4. Vektor im R3 prüfen wollen, so ist dieser immer ABHÄNGIG und somit auch als Linearkombination darstellbar?
23.06.2011, 15:23	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
In die Richtung würde ich argumentieren wollen, ja. Allerdings ist deine Aussage so wie sie da steht nicht ganz richtig. Wenn du nachweisen kannst, dass die 3 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec b,\vec c, \vec d \end{eqnarray}$ eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ bilden...kommst du damit weiter?
23.06.2011, 15:50	condemned	Auf diesen Beitrag antworten »
die vektoren als matrix A geschrieben haben eine determinate ungleich 0 und sind linear unabhängig also muss der vektor a als lineare kombination zu schreiben sein..auch ohne das jetzt rechnerisch zu beweisen?
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23.06.2011, 15:52	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das reicht schon aus. Es ist ja nur gefragt, ob eine Linearkombination existiert, du musst diese nicht explizit anwenden.
24.07.2011, 10:27	Tarsuinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich fasse das Thema nochmal kurz auf da ich ein ähnliches Problem habe. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 6 & -2 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt steht in meinem Skript das die Spalte 3 eine Linearkombination von Spalte 2 ist, aber das wäre für mich nur der Fall wenn Spalte 2 so ausehen würde, verstehe ich da etwas falsch? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ denn dann wäre Spalte 3 multipliziert mit 3 gleich Spalte 2 richtig?
24.07.2011, 11:11	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja hast schon recht wobei $\begin{eqnarray} <br /> <br /> 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Also mit -3 multipliziert wäre die Spalte $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Du kannst dir aber überlegen, dass $\begin{eqnarray} <br /> <br /> 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + (-3) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Also die erste und die dritte Spalte eine Linearkombination von der zweiten Spalte sind.

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