Jensen-Ungleichung (Erwartungswerte)

23.06.2011, 17:36	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Jensen-Ungleichung (Erwartungswerte) Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} \varphi: \mathbb R\to \mathbb R \end{eqnarray}$ eine konvexe Funktion, $\begin{eqnarray} X\in\mathcal{L}^1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varphi\circ X\in \mathcal{L}^1 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \varphi(E(X))\leq E(\varphi(X)) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Da die Funktion $\begin{eqnarray} \varphi: \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ konvex ist, gibt es für jedes $\begin{eqnarray} x_0\in \mathbb R \end{eqnarray}$ eine Zahl $\begin{eqnarray} c=c(x_0) \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \varphi(x)\geq \varphi(x_0)+c\cdot (x-x_0) \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Ist nun $\begin{eqnarray} x=X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_0=E(X) \end{eqnarray}$ und setzt man dies in die obige Ungleichung ein, bekommt man doch $\begin{eqnarray} \varphi(X)\geq \varphi(E(X))+c\cdot (X-E(X)) \end{eqnarray}$ . Wenn man jetzt auf beiden Ungleichungsseiten die Erwartungswerte bildet, bekommt man wegen der Linearität des Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(\varphi(X))\geq E(\varphi(E(X))+c\cdot (X-E(X)))=\varphi(E(X)) \end{eqnarray}$ . Ist dies so korrekt?
25.06.2011, 16:21	Schlumpf90	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo sitze auch gerade an dieser Aufgabe und komme zu ähnlichen Ergebnissen. Kann uns vllt jemand ein Feedback geben?
25.06.2011, 16:24	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung ist korrekt. Ich habe schon ein Feedback bekommen, nicht hier. Man kann einfach auf der linken und rechten Ungleichungsseite die Erwartungswerte bilden (auf der linken Seite also für $\begin{eqnarray} \varphi(X) \end{eqnarray}$ und auf der rechten Seite für $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ) und dann kommt das heraus.

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